2022-2023学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期数学期末试题含答案

2022-2023学年安徽省滁州市定远县民族中学高一下学期数学期末试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】求出即得解.

【详解】解：因为，所以，

所以 在复平面内对应的点为，在第三象限.

故选：C.

2．设，，则（        ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先分别化简集合，再利用集合交集的定义求解即可.

【详解】由解得，由解得，

所以，，

所以，

故选：B

3．某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查．经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为（   ）

A．180 B．400 C．450 D．2000

【答案】C

【分析】从所有学生中抽取90个学生，可以做出每个学生被抽到的概率，从全体学生中抽取100个，要抽到上次抽取过的人数可以表示出来，列出方程，解方程即可．

【详解】设这个学校高一年级的学生人数为n，

从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查

∵每个学生被抽到的概率是，

∴从中抽取100个，要抽到，

∴n=450，

故选：C．

4．若，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数、对数函数、正切函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为，

所以，

故选：D

5．若，且，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而利用诱导公式化简所求即可得解．

【详解】，且，

，

，

则原式．

故选：B．

6．在中，角所对的边分别为.已知，：是等腰三角形.则是的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】在中，若，由正弦定理，

得，所以，所以，所以为等边三角形，

若命题成立，则是等腰三角形，即命题成立；

反之，为等腰三角形，不一定为等边三角形，

如在中，，，则不成立，

所以是：是等腰三角形的充分不必要条件.

故选：B.

7．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．不等式的解集为

D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增

【答案】C

【分析】由图象求出的表达式后逐一验证选项即可.

【详解】由函数图象可知，最小正周期为，所以，

将点代入，得，

又，所以，故，故A错误；

所以，故B错误；

令，则，所以，，解得，，

所以不等式的解集为，故C正确；

将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，，

解得，，

令得，因为，故D错误.

故选：C.

8．函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围.

【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增，

则对任意的，不等式恒成立，

则不等式，恒成立，

则，恒成立，

得，得，恒成立，

则且，或且，恒成立，

即当时，且，或且，

又当，有，，

得.

故选：C.

【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大.

二、多选题

9．下面命题正确的是（    ）

A．任意两个单位向量都相等

B．方向相反的两个非零向量一定共线

C．若，且与的夹角为锐角，则

D．若非零向量满足，则的夹角为

【答案】BD

【分析】根据相等向量和共线向量的概念判断选项A、B，根据向量夹角为锐角的坐标表示求解参数范围判断C，根据数量积的运算律判断向量垂直即可判断D.

【详解】对于A，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故A错误；

对于B，根据向量共线的概念知，方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确；

对于C，，且与的夹角为锐角，则，

解得且，故C错误；

对于D，把两边平方整理得，，即，而为非零向量，

故有，即的夹角为，故D正确.

故选：BD

10．函数，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，函数的单调递增区间为

B．不论为何值，函数既没有最小值，也没有最大值

C．不论为何值，函数的图象与轴都有交点

D．存在实数，使得函数为R上的减函数

【答案】ABD

【分析】对于A，根据指数函数和二次函数的单调性可知A正确；对于B，根据指数函数与二次函数的图象可知B正确；对于C，根据函数的图象与轴没有交点，当时，函数的图象与轴没有交点，可知C不正确；对于D，当时，可判断出函数为R上的减函数，可知D正确.

【详解】对于A，当时，函数，当时，为减函数，当时，的单调递增区间为，故A正确；

对于B，当时，为减函数，所以不论为何值，当趋近于负无穷时，趋近于正无穷，即没有最大值；当时，的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论为何值，当趋近于正无穷时，趋近于负无穷，即没有最小值；故B正确；

对于C，当时，函数的图象与轴没有交点，

当时，由得或，所以当时，函数的图象与轴没有交点，故C不正确；

对于D，当时，函数在上为减函数，函数在上为减函数，且，，，所以此时函数为R上的减函数，故D正确.

故选：ABD.

11．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的760名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在[80，150]内.现将这100名学生的成绩按照[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则（    ）

A．频率分布直方图中a的值为0.03

B．样本数据低于120分的频率为0.3

C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123.3分

D．总体分布在[90，100）的频数一定与总体分布在[100，110）的频数相等

【答案】AC

【分析】由频率分布直方图先计算出值，判断A，然后计算频率判断B，由频率分布直方图计算中位数判断C，根据频率判断D．

【详解】由频率分布直方图，，解得，故A正确；

样本数据不低于120分的频率为，因此低于分的频率为，故B错误；

分数低于120分的频率为，因此中位数在这一组，设中位数为，则，解得，故C正确；

样本分布在与的频率相等，所以频数相等，但总体分布在与频数只能大致相等但不一定相等，故D错误．

故选：AC

12．下列说法中正确的是（    ）

A．若，，.则有两组解

B．在中，已知，则是等腰直角三角形

C．两个不能到达的点之间无法求两点间的距离

D．在中，若.

【答案】AD

【分析】选项A，利用边边角多解的判定条件可判断；

选项B，原式可利用正弦定理转化为，可判断；

选项C，两个不能到达的点之间可通过构造三角形，通过解三角形求两点间的距离；

选项D，由正弦定理，，可判断.

【详解】选项A：由正弦定理，，又，或，有两组解，故A正确；

选项B：由题意，根据正弦定理，    

又或，即或

故是等腰三角形或直角三角形，故B不正确；

选项C：两个不能到达的点之间可通过构造三角形，通过解三角形求两点间的距离，故C不正确；

选项D：由正弦定理，，故D正确.

故选：AD

三、填空题

13．在对某工厂甲乙两车间某零件尺寸的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了甲车间10个零件，其尺寸的平均数和方差分别为12和4.5，抽取了乙车间30个零件，其平均数和方差分别为16和3.5，则该工厂这种零件的方差估计值为           .(精确到0.1)

【答案】6.8

【分析】设甲车间数据依次为，乙车间数据依次，根据两个车间的平均数和方差分别求出所有数据之和以及所有数据平方和即可得解.

【详解】设甲车间数据依次为，乙车间数据依次，

，

，

所以

，

，

，

所以这40个数据平均数，

方差

=6.75≈6.8.

所以可以判定该工厂这种零点的方差估计值为6.8

故答案为：6.8

14．设是圆上不同的两点.且.则      .

【答案】6

【分析】设点为的中点，则，再根据数量积的定义计算即可.

【详解】如图，设点为的中点，则，

则.

故答案为：.

15．在三棱锥中,平面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为         

【答案】

【分析】以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积.

【详解】由题意，在三棱锥中，平面，

以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，

所以三棱锥的外接球的半径为，

所以三棱锥的外接球的表面积为.

【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积的计算问题，其中解答中根据几何体的结构特征，以为长宽高构建长方体，得到长方体的外接球是三棱锥的外接球是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.

16．在中，，则的面积最大值为            ．

【答案】3

【分析】先由正弦定理得到，再建立平面直角坐标系求得点C的轨迹，从而得到的面积关于的解析式，利用函数的单调性即可求得的面积最大值.

【详解】因为，所以由正弦定理得，即，

以线段所在直线为x轴，以的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，

由得，

因为，所以整理得，

由此可知点C的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，

所以当点C在圆上运动时，点C到x轴的最大距离为半径，

所以的面积在上单调递减，

所以．

故答案为：.

四、解答题

17．在中，角所对的边分别为，已知_________．

①；②；③向量，向量，且．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并解答．

（注：若选择多个不同条件分别作答，则按照第一个解答计分）

(1)求角的大小；

(2)若的面积为，求的最小值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）选①，利用正弦定理变形求解作答；选②，利用诱导公式及二倍角的余弦求解作答；选③，利用向量共线的坐标表示，正弦定理边化角求解作答.

（2）利用三角形面积公式、余弦定理，结合均值不等式求解作答.

【详解】（1）选①，在中，由正弦定理得，又，

因此，而，所以.

选②，在中，由，得，

而，，解得，所以.

选③，向量，向量，且，则，

在中，由正弦定理得，而，即，

因此，又，所以.

（2）由（1）知，，则，

由余弦定理得，当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

18．如图，在三棱锥中，PA⊥平面ABC，是直角三角形，，．D，E分别是棱PB，PC的中点．

(1)证明：平面PAC⊥平面ADE．

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由题意易知，，从而可证平面PAC，而由中位线定理可得，于是平面PAC，最后由面面垂直的判定定理可证得平面PAC⊥平面ADE．

（2）由等体积法可知三棱锥与三棱锥的体积相等，求出三棱锥的体积即可求出答案,

【详解】（1）证明，因为是直角三角形，且，所以．

因为平面ABC，且平面ABC，所以．

因为平面PAC，平面PAC，且，所以平面PAC．

因为D，E分别是棱PB，PC的中点，所以．

因为平面PAC，所以平面PAC．

因为平面ADE，所以平面平面ADE．

（2）解：因为，所以．

因为平面ABC，且，

所以三棱锥的体积．

连接CD，因为D是棱PB的中点，

所以三棱锥的体积．

因为E是棱PC的中点，

所以三棱锥的体积．

因为三棱锥与三棱锥是同一个三棱锥，

所以的体积为．

19．为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值．养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标值的检测数据进行整理，发现这些数据均在区间内，现将这些数据分成7组：第1组，第2组，第3组，…，第7组对应的区间分别为，，，…，，绘成如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数和85%分位数（结果保留两位小数）；

(3)现从第2组指标值对应的家禽中抽取4只，分别记为，，，，从第5组指标值对应的家禽中抽取3只，分别记为，，，然后将这7只家禽混在一起作为一个新的样本，从中任取2只家禽进行指标值的检测，求从中取到的两只家禽的指标值的差的绝对值小于2的概率．

【答案】(1)0.14

(2)7.33，10.00

(3)

【分析】（1）根据频率分布直方图结合所有频率之和为1，运算求解；（2）先根据频率分布直方图求每组的频率，再结合中位数、百分位数的定义运算求解；（3）先列举出所有的基本事件，再从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型的概率公式运算求解．

【详解】（1）由题意可得：，则

（2）由题意可得：每组的频率依次为：

∵，

∴中位数位于内，设为，则

∴

∵，

∴85%分位数为的中点

（3）从中任取2只则有：

共21个基本事件

记“从中取到的两只家禽的指标值的差的绝对值小于2”为事件，则事件包含：

共9个基本事件

∴从中取到的两只家禽的指标值的差的绝对值小于2的概率

20．已知，函数．

(1)求图象的对称中心坐标及其在内的单调递增区间；

(2)若函数，计算的值．

【答案】(1),Z ，;

(2)

【分析】（1）利用向量的数量积运算以及三角恒等变形求得函数解析式，利用正弦函数的性质求得对称中心以及单调递增区间；

（2）利用函数的周期性求解.

【详解】（1）由已知得

令Z ，解得Z ，

所以图象的对称中心坐标为,Z ，

令Z ,解得，Z ，

所以在内的单调递增区间为.

（2），该函数周期为，

所以，，，，，

因为函数周期为，且，

所以

，

而

，

所以.

21．已知函数.

(1)求在上的最大值；

(2)设函数的定义域为，若存在区间，满足：对任意，都存在使得，则称区间为的“区间”已知，若为函数的“区间”，求的最大值.

【答案】(1)当时，的最大值为1；当时，的最大值为．

(2)1

【分析】（1）根据条件分，和三种情况，判断的单调性，然后求出最大值；

（3）根据定义分和两种情况求出的值域，然后结合“区间”的定义和恒成立思想，求出的最大值．

【详解】（1）函数的图象如图所示，

由题意知，，

①若，则在,上单调递减，

可得的最大值为；

②若，则在,上单调递减，在,上单调递增，

可得，

所以的最大值为 1；

③若，则在,上单调递减，在,上单调递增，

可得，

所以函数的最大值为，

综上，当时，的最大值为1，

当时，的最大值为．

（2）当时，在上的值域为，在上的值域为，

因为满足：对任意，都存在使得，

所以，成立

此时为函数的“区间”，

当时，在上的值域为，在上的值域为，

当时，，所以，，

即存在，对任意，使得，

所以不为函数的“区间”，

所以的最大值是.

22．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，在

①，②

两个条件中任选一个完成以下问题：

(1)求B；

(2)若D在上，且，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求出；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到，从而求出；

（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式求出，求出面积的最大值，从而求出的最大值；法二：利用正弦定理外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出的最大值.

【详解】（1）若选①，由正弦定理得，

即，即

∴，

∵，∴，

若选②,

∵，

∴，即，

即（舍）或，

∵，∴，

（2）∵，为边上的高，当面积最大时，高取得最大值

法一：由余弦定理得，，

由重要不等式得，

当且仅当时取等，

所以

所以边上的高的最大值为

法二：由正弦定理得外接圆的直径为，

利用正弦定理表示面积得：

所以边上的高的最大值为．