2022-2023学年陕西省西安市碑林区高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市碑林区高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据并集的概念运算可得结果.

【详解】因为集合，

所以.

故选：A

2．已知，则“”是“”的（    ）

A．充分必要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据两个条件之间的推出关系可得正确的选项.

【详解】当时，，

故“”可以推出“”，

当时，，此时推不出，

故“”推不出“”，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：C.

3．命题的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.

【详解】命题的否定为：，

故选：C.

4．已知，下列不等式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质或反例可判断各项的正误.

【详解】对于A，取，但，故A错误；

对于B，取，但，故B错误；

对于C，因为，故即，故C正确；

对于D，取，但，故D错误.

故选：C.

5．铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm.设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（   ）

A．a + b + c ≤M B．a +b +c >M C．a + b + c ≥M D．a + b+ c <M

【答案】A

【分析】根据长、宽、高的和不超过Mcm可直接得到关系式.

【详解】长、宽、高之和不超过Mcm，

.

故选：A.

6．不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意列不等式组求解

【详解】当即时，恒成立，满足题意，

当时，由题意得，解得，

综上，的取值范围是，

故选：B

7．函数的单调增区间为（    ）

A． B． C．和 D．

【答案】C

【分析】由可得且，然后求出的减区间即可.

【详解】由可得且，

因为开口向下，其对称轴为，

所以的减区间为和

所以的单调增区间为和

故选：C

8．已知是偶函数，是奇函数，定义域均为，二者在上的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据图象求出当时，不等式的解集和的解集，再利用函数奇偶性质得到是奇函数，求出时，不等式的解集，从而得到不等式在定义域为时，的解集.

【详解】有图可得，当时，，，；

当时，，，故.

所以当时，不等式的解集为.

又因为是偶函数，是奇函数，所以是奇函数，

由奇偶性可知，当时，不等式的解集为，

所以不等式的解集是.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．任何集合都是它自身的真子集

B．集合共有4个子集

C．集合

D．集合

【答案】BC

【分析】根据集合的性质依次判断即可.

【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误；

对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确；

对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确；

对D，因为，当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误.

故选：BC.

10．已知命题，若为真命题，则的值可以为（    ）

A．-2 B．-1 C．0 D．3

【答案】BCD

【分析】根据给定条件求出为真命题的a的取值范围即可判断作答，

【详解】当时，，为真命题，则，

当时，若为真命题，则，解得且，

综上，为真命题时，的取值范围为.

故选：BCD

11．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（    ）

A．

B．

C．的解集为

D．的解集为或

【答案】ABC

【分析】根据二次不等式的解法，结合二次函数的性质，可得各参数的与零的大小关系，再结合韦达定理，可得选项中二次方程的解，可得答案.

【详解】不等式的解集为，，故A正确；

，令，，即，故B正确；

由上所述，易知，，

由题意可得为一元二次方程，则，，

则，，即为方程的解，

则可知不等式的解集为，故C正确，D错误.

故选：ABC.

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，设函数，则下列关于函数叙述正确的是（    ）

A．为奇函数 B． C．在上单调递增 D．有最大值无最小值

【答案】BC

【分析】根据的定义，将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据函数图象判断函数的性质.

【详解】由题意：，所以

所以的图象如下图，

由图象分析： ，所以A不正确；，所以B正确；

在上单调递增，所以C正确；有最小值无最大值，所以D不正确.

故选：BC.

三、填空题

13．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.

①为幂函数；②为偶函数；③在上单调递减.

【答案】（或，，答案不唯一）

【分析】结合幂函数的图象与性质可得．

【详解】由幂函数，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此，或，等等．

故答案为：（或，，答案不唯一）．

14．已知函数，则___________.

【答案】

【分析】根据分段函数的形式可求的值，从而可求其和.

【详解】，故，

故答案为：.

15．若，，且，则的最小值是____________．

【答案】

【分析】利用基本不等式得，再解不等式可得结果.

【详解】因为（当且仅当时，等号成立），

所以，

所以，所以，所以，

所以的最小值为.

故答案为：

16．若关于的不等式恰好有三个整数解，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】二次不等式作差，利用平方差公式因式分解，分析解集的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一个端点的范围．

【详解】由题恰好有三个整数解，

即恰好有三个整数解，

，即，

，恒成立，

由

所以不等式的解集为，

由，

若不等式恰好有三个整数解，

当，即，此时无解.

 当，即，

此时解得，所以实数的取值范围是.

故答案为：

【点睛】方法点睛：此题主要考查含参数的二次不等式，根据不等式的解集特征求参数范围，关键在于准确进行分类讨论．

分类讨论思想的常见类型 ：

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

⑵问题中的条件是分类给出的； 

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

四、解答题

17．已知幂函数的图象关于轴对称，集合.

(1)求的值；

(2)当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义可得，求出的值，再检验即可得出答案.

(2) 先求出函数的值域，即得出集合，然后由题意知，根据集合的包含关系得到不等式组，从而求出答案.

【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或，

当时，的图象不关于轴对称，舍去，

当时，的图象关于轴对称，

因此.

（2）当时，的值域为，则集合，

由题意知 ，得，解得.

18．数学上把在平面直角坐标系中横坐标和纵坐标均为整数的点称之为格点或整点.设集合为第一象限连同边界上的格点集，即，已知集合.

(1)分别求和；

(2)求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意，分别求出和上位于第一象限连同边界上的点，得到和；

（2）在第一问的基础上求出并集.

【详解】（1），令，解得：，

令，解得：，

故，

，令，解得：，

令，解得：，

故，

（2）.

19．设，，均为正数，且1．

(1)求的最小值；

(2)证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件；

（2）法一：应用柯西不等式证明，注意等号成立条件；法二：应用分析法，将问题转化为证，再结合基本不等式求证，注意等号成立条件；

【详解】（1），均为正数，且，

，

当且仅当，即 时等号成立，

故的最小值为．

（2）法一：由柯西不等式得，，

即，

故不等式成立，当且仅当等号成立．

法二：要证明

只需证明

只需证明

只需证明

因为，当且仅当，即时等号成立.

综上所述：.

20．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明：讲课开始时，学生注意力集中度的值（的值越大，表示学生的注意力越集中）与x的关系如下：

(1)讲课开始时和讲课开始时比较，何时学生的注意力更集中？

(2)讲课开始多少分钟时，学生的注意力最集中，能持续多久？

(3)一道数学难题，需要讲解，并且要求学生的注意力集中度至少达到55，那么老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？请说明理由.

【答案】(1)讲课开始后5min学生注意力更集中

(2)开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟

(3)不能，理由见解析

【分析】（1）由题意得，，即可得到答案；

（2）分析函数的单调性，根据函数单调性求函数最值，即可求出；

（3）分别求解当和时，不等式的解集，求出满足条件的时长，即可得到结论.

【详解】（1）由题意得，，

所以讲课开始后5min学生注意力更集中.

（2）当时，，

在时单调递增，最大值为．

当时，；当时，函数为减函数，且．

因此开讲10分钟后，学生的接受能力最强（为，能维持6分钟．

（3）当时，令，解得或20（舍去）；

当时，令，解得，

可得学生一直达到所需接受能力55的状态的时间，

因此老师不能及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

21．已知函数

(1)证明：为偶函数；

(2)判断的单调性并用定义证明；

(3)解不等式

【答案】(1)证明见解析

(2)为上的增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；

（2）首先得到的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；

（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】（1）证明：的定义域为，

又，故为偶函数；

（2）解：，所以为上的增函数，

证明： 任取，，且，

∵，∴，又，

∴，即，

∴为上的增函数；

（3）解：不等式，

等价于

即，

∵为上的增函数，

∴，解得，故不等式的解集为.

22．定义：已知函数在上的最小值为，若恒成立，则称函数在上具有“”性质．

（）判断函数在上是否具有“”性质？说明理由．

（）若在上具有“”性质，求的取值范围．

【答案】（1）具有（2）

【详解】试题分析：（1）先根据二次函数性质求最小值，再根据定义判断是否具有“”性质，（2）先根据对称轴与定义区间位置关系求函数最小值，再根据定义列不等式，解不等式可得的取值范围．

试题解析：（）∵，，

对称轴，开口向上，

当时，取得最小值为，

∴，

∴函数在上具有“”性质．

（），，

其图象的对称轴方程为．

①当，即时，．

若函数具有“”性质，则有总成立，即．

②当，即时，

．

若函数具有“”性质，则有总成立，解得无解．

③当，即时，，

若函数具有“”性质，

则有，解得无解．

综上所述，若在上具有“”性质，则．