2022-2023学年广东省清远市”四校联盟”高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省清远市”四校联盟”高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数，其中i为虚数单位．若复数z为实数，则m的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的概念可得方程，进而即得.

【详解】因为复数，复数z为实数，

则，解得.

故选：D.

2．命题“”的否定是

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以命题“”的否定是，故选C．

【解析】本题主要考查全称命题与存在性命题的关系．

点评：简单题，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题．

3．下列既是奇函数，在上又是单调递增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先分析函数的奇偶性，满足奇函数再分析函数在上是否为增函数，由此判断出选项.

【详解】A．是奇函数，且在上有增有减，故不满足.

B．定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足.

C．是奇函数，且在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足.

D．是奇函数，且在上单调递增，故满足.

故选：D.

4．设向量，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量数量积运算与线性运算的坐标表示即可求解.

【详解】因为，

所以，，

故.

故选：B.

5．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【分析】根据函数图象变换直接求解.

【详解】因为,

所以要得到函数的图象，

只需要将函数的图象向右平移个单位,

故选:B.

6．如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意得，再由，即可得到答案.

【详解】由于是边上的中点，则.

.

故选：B.

7．已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则（　　）

A．ω＝1， B．ω＝1，

C．ω＝2， D．ω＝2，

【答案】D

【分析】由函数的最值可确定A，由函数的最小正周期可确定，再由图象过可确定，即可得解.

【详解】由函数的图象可知:，.

当，函数取得最大值1，，，

，.

故选：D.

8．已知，，则下列结论中正确的个数为（    ）

①与同向共线的单位向量是

②与的夹角余弦值为

③向量在向量上的投影向量为

④

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.

【详解】解：，故①正确；

，故②错误；

向量在向量上的投影向量为，故③正确；

，故④正确；

故选:C.

二、多选题

9．以下关于平面向量的说法中，正确的是（    ）

A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有单位向量都相等

C．零向量没有方向 D．平行向量也叫做共线向量

【答案】AD

【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答.

【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确；

单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确；

零向量有方向，其方向是任意的，C不正确；

由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确.

故选：AD

10．下列不等式中成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据特殊角的三角函数可判断AC，由三角函数的诱导公式及正弦函数的单调性可判断BD.

【详解】对A，因为，故A错误；

对B，因为，，所以，故B正确；

对C，因为，故C错误；

对D，，故D正确.

故选：BD.

11．已知，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】多项选择题，需要对选项一一验证：

借助于先求出，可以直接求出的值，判断B;

用判断C，二倍角公式判断A、D选项；

【详解】∵，，且

解得：

∴，故A正确；

，故B错误；

，故C正确；

∵，∴.

∵，∴，故D错误.

故选：AC

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(1)角的范围的判断；

(2)对于三角函数求值题，一般是先化简，再求值．

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的图像关于直线对称

B．函数的图像关于点对称

C．函数是奇函数

D．函数在区间内单调递减

【答案】BC

【解析】对函数解析式化简变形，根据正切函数图象性质辨析，即可得到正确选项.

【详解】因为，

所以函数是周期为的奇函数，图像关于点对称，没有对称轴，在区间内不具备单调性.

故选：BC.

【点睛】此题考查正切函数图象性质的辨析，关键在于根据函数解析式准确变换，结合正切函数的图象性质依次辨析.

三、填空题

13．已知向量，，且，则      ．

【答案】

【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】解：因为，，且，

所以，解得；

故答案为：

14．函数的定义域是      .

【答案】

【分析】根据给定函数有意义直接列出不等式组，解不等式组可得答案.

【详解】要使有意义，只需，解得，

故函数的定义域为，

故答案为：

四、双空题

15．复数z满足，则z的虚部为          ，          ．

【答案】         

【分析】利用复数的除法法则可化简复数，利用复数的概念及模长公式可得.

【详解】由已知可得，

所以， 复数的虚部为，.

故答案为：；.

五、填空题

16．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度          m.

【答案】

【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.

【解析】正弦定理及运用．

六、解答题

17．如图所示，已知的顶点，，．

(1)求顶点D的坐标；

(2)已知点，判断A，M，C三点的位置关系，并做出证明．

【答案】(1)；

(2)A，M，C三点共线；详见解析.

【分析】（1）由平行四边形可得，然后根据向量的坐标运算即得；

（2）根据坐标关系可得，进而即得.

【详解】（1）由平行四边形可得：，又，，，，

所以，

∴D的坐标为；

（2）A，M，C三点共线；

因为，，，

所以，又有公共点，

所以A，M，C三点共线.

18．已知向量，．

(1)求；

(2)已知，且，求向量与向量的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量的坐标运算求向量的模即可；（2）由向量的模，根据向量的数量积公式转化求向量的夹角即可.

【详解】（1）由题知，，

所以，

所以.

（2）由题知，，，，

所以，，

所以，

所以，

所以，

所以，

因为，

向量与向量的夹角为.

19．记的内角，，的对边分别是，，，已知.

(1)求；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可求出，从而得解；

（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.

【详解】（1）在中，由正弦定理及，

得，

又在中，，∴，

∴，

∵，

∴.

（2）在中，由余弦定理可知，

又∵，∴，

解得或（舍去），

故的面积为.

20．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .

【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.

【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，

所以.

（Ⅱ）由角的终边过点得，

由得.

由得，

所以或.

点睛：三角函数求值的两种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

21．已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为，最小值为．

【详解】（Ⅰ）．

因此，函数的最小正周期为．

（Ⅱ）因为在区间上为增函数，

在区间上为减函数，

又，，，

故函数在区间上的最大值为，最小值为．

22．对口帮扶是我国一项重要的扶贫开发政策，在对口扶贫工作中，某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产出吨需另外投入可变成本万元，已知，通过市场分析，该中药材可以每顿50万元的价格全面售完，设基地种植该中药材年利润（利润销售额成本）为万元，当基底产出该中药材40吨时，年利润为190万元.

(1)年利润（单位：万元）关于年产量（单位：吨）的函数关系式；

(2)当年产量为多少时（精确到0.1吨），所获年利润最大？最大年利润是多少（精确到0.1吨）？

【答案】(1)

(2)当年产量为84.1吨时，最大年利润是451.3万元.

【分析】（1）由基地产出该中药材40吨时，年利润为190万元，列出方程，即可求解；

（2）当，时，求得万元；当，时，结合基本不等式，即可求.

【详解】（1）当基底产出该中药材40吨时，年成本为万元，

利润为，解得，

则.

（2）当，，，对称轴为，

则函数在，上单调递增，故当时，，

当，时，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以当年产量为84.1吨时，所获年利润最大，最大年利润是451.3万元.