数学九年级上册4.3 等可能条件下的概率（二）精品精练

第4章    等可能条件下的概率

4.3  等可能条件下的概率（二）

知识点01  用列举法计算概率

常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.

1.列表法

当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

【微点拨】

（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.

【即学即练1】1．在一个不透明的袋子里装有5个小球，每个球上都写有一个数字，分别是1，2，3，4，5，这些小球除数字不同外其它均相同．从中随机一次摸出两个小球，小球上的数字都是奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

通过列举的方法将所有可能的情况一一列举，进而找出小球上的数字都是奇数的情况即可求出对应概率．

【详解】

所有可能出现的情况列举如下：

；；；

；；

；

共10种情况，

符合条件的情况有：；；；共3种情况；

小球上的数字都是奇数的概率为，

故选：C．

【即学即练2】2．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子向上的点数之和为7的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用列表法，可求得两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数及两枚骰子向上的点数之和为7的结果数，根据概率计算公式即可求得所求的概率．

【详解】

列表如下：

由表知，两枚骰子向上的点数之和所有可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为7的结果数为6，故两枚骰子向上的点数之和为7的概率是：

故选：B．

知识点02  树状图

当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.

树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

【微点拨】

(1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；

(2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

【即学即练3】3．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出恰有一车直行，另一车左拐的结果数，然后根据概率公式求解．

【详解】

解：画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中恰有一车直行，另一车左拐的结果数为2，

所以恰有一车直行，另一车左拐的概率＝ ．

故选A．

【即学即练4】4．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是2，1，0，－1，卡片除数字不同外其他均相同，随机从这四张卡片中一次抽取两张，抽取的两张卡片上数字之积为非负数的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

利用树状图，可得所有可能的结果数，以及抽取的两张卡片上数字之积为非负数的结果数，根据概率公式即可解决．

【详解】

根据题意画树状图如下：

由图知共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为非负数的结果有8种，故抽取的两张卡片上数字之积为非负数的概率为

故选：C．

考法01  列表法或树状图求概率

1、利用列表法或树状图法求随即事件的概率,关键要注意以下三点：

（1）注意各种情况出现的可能性务必相同；

（2）其中某一事件发生的概率文库 =某一事件发生的次数/各种情况出现的次数；

（3）在考察各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏．

（4）用列表法或树状图法求得概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率

【典例1】如图，电路图上有4个开关和1个小灯泡，同时闭合2个开关，小灯泡发光的概率是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

解：如图，电路图上有4个开关

画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，

∴小灯泡发光的概率为：．

故选：D．

考法02  根据概率公式计算概率

1、一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：

（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；

（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；

（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=.

【典例2】四个相同的不透明的袋子都装有除颜色外无其它差别的小球．从这四个袋子中分别随机摸出一个球，摸到红球可能性最大的是（    ）

A．有1个红球和2个白球的袋子 B．有2个红球和3个白球的袋子

C．有3个红球和4个白球的袋子 D．有4个红球和5个白球的袋子

【答案】D

【分析】

根据概率公式求出每一个选项的概率，比较即可．

【详解】

解：A、随机摸出一个球，摸到红球的概率

B、随机摸出一个球，摸到红球的概率

C、随机摸出一个球，摸到红球的概率

D、随机摸出一个球，摸到红球的概率

故选：D．

题组A  基础过关练

1．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再依据概率公式求解即可．

【详解】

解：设A、B、C、D分别表示“零陵渔鼓，瑶族长鼓舞，东安武术，舜帝祭典”四种民俗文化，则列表格为：

由表可知，共有12种等可能结果，其中小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”有2种，所以小明选择体验“瑶族长鼓舞，舜帝祭典”的概率为．

故选：D．

2．在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据简单事件的概率计算公式即可得．

【详解】

解：由题意得：从不透明的袋中随机摸出1个球共有5种等可能性的结果，其中，摸出红球的结果有2种，

则从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是，

故选：C．

3．三年一班班长的钥匙串上有5把钥匙，其中两把是开本班教室门锁的随意用一把钥匙开本班教室门，能打开本班教室门锁的概率为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

用能开教室门锁的钥匙除以总钥匙数即可得出答案．

【详解】

解：∵有2把钥匙能开教室门锁，共有5把钥匙，

∴小芳能打开教室门锁的可能性为：．

故选：B．

4．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是（    ）．

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】

根据题意得到共有6种等可能性，根据概率公式即可求解．

【详解】

解：由题意得，抛掷骰子，朝上的一面点数共有六种等可能性，分别为1，2，3，4，5，6，其中点数为奇数的共有3种等可能性，

∴朝上的面的点数为奇数的概率是．

故选：C

5．从，0，，3.14，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

从所列五个实数中找到有理数的个数，利用概率公式求解即可．

【详解】

解：在所列的5个实数中，是有理数的有0，3.14，这3个数，

所以随机抽取一个数，抽到有理数的概率是．

故选：C．

6．一道单项选择题有四个备选答案，从中随机地选一个答案，选到正确答案的概率是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】

根据简单事件的概率计算公式即可得．

【详解】

解：因为在一道单项选择题的四个备选答案中，只有一个答案是正确答案，

所以从中随机地选一个答案，选到正确答案的概率是，

故选：A．

7．在一次联欢晚会上，某班进行以下游戏，准备两个不透明的袋子和7个小球（大小、形状完全一样），一个袋子里放置3个小球，球面上分别写着“好”“运”“来”，另一个袋子里放置4个小球，球面上分别写着“新”“年”“好”“运”．现从两个袋子里各随机抽取一个球，球面上的字可以组成“好运”字样的获得一等奖，则获得一等奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

画树状图，共有12个等可能的结果，其中获得一等奖的结果有2个，再由概率公式求解即可．

【详解】

解：画树状图如图：

共有12个等可能的结果，其中获得一等奖的结果有2个，

∴获得一等奖的概率为，

故选：C．

题组B  能力提升练

1．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

画树状图，共有12个等可能的结果，取出的鞋是同一双有4个，再由概率公式求解即可．

【详解】

解：设两双鞋的型号分别为：，

其中A1，A2为一双，B1，B2为一双，

画树状图如下：

共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，

则取出的鞋是同一双的概率为：，

故选：A．

2．广东省2021年的高考采用“”模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．若小红在“1”中选择了历史，则她在“2”中选地理、生物的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【详解】

解：用树状图表示所有可能出现的结果如下：

共有12种等可能的结果数，其中选中“地理”“生物”的有2种，

则P（地理、生物）＝2÷12＝．

故选A．

3．从－3，0，1，2这四个数中任取一个数作为一元二次方程的系数的值，能使该方程有实数根的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=32+4a≥0且，解得a≥且，然后根据概率公式求解．

【详解】

解：当△=32+4a≥0且时，一元二次方程有实数根，
所以a≥且，
从－3，0，1，2这4个数中任取一个数，满足条件的结果数有，
所以所得的一元二次方程中有实数根的概率是．
故选：．

4．2020年9月8日第十一届全国少数民族传统体育运动会在郑州奥体中心隆重开幕，某单位得到了两张开幕式的门票，为了弘扬劳动精神，决定从本单位的劳动模范小李、小张、小杨、小王四人中选取两人去参加开幕式，那么同时选中小李和小张的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数和同时选中小李和小张的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【详解】

根据题意画图如下：

共有12种等可能的结果数，其中同时选中小李和小张的有2种，

∴同时选中小李和小张的概率为＝．

故选D．

5．现有张正面分别标有数字0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则使得关于的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有解的概率为______．

【答案】

【分析】

根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，综合两个结果即可得出答案．

【详解】

一元二次方程有实数根，

∴.

∴，

∴，1，2，

关于的分式方程的解为：，

且且，

解得：且，

∴，

∴使得关于的一元二次方程，

有实数根，且关于的分式方程有解的概率为：.

故答案为：

6．从位男同学和位女同学中任选人参加志愿者活动，所选人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是________．

【答案】

【分析】

根据题意画出树状图，由树状图求得所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

解：根据题意画树状图：

∵共有20种可能的结果，所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有12种，

∴所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：= ，

故答案为

7．某校在甲、乙两名同学中选拔一人参加襄阳广播电台举办“国学风，少年颂”襄阳首届少年儿童经典诵读大赛.在相同的测试条件下，两人3次测试成绩（单位：分）如下：

甲：79，86，82；乙：88，79，90．

从甲、乙两人3次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都大于80分的概率是_______．

【答案】

【详解】

解：根据题意可知可抽到的结果为：79，88；79，79；79，90；86，88；86，79；86，90；82，88；82，79；82，90；共9种可能，符合都大于80的可能为4中，所以抽到两个人的成绩都大于80的概率为

故答案为：．

题组C  培优拔尖练

1．下列说法正确的是(   )

A．“购买张彩票就中奖”是不可能事件

B．“概率为的事件”是不可能事件

C．“任意画一个六边形,它的内角和等于”是必然事件

D．从中任取个不同的数,分别记为和,那么的概率是

【答案】D

【分析】

根据必然事件、不可能事件、随机事件以及画出树状图求概率即可解答．

【详解】

解：A. “购买张彩票就中奖”是随机事件，故选项A不满足题意；

B. “概率为的事件”是随机事件，故选项B不满足题意；

C. 任意画一个六边形,它的内角和等于720°，则任意画一个六边形的内角和等于是不可能事件，故选项C不满足题意；

D.根据题意画出树状图如下：

∴共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，a2+b2>19的有4种结果

∴a2+b2 > 19的概率是，故选项D满足题意．

2．在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来，由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败，其余的情况就算中奖，那么小嘉宾中奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

得出总的情况数和失败的情况数，根据概率公式计算出失败率，从而得出中奖率．

【详解】

解：设“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字对应的字母为a、b、c、d，则所有的可能性为：（abcd）、（abdc）、（acbd）、（acdb）、（adbc）、（adcb）、（badc）、（bacd）、（bcad）、（bcda）、（bdac）、（bdca）、（cabd）、（cadb）、（cbad）、（cbda）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dacb）、（dbac）、（dbca）、（dcab）、（dcba），则都不相同的可能有：（badc）、（bcda）、（bdac）、（cadb）、（cdab）、（cdba）、（dabc）、（dcab）、（dcba），故小嘉宾中奖的概率为：．

故选：B．

3．如图，在3×3的方格中，A，B，C，D，E，F分别位于格点上，从C，D，E，F四点中任意取一点，与点A，B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是（     ）

A．1 B．  C．  D．

【答案】D

【分析】

根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．

【详解】

解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，
故P（所作三角形是等腰三角形）=．
故选D．

4．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

用A，B，C分别表示给九年级的三辆车，画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，

∴小明与小红同车的概率是：．

5．从﹣3，﹣2，﹣1，0，1这五个数中，随机取出一个数，记为a，若a使得关于x的不等式组无解，且关于x的分式方程有整数解的概率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

试题解析：，

由①得，x≤a，

由②得，x＞，

可见，x取-3，-2，-1，0时，不等式组无解；

解分式方程得，

x=，

当a取-3，-1，1时，分式方程有整数解，

当a取-1时，分式方程x=2是增根．

综上，a取-3时，符合题意，P=．

故选A．

6．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是，，，，，．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以的余数分别是，，，的概率为，，，，则，，，中最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

列树状图求出两个面朝上的所有情况，再求出它们的数字之和，然后除以4，得到余数为0，1，2，3的各种情况，然后分别计算其概率进行比较即可．

【详解】

根据题意列树状图得：

共有36种情况，两个数字之和除以4：

和是4、8、12时余数是0，共有9种情况，

和是5、9时余数是1，共有8种情况，

和是2、6、10时余数是2，共有9种情况，

和是3、7、11时余数是3，共有10种情况，

所以 ，

，

∴.

故选D.

7．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

画树状图得：

∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号相同的有4种情况，

∴两次摸出的小球的标号相同的概率是：．