2022-2023学年浙江省衢州第三中学高一下学期5月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年浙江省衢州第三中学高一下学期5月月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省衢州第三中学高一下学期5月月考数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的补集、交集运算求解.【详解】因为，所以或，又，所以，故A，B，C错误.故选：D.2．若，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】不等式可化为或，所以“”可以推出“”，所以“”是“”的充分条件，又“”不能推出“”，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．若，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】用对数函数的单调性和比较，用指数函数的单调性和比较，用对数函数的单调性和比较，即可判断大小关系.【详解】因为,所以为减函数，所以，即.因为,所以为增函数，所以，即.因为,所以为增函数，所以，即，所以．故选：D4．函数的部分图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AC；根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.故选：B5．已知，则（    ）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再将正切值代入即可.【详解】因为，所以，故选：A.6．已知的外接圆半径为1，，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理化边为角，再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理即可得解.【详解】由正弦定理可得，所以，则.故选：D.7．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是　　A． B． C． D．【答案】D【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2．．故选：．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．8．在中，已知，，且满足，，若线段和线段的交点为，则（    ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】待定系数法将向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算【详解】设，由知，∴，∵，，三点共线，∴①，由知，∴，∵，，三点共线，∴②，由①②得：.，∴，而，∴故选：B 二、多选题9．设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（    ）A．是纯虚数 B．对应的点位于第二象限C． D．【答案】AD【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D.【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确；对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误；对于C：，则，C错误；对于D：，则，D正确.故选：AD.10．已知向量，则（    ）A．B．的夹角为C．与共线的单位向量D．在上的投影向量为【答案】BD【分析】求出的坐标，再利用共线向量的坐标表示判断A；求出夹角判断B；由单位向量的意义判断C；求出投影向量的坐标判断D作答.【详解】依题意，，显然，即与不共线，A错误；，又，则的夹角为，B正确；与共线的单位向量，C错误；在上的投影向量为，D正确.故选：BD11．是定义在R上的函数，，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（  ）A．的图像关于点对称B．的图像关于直线对称C．的值域为D．的实数根个数为6【答案】BC【分析】利用可判断A;根据函数满足的性质推得和皆为的图象的对称轴，可判断B;数形结合判断C;数形结合，将的实数根个数问题转化为函数图象的交点问题，判断D.【详解】由题意可知当时，，故，则，即的图象不关于点对称，A错误；将代入中的x可得，故4为函数的周期；函数为偶函数，可得，则的图象关于直线对称，即有，则，故的图象也关于直线对称，由于4为函数的周期，故和皆为的图象的对称轴，当时，，故B正确；因为，所以由函数性质作出函数的图象如图，可知函数值域为，C正确；方程的根即与的图象的交点的横坐标，因为当时，，当时，，当时，，所以与的图象共有7个交点，即方程的实数根个数为7，故D错误.故选：BC【点睛】方法点睛：（1）抽象函数的奇偶性以对称性结合问题，往往要采用赋值法，推得函数周期性；（2）方程根的个数问题，往往采用数形结合，将根的问题转化为函数图象交点问题.12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵中，，且．下列说法正确的是（    ）A．四棱锥为“阳马”B．四面体为“鳖臑”C．四棱锥体积最大为D．过点分别作于点，于点，则【答案】ABD【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵中，，侧棱平面，A选项，∴，又，且，则平面，∴四棱锥为“阳马”，对；B选项，由，即，又且，∴平面，∴，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形．∴四面体为“鳖臑”，对；C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，错；D选项，因为平面，则，且，则平面，∴，又且，则平面，所以则，对；故选：ABD． 三、填空题13．已知函数 在 上单调递增，则的最大值是    .【答案】4【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.【详解】由函数在区间上单调递增，可得 ，求得，故的最大值为，故答案为：414．若，，且，则的最小值为        ．【答案】3【分析】根据“1”的变形技巧，再由均值不等式求最小值即可.【详解】由题意得，，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：315．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，若PA＝2，AB＝1，，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为   ．【答案】【分析】由题意结合球心的性质确定三棱锥的外接球的球心的位置，求得球的半径，即可求外接球的表面积【详解】由题意，在三棱锥中，平面，平面，所以，,又，，平面，所以平面，平面，所以，设的中点为，因为，所以，因为，所以，所以为三棱锥外接球的球心，因为，，所以，因为，，，所以，设三棱锥外接球的为，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：.16．已知奇函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为        ．【答案】【分析】通过构造函数法，结合函数的单调性求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意，的定义域是，是奇函数，所以，所以是偶函数，由于对，，都有，所以在上单调递增，则在上单调递减.，由得，即，所以或，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题的关键点是熟练掌握函数单调性的定义及其变型.任取定义域内的两个数，且，通过计算的符合来判断的单调性，也可以利用的符号来判断的单调性. 四、解答题17．已知：、是同一平面内的两个向量，其中．(1)若且与垂直，求与的夹角；(2)若且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由向量垂直的数量积运算得出，进而由得出与的夹角；（2）由数量积的坐标运算得出，解不等式得出实数的取值范围．【详解】（1）解：由得，即，所以，得，又，所以；（2）解：因为，，所以所以，则，由 得，即，因为与的夹角为锐角，所以18．如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点.(1)求证平面(2)求直线与平面所成的角的大小【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）取中点，连接，进而证明四边形是平行四边形，再根据线面平行判定定理即可证明；（2）根据题意证明平面,故是直线与平面 所成的角的平面角，再根据几何关系求解即可.【详解】（1）如图1，取中点，连接，因为是的中点，所以，又因为在直三棱柱中，是的中点，所以，所以，所以四边形是平行四边形，所以,因为平面，平面，所以平面；（2）如图2，连接，，由直三棱柱的性质可知平面，因为平面，所以，因为，，是的中点，所以，因为，平面,所以平面,所以是直线与平面所成的角的平面角，因为，，所以不妨设，则，，，所以，则，所以，因为，所以所以直线与平面 所成的角的大小.19．已知函数.(1)求函数在上的单调递增区间；(2)若，求的值.【答案】(1)和(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间；（2）由已知可得出，利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得的值.【详解】（1）解：由题意得，因为，所以，令，解得，令，解得，所以函数在上的单调递增区间为和.（2）解：由（1）知..20．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为,.(1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？(2)若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援？【答案】(1)120海里(2)能在3小时内赶到救援 【分析】（1）由题意，在中，根据正弦定理即可求解；（2）在中，根据正弦定理求得，进而在中，利用余弦定理求出，而，从而即可作出判断.【详解】（1）解：在中，因为，，所以，，又，所以由正弦定理可得，即，解得，所以A船距离雷达站C距离为120海里；（2）解：在中，根据正弦定理可得，即，解得，在中，由余弦定理可得，解得，因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而，所以能在3小时内赶到救援.21．如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.（1）求证：；（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）由线面平行的性质定理可推出，再由平行的传递性可证得（2）先找出二面角的平面角，表示出，求出，再设，建立方程求出，进而求出.【详解】（1）在棱柱中，面，面，面面，由线面平行的性质定理有，又，故；（2）证明：在底面中，，，.， ，又因为侧棱底面，则底面面，又，面过点作于，连接，则是二面角的平面角．，，则，故，，．设，则．，故，故．【点睛】方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．22．定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”.(1)判断是否为“型函数”?并说明理由；(2)若存在实数，使得函数始终是“型函数”，求的最小值；(3)若函数，是“型函数”，求实数的取值范围.【答案】(1)不是，理由见解析(2)1(3) 【分析】（1）根据“型函数”的定义，结合特殊值进行判断.（2）根据的定义域求得的范围，结合“型函数”的定义以及函数的单调性求得的取值范围.（3）对进行分类讨论，根据“型函数”的定义列不等式，由此求得的取值范围.【详解】（1）是偶函数，且在递减，递增.当时，；当时，.若取，则不存在，使得.所以不是“型函数”.（2）首先函数定义域为，则，解得.由复合函数单调性可知：在单调递减，在单调递增.所以只需对恒成立即可.所以，即的最小值为1.（3）由题是“型函数”.当时，在上单调递增，.而，要使存在且唯一，则有，解得.所以.当时，在递减，递增，.而，要使存在且唯一，则有，解得.所以.综上可知：.【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.