2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期期末数学试题含答案

2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解.

【详解】解：，

，

所以.

故选：D.

2．已知复数，则的共轭复数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的乘法运算求出复数，根据共轭复数的概念即可得答案.

【详解】由题意知，故，

故的共轭复数为，

故选：C

3．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若，则，

若，则，故，

若“”能推出“”，

但“”推不出“”，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

4．年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，抽取其中个样本，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，第二组，，第六组，得到如下频率分布直方图．则该名考生的成绩的平均数和中位数保留一位小数分别是（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】C

【分析】利用中间值作代表求解平均数，先求出中位数在第四组，在根据频率列出方程，求出中位数．

【详解】名考生成绩的平均数，

因为前三组频率直方图面积和为，前四组频率直方图面积和为，

所以中位数位于第四组内，设中位数为，则，

解得:，

故选：C．

5．若双曲线的两条渐近线与直线围成了一个等边三角形，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得，进而可求离心率.

【详解】由题可知，则的离心率．

故选：A.

6．若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即 （x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为2，

设圆心到直线ax﹣by+2=0的距离等于d，则由弦长公式得，

解得d=0，即

直线ax﹣by+2=0经过圆心，

∴﹣a﹣2b+2=0，

∴a+b=1，

∴（）（a+b）=+1++≥+2=+，当且仅当a=b时等号成立，

故式子的最小值为+.

故选C．

7．已知函数．若存在2个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，由与直线有两个交点，可得的取值范围．

【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点，

作出函数图象如下图所示，

由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则

故选：D

8．如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（    ）

A．

B．平面

C．三棱锥的体积为定值

D．的面积和的面积相等

【答案】D

【分析】选项中，由正方体的性质和线面垂直的判定定理可以得到平面，进而得出，正确；选项中，由正方体的性质和线面平行的判定定理可得平面，根据平面的基本性质可得平面与平面重合，得出平面，正确；选项中，由的面积为定值，点到平面的距离定值，得为定值，正确；选项中，由点、到直线的距离不相等，得的面积与的面积不相等，错误．

【详解】解：如图所示，连接,

对于A，平面,平面,,

又∵底面为正方形，,

由,平面，

平面，

又平面，

，故A正确；

对于B，平面，平面，

∴平面，

又、在直线上运动，

平面与平面重合，

平面，故B正确；

对于C，由于点到直线的距离不变，故的面积为定值；

又点到平面的距离为，故为定值，C正确；

对于D，点、到直线的距离不相等，

的面积与的面积不相等，故D错误．

故选：D．

【点睛】本题考查了直线与平面平行和垂直的判定问题，也考查了柱、锥体的面积与体积计算问题，是中档题．注意C中的三棱锥的底面和高的选择，尽量选择面积一定的面作为底面，可以更容易判定体积为定值.

二、多选题

9．已知函数，则下列关于此函数的描述准确无误的有（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的一个单调增区间为

C．函数的一个对称中心是

D．函数的一条对称轴是

【答案】AD

【分析】对于A，利用周期公式判断，对于B，由求出的范围，再根据正弦函数的性质判断，对于C，将坐标代入验证即可，对于D，将代入验证.

【详解】对于A，函数的最小正周期为，所以A正确；

对于B，当时，，因为在上单调递减，

所以在上递减，所以B错误；

当时，，所以函数的一个对称轴是，所以C错误；

对于D，当时，，函数取得最小值，所以函数的一条对称轴是，所以D正确．

故选：AD

10．已知向量，，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则有最小值

B．若，则有最小值

C．若，则的值为-1

D．若，则的值为1

【答案】AB

【分析】对于A项，运用数量积公式、基本不等式及“1”的代换可得结果，对于B项，运用数量积公式及基本不等式计算可得结果，对于C项，运用向量共线、数量积公式及对数运算可得结果，对于D项，运用向量垂直计算即可.

【详解】因为，，

对于A项，因为，所以，当且仅当，即，时取等号，故A项正确；

对于B项，若，，，，当且仅当，时取等号，故B项正确；

对于C项，若，则，则，又因为，，

所以当且仅当，时取等号，

所以，故C项错误；

对于D项，因为，所以，又因为，，

所以这样的a，b不存在，故D项错误.

故选：AB.

11．已知点，为坐标原点，，为曲线上的两点，为其焦点.下列说法正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若为线段的中点，则直线的斜率为

C．若直线过点，且是与的等比中项，则

D．若直线过点，曲线在点处的切线为，在点处的切线为，则

【答案】BCD

【解析】化为标准方程求出焦点坐标，判断A，设，代入曲线方程，相减结合中点坐标公式可得直线斜率，设直线方程为，代入曲线方程应用韦达定理得，利用等比数列得，由，代入可计算出，判断C，由导数求出切线斜率，计算可判断D．

【详解】曲线标准方程是，是抛物线，，，焦点为，A错；

设，若是中点，则，，

由，相减得，所以，B正确；

直线过，设直线方程为，由得，设，则，，

，若是与的等比中项，则，

，又，

所以．C正确；

，则，所以，D正确．

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的标准方程，抛物线的弦的性质，抛物线的切线斜率．考查知识点较多，属于中等题型，其中掌握抛物线的焦点弦性质是解题关键．

设抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点，，则

（1），当是轴垂直时，，此时称为抛物线的通径；

（2），；

（3）若直线的倾斜角为，则；

（4）以为直径的圆与准线相切．

（5）焦点到两点在准线上的投影的张角为，

（6）．

12．已知是定义在上的函数，是的导函数，给出如下四个结论，其中正确的是（    ）

A．若，且，则的解集为

B．若，且，则函数有极小值0

C．若，且，则不等式的解集为

D．若，则

【答案】ABD

【分析】根据各选项的条件分别构造出函数，再利用导数得到函数的单调性，再根据单调性和已知条件依次判断即可得到答案.

【详解】对选项A：设，因为，且，

则，所以在上增函数，

又因为，

所以当时，，

即的解集为，故A正确.

对选项B，设，

因为

所以当时， ，为减函数，

当时， ，为增函数，

故当，取得极小值，极小值为，故B正确.

对选项C，设，.

因为，，所以，在上增函数.

又因为，所以.

所以当时，，故C错误.

对选项D，设，

因为，所以，在上增函数.

所以，，即.

故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值，同时考查了构造函数，属于中档题.

三、填空题

13．已知向量，，若，则实数           .

【答案】

【分析】由向量垂直关系可得，由此构造方程求得结果.

【详解】，，又，

.

故答案为：.

14．已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项，则数列的通项公式为                ．

【答案】

【分析】根据等比数列通项公式列方程组解得首项与公比，根据单调性进行取舍，最后代入即得结果.

【详解】因为是，的等差中项，所以，

所以或，

因为数列单调递增，所以，所以数列的通项公式为．

【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本求解能力.

15．已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值        ．

【答案】

【分析】在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论．

【详解】不等式两边同时取对数得，

即x2lnx1＜x1lnx2，又

即成立，

设f（x）＝，x∈（0，m），

∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数，

函数的导数，

由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，

得0＜x＜e，

即函数f（x）的最大增区间为（0，e），

则m的最大值为e

故答案为e

【点睛】本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键

16．已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是         ．

【答案】

【分析】根据题意转化为 ，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．

【详解】由，可得，

当，，所以在单调递减，

，

，在上单调递增，

，

对任意的，都有成立，

，

，

故答案为：．

四、解答题

17．记首项为的数列的前项和为，且当时，

(1)证明：数列是等差数列；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据与之间的关系，结合等差数列定义分析证明；

（2）由（1）结合等差数列通项公式，利用裂项相消法结合恒成立问题运算求解.

【详解】（1）当时，，即，

则，可得，

所以，且，

所以数列是首项为，公差为的等差数列．

（2）由（1）可知，可得．

则，

所以， 

由题意可得，解得，

所以实数的取值范围为.

18．在中，内角的对边分别是，且.

(1)求；

(2)若是边的中点，且，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理求解即可；

（2）由题知，进而得，再结合基本不等式得，再根据面积公式求解即可.

【详解】（1）解：因为，

所以，

所以，.

因为，

所以.

（2）解：因为是边的中点，所以，

所以，

因为，且，所以.

因为，所以，当且仅当时等号成立，

所以.

则的面积.

所以，面积的最大值.

19．如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形是平行四边形，则，从而得证；

（2）在平面内，过点作，从而建立平面直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）如图，取的中点，连接，，

因为是的中点，

所以，且．

又是的中点，

所以．

由四边形是矩形，得，，

所以，且，

从而四边形是平行四边形，

所以．

又平面，平面，

所以平面．

（2）如图，

在平面内，过点作，因为，所以

又因为平面，平面，所以，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，．

因为平面，所以为平面的法向量，

设为平面的法向量．

又，，

由得，取，得．

从而，

所以平面与平面所成角的余弦值为．

20．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.

（1）求在上的增区间;

（2）若在上有两解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，可得函数的周期，从而得出的值，由平移得出的解析式，根据图像关于原点对称，可求出的值，从而可求单调增区间,得出答案.

（2）令 则，则，根据有两解，即有两解，从而可得答案.

【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，

函数的图像关于原点对称，，

所以

（1）由，

得，

令得

得

在增区间是

令，则

所以

若有两解，即在上有两解，

由的图象可得，，即

的取值范围是

【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设，由则所以若有两解，即在上有两解，然后数形结合求解，属于中档题.

21．已知椭圆：，长半轴长与短半轴长的差为，离心率为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若在轴上存在点，过点的直线分别与椭圆相交于、两点，且为定值，求点的坐标．

【答案】(1) (2)

【分析】（1）由题意可得：a﹣b，，a2＝b2+c2．联立解得：a，c，b．可得椭圆C的标准方程．

（2）设M（t，0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．分类讨论：①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x＝my+t．与椭圆方程联立化为：（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0．△＞0．可得|PM|2（1+m2），同理可得：|PQ|2＝（1+m2）．把根与系数的关系代入，化简整理可得．②当直线l的斜率为0时，设P（2，0），Q（﹣2，0）．|PM|＝|t+2|，|QM|＝|2﹣t|．代入同理可得结论．

【详解】（1）由题意可得：，，．

联立解得：，，，∴椭圆的标准方程为：.

（2）设，，．

①当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：．

联立，化为：．．

∴，．

，同理可得：．

∴

.

∵为定值，∴必然有，解得．

此时为定值，．

②当直线的斜率为0时，设，．，．

此时，把代入可得：为定值．

综上①②可得：为定值，．

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

22．已知函数，.

（1）求函数的单调区间;

（2）是否存在实数，使得函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）结合的定义域，以及导数的零点的情况，确定分类讨论的标准为，从而求出对应的单调区间.

（2）由（1）可知，只有当时，在定义域内有一个零点，即为的极大值点.要使得极大值，等价转化为使得，再结合导函数的性质，即可得求得的范围.

【详解】（1）函数的定义域为.

①当时，，∵ ∴

∴ 函数单调递增区间为.

② 当时，令得，   .

（ⅰ）当，即时， ，

∴ 函数的单调递增区间为.

（ⅱ）当，即时，方程的两个实根分别为

，.

若，则，此时，当时，.

∴函数的单调递增区间为，

若，则，

此时，当时，,单调递增

当时，单调递减

综上，当时，函数的单调递增区间为单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为.

（2）解：由(1)得当时，函数在上单调递增，

故函数无极值；

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为

；

则有极大值，其值为， 其中.

而，∴

设函数，则，

则在上为增函数.

又，故等价于.

因而 等价于.

即在时，方程的大根大于1，

设，由于的图象是开口向下的抛物线，且经过点(0,1)，对称轴，则只需，即

解得，而，

故实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查了函数单调区间的求解，以及函数极值问题，涉及到导数在函数单调性、极值问题中的应用，以及函数与方程的思想，属于难题.对于函数（含参）单调性讨论问题，关键是结合函数的定义域，以及导数的零点情况（零点的存在性、个数、求解、分布以及大小关系），确定分类讨论的标准，从而讨论导数符号，确定函数单调性（单调区间）.