2023届山西省际名校高三下学期4月联考二（冲刺卷）数学试题（A）含答案

  山西省际名校2023届高三联考二（冲刺卷）

数学试题（A）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数z满足，则=

A.       B.       C.       D.2

2.设A是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称A是一个数域，则下列集合为数域的是

A.N       B.Z       C.O       D.

3.如图，在△ABC中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则

A.       B.       C.       D.

4.折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，折纸大约起游于公元1世纪或者2世纪时的中国，折纸与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学成为现代几何学的一个分支.如图，现有一半径为4的圆纸片(A为圆心，B为圆内的一定点)，且，如图将圆折起一角，使圆周正好过点B，把纸片展开，并留下一条折痕，折痕上到A，B两点距离之和最小的点为P，如此往复，就能得到越来越多的折痕，设P点的轨迹为曲线C.在C上任取一点M，则△MAB面积的最大值是

A.2       B.3       C.       D.

5.小李，小王相约周日到晋祠游玩，两人约定早上7:00各自从家出发，小李乘坐301路公交，路上所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(44，4).小王乘坐804路公交，路上所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40，16).下列说法从统计角度可认为不合理的是(参考数据:Z～N(，)，则，

，))

A.小王在7:28前到达晋祠的可能性不超过1%

B.小王比小李在7:50前到达晋桐的可能性更小

C.小李和小王在7:48前到达晋祠的可能性一样

D.小李比小王在7:44前到达晋祠的可能性更大

6.已知，函数)，则

A.有最小值，有最大值       B.无最小值，有最大值

C.有最小值，无最大值       D.无最小值，无最大值

7.正四棱柱中，AB=2，P为上底面的中心，M是棱AB的中点，正四棱柱的高，点M到平面PCD的距离的取值范围是

A.[3，]       B.[，]       C.[，2]       D.[，]

8.若对圆C：上任意一点P，曲线上存在点Q，使得.则实数a的取值范围是

A.       B.       C.       D.

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则

A.的图象关于点(-，0)中心对称       B.的图象关于直线对称

C.函数在[-，]上单调递增       D.函数在[-，]上的最小值是-

10.正方体ABCD-的棱长为a，E在棱上运动(不含端点)，则

A.侧面中不存在直线与DE垂直

B.平面与平面ABCD所成二面角为

C.E运动到的中点时，上存在点P，使BC∥平面AEP

D.P为中点时，三棱锥体积不变

11.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者可将球传给另外两人中的任何一人，设第n次传球后球在甲手中的方法数为，在乙手中的方法数为，则

A.

B.

C.存在唯一实数，使得为等比数列

D.当n为偶数时，

12.已知抛物线C：的焦点为F，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C相交于P，Q，l2与C相交于M，N，PQ的中点为G，MN的中点为H，则

A.                B.

C.的最小值为16       D.当最小时，直线GH的斜率不存在

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2022年11月底，人工智能对话聊天机器人ChatGPT推出，迅速在社交媒体上走红，短短5天，注册用户数就超过100万，截至2023年2月，这款新一代对话式人工智能便在全球范围狂1亿名用户，并成功从科技界破圈，成为街头巷尾的谈资，2023年2月各天全球该软件注册人数数据(单位:万人)从小到大排列如下：

16  22  36  58  64  68  70  102  106  108  110  124  126  154

162  165  166  186  210  226  230  256  310  321  458  468  532  789

该软件2023年2月全球注册人数的第75百分位数是_______________.

14.已知直线l1：，l2：，圆C：)，若圆C与直线，都相切，则r=_________.

15.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“菜布尼茨三角形”，菜布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是____________；若，则____________(用含n的代数式作答).(第一空2分，第二空3分)

16.已知函数为奇函数，g(x)的图象关于直线对称，若.则g(x)的最大值是______________.

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)A在三棱锥A-BCD中，△BCD是等边三角形，，M是BC边的中点.

(1)求证:；

(2)MA=3，，从以下两个条件中任选一个，求直线BD与平面ACD所成角的余弦值.

①平面ABC与平面BCD所成二面角为；

②三棱锥A-BCD的体积为.

18.(12分)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，.

(1)求；

(2)若，M为△ABC的内心，求△AMC的面积.

19.(12分)已知是等差数列，是等比数列，若，，.

(1)求和的通项公式；

(2)对任意的正整数n，设求数列的前2n项和.

20.(12分)在现实生活中，每个人都有一定的心理压力，而且这种压力将伴随着现代生活节奏的加快和社会竞争日趋加速而逐渐增大，心理压力产生的主要原因是个人目标期望值与现实状况之间的差距，这种差距越大产生的心理压力就越大，当心理压力达到一定程度时，不但不会产生积极的动力，反而会使人的身体经络系统失去平衡，进而产生如焦虑症、恐慌症、失眠症等其他心理疾病，某市为了解市民压力情况，随机对该市的1000位市民进行了心理压力测试，并对他们的压力分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)压力分数越接近100表示压力越大，80分为临界分数，压力分数不低于临界分数的则需要降低追求目标或充分休息，以样本的频率作为总体的概率，在该市随机调查10位市民，X表示其中需要降低追求目标或充分休息的人数，求X的期望；

(2)从样本中压力分数在[80，90)，[90，100]的两组市民中，用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选出3人，求选出的3人中恰有2人压力分数在[80，90)中的概率；

(3)若一个总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差分别为:m，，，n，，.记总的样本平均数为，样本方差为.证明:

①；

②.

21.(12分)已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点.

(1)求的值；

(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+++=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.

22.(12分)设函数.

(1)求在区间上的极值点个数；

(2)若为的极值点，则，求整数A的最大值.

2023年省际名校联考二

(冲刺卷)数学参考答案详解及评分说明

评分说明：

1.考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定评分。

2.计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不给分。

A卷选择题答案

一、单项选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

2.C

3.B

4.D

5.D

6.C

7.B

8.A

二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.AD

10.BCD

11.ABD

12.BCD

非选择题答案

三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.243

14.或1

15.  

16.

四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明：连接MD，

∵△BCD是等边三角形，

∴BD=CD.

在△ABD和△ACD中，∠ADB=∠ADC，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD，

∴AB=AC，…………………………………………………………………………………2分

∵M是BC边的中点，

∴BC⊥MA,BC⊥MD.

∵MA⋂MD=M，MA⊂平面AMD，MD⊂平面AMD，

∴BC⊥平面AMD，

又AD⊂平面AMD，

∴BC⊥AD.………………………………………………………………………………………………………4分

（2）选①解：以M为原点建立空间直角坐标系如图所示，

由题可得:A(-，0，)，B(0，-，0)，C(0，，0)，D(3，0，0)，M(0，0，0).

设平面ACD的法向量为，，，

则

∴

∴

令，则，，

∴...................................................................................6分

又∵

∴...................................................................................8分

直线BD与平面ACD所成角的余弦值为...................................................................................10分

选②解:设三棱锥的高为h，

∵，

∴，

∴MA⊥底边BCD，

以M为原点建立直角坐标系如图所示，

则A(0，0，3)，，

设平面ACD的法向量为，

则

∴

∴

令，则

又∵

∴.......................................................................................8分

直线BD与平面ACD所角的余弦值为....................................................................10分

18.解:由正弦定理得，

∴...................................................................................2分

∴

∴..................................................................................4分

∴，

∵A为三角形内角，，

∴.................................................................................................................5分

(2)由(1)可得.，

∵

∴，，...............................................6分

∴，...............................................................8分

∵，，

∴，.

∵..................................................................10分

设△ABC内切圆半径为r，

则，，

∴........................................................................12分

19.解:(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.

依题意得...............................................................................................1分

解得或(舍)................................................................................................3分

故，...............................................................4分

(2)

...............................................................6分

......................................................8分

两式相减得

......................................................10分

......................................................10分

因此，

所以，数列的前2n项和为.................................................12分

20.解:(1).即随机调查一位市民需要降低追求目标或充分休息的概率为0.2.

所以X～B(10，0.2)，

∴..............................................................................2分

(2)样本中压力分数在[80，90)的人数为，样本中压力分数在[90，100]的人数为，用样本量比例分配的分层随机抽样的方法抽取的10人中，压力分数在[80，90)的样本量为，在[90，100]的样本量为.

从这10人中随机选出3人共种选法，其中恰有两人压力分数在[80，90)中有种选法，选出的3人中恰有2人压力分数在[80，90)中的概率为...................................................5分

(3)证明:①，即得证...................................................................7分

②

............................................................9分

∵，

∴，

同理可得.................................................................10分

，

，

∴，即得证...................................................................12分

21.解:(1)双曲线E：的左、右焦点分别为，，

设，

，同理可得.

∴.........................................................................3分

(2)设，

直线方程为，

代入双曲线方程可得：，

所以，，..............................................................................5分

...............................................................................8分

同理，

即，................................................................9分

即，

∴或，

又，................................................................10分

若.无解，舍去.

∴，解得，，或，，

若，，由A在直线上可得，，

∴.此时A(，-)，

若，，由A在直线上可得，，

∴此时A(-，)，

∴存在点A(，-)，或(-，)，满足...................................................12分

22.解:(1)，，...............................................................1分

①当时，，，单调递增，无极值点:..............................2分

②当时，，单调递减，

，.故存在唯一，使得.

当时，；当时，，

故在上单调递增，在上单调递减，有极大值点；......................3分

综上在区间N上有1个极值点................................................................4分

(2)若为的极值点，则，，..................................5分

............7分

令，，即............................................................8分

记)，即.......................................9分

①当时故g(t)在[1，+∞)上单调递增，.符合题意；...............10分

②当时，若，则，故g(t)在上单调递减.

由(1):在区间上存在极值点，记为，则，

故，不符题意；……………………………………………………11分

综上，整数的最大值为1.………………………………………………………………12分