2022-2023学年陕西省西安市灞桥区西安市第七十中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市灞桥区西安市第七十中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合U=,则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

2．给出下列条件：①；②；③，；④，.其中能使成立的条件有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

【答案】C

【分析】根据基本不等式可知，当成立时，则，可知、同号，据此可得出结论.

【详解】由基本不等式可知，要使得成立，则，所以，、同号，所以①③④均可以.

故选：C.

【点睛】本题考查应用基本不等式时基本条件的理解，属于基础题.

3．函数的定义域是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】D

【分析】结合二次根式的意义列出不等式组，解不等式组即可.

【详解】由题意知，函数的定义域为：

，解得，

故选：D

4．已知，，，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】B

【分析】利用基本不等式进行求解即可；

【详解】因为，，

所以，当且仅当时，取等号，

故选：B

5．已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数的图像和性质可求得答案

【详解】解：由于， 所以当时，取得最大值，

由，解得或，

所以当时，函数的值域为，且，

因为二次函数的图像开口向下，

所以要使函数在上的值域为，只需，

故选：C

6．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】A

【分析】根据二次函数图象及性质，结合一元二次函数与一元二次不等式的解集的关系即可求解.

【详解】由二次函数图象知：，二次函数的零点为和，

所以一元二次方程的两根为或，

所以不等式的解集为.

故选：A.

7．已知偶函数在区间上单调递增，若满足，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据奇偶性和单调性直接去“”，得不等式，解不等式即得答案.

【详解】因为是偶函数，且在区间上单调递增，

所以由得，解得，

故选：B.

8．已知函数，则下列判断中正确的是．

A．奇函数，在上为增函数 B．偶函数，在上为增函数

C．奇函数，在为减函数 D．偶函数，在上为减函数

【答案】A

【详解】，

显然，则为奇函数．

又∵在上且在上．

∴在上．

∴是上的奇函数．

故选．

二、多选题

9．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BCD

【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.

【详解】对A，可得的定义域为，则，对应关系不一致，故A错误；

对B，和的定义域都为，且，对应关系一致，故B正确；

对C，和的定义域都为，且，对应关系一致，故C正确；

故D，和的定义域都为，且对应关系一致，故D正确.

故选：BCD.

10．下列结论错误的是（    ）

A．若方程没有实数根，则不等式的解集为

B．不等式在上恒成立的条件是且

C．若关于x的不等式的解集为，则

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，结合一元二次不等式的解集性质逐一判断即可.

【详解】A：因为方程没有实数根，

所以抛物线与横轴没有交点，

当时，二次函数开口向下，

所以的解集为空集，因此本选项结论错误；

B：当时，显然不等式在上恒成立，

因此本选项结论错误；

C：当时，不等式的解集为，显然不是整个实数集，

当时，要想关于x的不等式的解集为，

只需，因此本选项结论正确；

D：显然当时，满足，但是没有意义，

因此本选项结论错误，

故选：ABD

11．设函数，若，则实数可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】分、、三种情况讨论，验证是否成立，综合可得出实数的取值范围，即可得出合适的选项.

【详解】若，则，，成立；

若，则，，成立；

若，则，，不成立.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：AB.

12．已知幂函数的图象经过点，则（    ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．当时， D．当时，

【答案】ACD

【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可判断A、C项，根据函数的定义域可判断B项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等式可判断D项.

【详解】解：设幂函数，则，解得，所以，

所以的定义域为，在上单调递增，故A正确，

因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B错误，

当时，，故C正确，

当时，，

又，所以，D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．设函数，则      .

【答案】3

【分析】根据分段函数每段的定义域求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

故答案为：3

14．若，，，则，，2ab，中最大的一个是      ．

【答案】/

【分析】确定，，，得到答案.

【详解】，，，则，，，

综上所述：最大的一个是.

故答案为：

15．若“，”为假命题，则实数的最小值为           .

【答案】

【分析】根据特称命题的否定为全称命题，可得“，”为真命题，然后转化为恒成立问题求解.

【详解】因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以对恒成立，即.

故答案为：.

16．若一次函数是增函数，且满足，则      .

【答案】

【分析】设出函数解析式，然后利用待定系数法即可求解.

【详解】设，

则，

所以，解得，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】运用指数幂的运算法则对（1）（2）进行求解即可.

【详解】（1）；

（2）

18．已知不等式的解集为

(1)求，的值；

(2)解不等式.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）依题意可得或是方程的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可得原不等式可化为，再对参数分类讨论，即可得解；

【详解】（1）解：因为不等式的解集为或，

所以或是方程的根，

根据韦达定理，

解得，

（2）解：由（1）可知不等式化为，

即

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为

19．设，求证成立的充要条件是．

【答案】见解析

【分析】分为充分性和必要性两种情况来进行证明即可，充分性：若，则成立；必要性：若，则；证明过程结合去绝对值的方法和的性质即可得证

【详解】①充分性：若，则有和两种情况，当时，不妨设，则，

，∴等式成立．

当时，，或，，

当，时，，，∴等式成立，

当，时，，，∴等式成立．

综上，当时，成立．

②必要性：若且，则，

即，

∴，∴．

综上可知，是等式成立的充要条件．

【点睛】本题考查互为充要条件的证明，证明过程中一定要做到讨论的不重不漏，要注意结合绝对值含义去绝对值，对于运算性质的掌握有一定要求，属于中档题

20．已知函数.

(1)若，求a的值；

(2)判断函数的奇偶性并证明.

【答案】(1)；

(2)奇函数，证明见解析.

【分析】（1）利用代入法进行求解即可；

（2）根据函数奇偶性的定义进行判断证明即可.

【详解】（1）由

（2）函数是奇函数，证明如下：

函数的定义域为非零实数集，显然关于原点对称，

因为，

所以函数是奇函数.

21．已知函数.

（1）证明函数在区间上为减函数；

（2）求函数在区间上的最值.

【答案】(1)证明见解析，（2）最大值为，最小值为.

【详解】试题分析：（1）运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号和下结论几个步骤；（2）运用（1）的结论，即可得到最值．

试题解析：（1）证明：任取，且，

则

由于，则，，，

则，即，

所以函数在区间上为减函数

（2）由（1）可知，在区间上递减，

则最大，最大值为2，最小，最小值为.

【解析】1、函数的单调性的证明和运用；2、函数的最值.

22．已知函数

(1)求函数的值域；

(2)若时，函数的最小值为，求的值和函数的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据设指数函数，然后得到关于的二次函数，借助于二次函数的性质得到值域．

（2）当给定区间的最小值时，需要对于的范围的求解，以及判定最大值和参数的值．

【详解】（1）设，

在上是减函数，

所以值域为.

（2） 由,且，

所以在上是减函数，

所以或(不合题意舍去),

所以当时有最大值，

即 .