2022-2023学年山东省泰安市新泰市第一中学东校高一下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年山东省泰安市新泰市第一中学东校高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．若在△ABC中，，，且，，则△ABC的形状是（    ）

A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形

【答案】D

【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.

【详解】由于，，，

则，即，

所以△ABC为等腰直角三角形．

故选：D．

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用诱导公式化为同角，然后利用倍角公式计算即可.

【详解】.

故选：C.

3．在中，已知D是AB边上一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量的减法运算即可得到答案．

【详解】由可得

则有，

可得，所以

故选：B

4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先根据正切函数的定义求出，再根据二倍角公式求得，根据两角和的正切求得.

【详解】根据正切函数的定义可知，,

所以．

故选：A．

5．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据平面向量共线的基本定理可得关于实数的等式，解之即可.

【详解】因为与共线，则存在，使得，即，

因为向量、不共线，则，整理可得，即，

解得或.

故选：C.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式和倍角公式即可求解.

【详解】依题意，

，

故选：B.

7．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平方关系式求出，再根据及两角差的余弦公式可求出结果.

【详解】因为，所以，

又因为，所以，

所以

.

故选：B

8．已知函数，则（    ）

A．的最大值为4

B．的图象关于点对称

C．在单调递增

D．将函数的图象向左平移个单位得到一个奇函数

【答案】C

【分析】由三角恒等变换化简函数解析式，直接判断B，根据正弦型函数的最值判断A，由正弦型函数的单调性判断C，根据三角函数的图象变换及诱导公式判断D.

【详解】，

对A，函数的最大值为2，故A错误；

对B，因为，故B错误；

对C，∵，∴，由在单调递增可得在单调递增，故C正确；

对D，将函数的图象向左平移个单位得到函数，为偶函数，故D错误.

故选：C.

二、多选题

9．下列命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

D．“若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”

【答案】AD

【分析】根据共线向量的定义判断A，根据单位向量的定义判断B，根据相等向量的定义判断C，根据相等向量及平行四边形的性质判断D.

【详解】解：对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；

对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；

对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；

对于D：若是不共线的四点，且，则且，所以四边形是平行四边形，故充分性成立，

若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确.

故选：AD

10．下列说法正确的是（    ）

A．向量在向量上的投影向量可表示为

B．若，则与的夹角θ的范围是

C．若是等边三角形，则，的夹角为

D．若，则

【答案】AB

【分析】根据投影向量的定义即可判断A；根据数量积的计算公式即可判断B；根据向量夹角的定义即可判断C，根据数量积的计算公式即可判断D.

【详解】对于选项A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确；

对于选项B，因为，所以，

又，所以，故B正确；

对于选项C，若是等边三角形，则，的夹角为，故C错误；

对于选项D，因为，所以或或，故D错误．

故选：AB.

11．要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点（    ）

A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位

B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位

C．向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

D．向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）

【答案】BC

【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解.

【详解】要得到函数的图象，只要将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位；

或者向左平移个单位，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）.

故选：BC.

12．若函数的最小正周期为，则（    ）

A． B．在上单调递增

C．在内有5个零点 D．在上的值域为

【答案】BC

【分析】根据二倍角公式化简，由周期可得，代入即可判断A,根据整体法即可判断BD，令，根据即可求解满足条件的零点，即可判断C.

【详解】.

由最小正周期为，可得，故，

对于A,,故A错误；

对于B,当时，，此时单调递增，故B正确；

对于C，令，

所以或，

当时，满足要求的有 故有5个零点，故C正确；

对于D,  当时，，则故，所以D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．若两个非零向量，满足，则与的夹角为      ．

【答案】/

【分析】由向量和与差的模相等可确定向量、相互垂直，且得到，最后运用向量夹角公式求解即可.

【详解】设向量与的夹角为，因为，则，变形得 ，

所以 且，则 ，

故 ，又，则.

故答案为:.

14．函数的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则         ．

【答案】/

【分析】由三角函数图象的平移变换求出，再由平移后图象重合，可得，再结合即可得出答案.

【详解】，，

因为平移后图象重合，故，因为，故．

故答案为：.

15．已知，，，求      ．

【答案】

【分析】根据展开求出，然后

代入求解即可.

【详解】因为

又因为，，即

所以

又因为

故答案为：

四、双空题

16．如图，在平行四边形中，，分别是，上的点，且满足，，记，，则向量  （用，来表示）；若，，且，则  ．

【答案】         

【分析】根据向量的线性运算直接可得，以与为基底，根据可得与的夹角，再利用转化法可得.

【详解】在平行四边形中，，，

，

，

，，且，

，

，

，

，

，

故答案为：，．

五、解答题

17．如图，在中，.设.

(1)用表示；

(2)若为内部一点，且.求证：三点共线，并指明点的具体位置.

【答案】(1)，

(2)证明见解析，是的中点

【分析】（1）根据向量线性运算求得关于的表达式.

（2）根据向量线性运算求得，由此证得三点共线，并确定点的位置.

【详解】（1）依题意，，

.-

（2）由，

又，所以，

，故三点共线，且是的中点.

18．已知是钝角，是锐角，，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据诱导公式可得，再由二倍角的余弦公式即可求解；

（2）根据同角三角函数的基本关系分别求出，，由及两角差的正弦公式即可求解.

【详解】（1）.

（2）因为是钝角，是锐角，，

所以，，，

所以，

.

所以

,

19．已知向量与的夹角，且，．

(1)求，；

(2)求；

(3)与的夹角的余弦值．

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据数量积的定义求解，利用数量积的运算；

（2）按照数量积的性质求解模长即可；

（3）根据向量夹角余弦值的公式运算即可.

【详解】（1）已知向量与的夹角，且，，则，

所以；

（2）

（3）与的夹角的余弦值为.

20．如图，在中，，，，点为线段上任意一点.

(1)求；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）找出与和的关系，即可求出结果.

（2）设出的表达式，得到的表达式，即可得出的最小值

【详解】（1）由题意，在中，，，

∴为的中点，

∴.

（2）由题意及（1）得，

在等腰直角三角形中，，

由（1）知，.

设，

则，

∴

∴当时，最小，最小值为.

21．如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．

(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；

(2)在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲、乙分别位于P、Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出时t的取值范围．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）建立合适的坐标系，求出H关于t的函数解析式；（2）在第一问的基础上，列出不等关系，用三角恒等变换化简，解出解集.

【详解】（1）如图，

以摩天轮中心为原点，与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系．

由题意，摩天轮的角速度

所以甲所在的位置的纵坐标

则

（2）令甲、乙两位游客距离地面的高度为、，则

，

令，得或

解得：．

22．已知函数

(1)将函数化简成的形式，并求出函数的最小正周期；

(2)将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程在上有两个不同的解，，求实数的取值范围，并求的值.

【答案】(1)，最小正周期为

(2)实数的取值范围是，

【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简，并利用求出最小正周期即可.

（2）先使用伸缩和平移变换得到，再将方程等价变换为，由的图象和性质求出的取值范围，即可求出实数的取值范围，同时，利用的对称性，可求出的值.

【详解】（1）

，

∴函数的最小正周期.

（2）由（1），

将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，

得到函数的图象，∴，

由，，得，，

∴在区间（）上单调递增，

同理可求得在区间（）上单调递减，

且的图象关于直线，对称，

方程等价于，

∴当时，方程有两个不同的解，，

由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，

且，，，

∴当时，方程有两个不同的解，，

∴，实数的取值范围是.

又∵的图象关于直线对称，∴，即，

∴.