2024年高考物理大一轮复习：第4课时 力与曲线运动(二)——圆周运动模型

这是一份2024年高考物理大一轮复习：第4课时 力与曲线运动(二)——圆周运动模型，共32页。
第4课时　力与曲线运动(二)——圆周运动模型



　圆周运动
命题角度一　水平面内的圆周运动
【例1】 如图1所示，一小球由不可伸长的轻绳系于一竖直细杆的A点，当竖直杆以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动。关于小球到A点的竖直距离h与角速度ω的关系图线，正确的是(　　)

图1

解析　设轻绳与竖直方向的夹角为θ，绳长为L，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝mLω2sin θ，解得ω2＝＝，可知h＝，即h与成正比，h与的图线是一条过原点的倾斜直线，D项正确。
答案　D
命题角度二　竖直面内的圆周运动
【例2】 如图2是检验某种防护罩承受冲击能力的装置，M为半径R＝1.6 m、固定于竖直平面内的光滑半圆弧轨道，A、B分别是轨道的最低点和最高点，N为防护罩，它是一个竖直固定的圆弧，其半径r＝ m，圆心位于B点。在A处放置水平向左的弹簧枪，可向M轨道发射速度不同的质量均为m＝0.01 kg的小钢珠(可视为质点)，弹簧枪可将弹性势能完全转化为小钢珠的动能。假设某次发射的小钢珠沿轨道恰好能经过B点，g取10 m/s2。求：

图2
(1)小钢珠在B点的速度大小；
(2)小钢珠从B点飞出后落到圆弧N上所用的时间；
(3)发射小钢珠前，弹簧的弹性势能Ep。
解析　(1)在B处对小钢珠进行受力分析，由牛顿第二定律有
mg＝m，得vB＝＝4 m/s。
(2)小钢珠从B点飞出后做平抛运动，
由平抛运动的规律得
x＝vBt，h＝gt2
x2＋h2＝r2
联立解得t＝0.4 s。
(3)从发射钢珠到上升至B点过程，
由机械能守恒定律得Ep＝ΔEp＋ΔEk＝mg·2R＋mv解得Ep＝0.4 J。
答案　(1)4 m/s　(2)0.4 s　(3)0.4 J
命题角度三　圆周运动和平抛运动相结合
【例3】 (2019·西安高三检测)如图3所示，竖直平面内有一光滑管道口径很小的圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高。一质量m＝0.8 kg可看做质点的小球从平台边缘的A处平抛，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：

图3
(1)小球从A点开始平抛运动到P点所需的时间t；
(2)小球从A点水平抛出的速度大小v0和A点到圆弧轨道入射点P之间的水平距离l；
(3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小；
(4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出弹力的大小。
解析　(1)从A到P过程中，小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，
有R＋Rcos 53°＝gt2，
解得t＝0.4 s。
(2)根据分运动公式，有vy＝gt，tan 53°＝，
解得v0＝3 m/s，
在水平方向上，有l＝v0t，解得l＝1.2 m。
(3)从A到圆弧轨道最低点，根据机械能守恒定律，有
mv＝2mgR＋mv，解得v1＝ m/s。
(4)小球从A到达Q时，根据机械能守恒定律可知
vQ＝v0＝3 m/s；
在Q点，根据牛顿第二定律，有
FN＋mg＝m，得FN＝6.4 N
根据牛顿第三定律可得
小球对外壁有弹力FN′＝FN＝6.4 N。
答案　(1)0.4 s　(2)3 m/s　1.2 m　(3) m/s (4)外壁　6.4 N

解答匀速圆周运动问题的方法


1.(多选)(2019·石家庄三模)如图4所示，两个质量均为m的小球A、B套在半径为R的圆环上，圆环可绕竖直方向的直径旋转，两小球随圆环一起转动且相对圆环静止。已知OA与竖直方向的夹角θ＝53°，OA与OB垂直，小球B与圆环间恰好没有摩擦力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是(　　)

图4
A.圆环旋转角速度的大小为
B.圆环旋转角速度的大小为
C.小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
D.小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
解析　小球B与圆环间恰好没有摩擦力，由支持力和重力的合力提供向心力，有mgtan 37°＝mω2Rsin 37°，解得ω＝，则A正确，B错误；对小球A受力分析，如图所示。
水平方向FNsin θ－Ffcos θ＝mω2Rsin θ
竖直方向FNcos θ＋Ffsin θ－mg＝0
联立解得Ff＝mg，故C错误，D正确。
答案　AD
2.如图5所示，将质量m＝1.0 kg的可视为质点的小物块放在长L＝3.0 m 的平板车左端，车的上表面粗糙，物块与车上表面间的动摩擦因数μ＝0.6，光滑半圆形固定轨道与光滑水平轨道在同一竖直平面内，半圆形轨道的半径r＝1.2 m，直径MON竖直，车的上表面和轨道最低点高度相同，开始时车和物块一起以v0＝
10 m/s的初速度在水平轨道上向右运动，车碰到轨道后立即停止运动，g取
10 m/s2，求：

图5
(1)物块刚进入半圆形轨道时速度大小；
(2)物块刚进入半圆形轨道时对轨道的压力大小；
(3)物块回落至车上时距右端的距离。
解析　(1)车停止运动后取小物块为研究对象，设其到达车右端时的速度为v1，由动能定理可得
－μmgL＝mv－mv
解得v1＝8.0 m/s。
(2)刚进入半圆形轨道时，设物块受到的支持力为FN，由牛顿第二定律
FN－mg＝m
代入数据解得FN＝63.3 N
由牛顿第三定律可得FN＝－FN′
所以物块刚进入半圆形轨道时对轨道的压力为63.3 N，方向竖直向下。
(3)若物块能到达半圆形轨道的最高点，则由机械能守恒定律可得
mv＝mv＋mg·2r
解得v2＝4 m/s
设恰能通过最高点的速度为v3，则
mg＝m
代入数据解得v3＝2 m/s
因v2＞v3，故小物块从半圆形轨道最高点做平抛运动
设物块落点距车右端的水平距离为x，则
在竖直方向2r＝gt2
水平方向x＝v2t
代入数据解得x＝ m≈2.8 m。
答案　(1)8.0 m/s　(2)63.3 N　(3)2.8 m
　天体的运动
1.必须夯实的“2个概念和3个问题”
(1)万有引力、宇宙速度；
(2)卫星的发射及运行问题、变轨问题、多星问题。
2.必须领会的“2种物理思想”
估算的思想、模型化思想。
3.必须辨明的“3个易错易混点”
(1)估算天体质量时，只能估算中心天体的质量；
(2)卫星变轨过程中，万有引力不等于向心力；
(3)在多星问题中轨道半径和距离往往不同。
命题角度一　万有引力定律的应用
【例1】 (2019·全国卷Ⅱ，14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　　)

解析　由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，
F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A，选项D正确。
答案　D
命题角度二　天体质量、密度的估算
【例2】 (2018·11月浙江选考，12)20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F(其他星球对它的引力可忽略)。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是(　　)

图6
A.， B.，
C.， D.，
解析　根据牛顿第二定律，F＝ma＝m·，故飞船的质量m＝。飞船绕星球做圆周运动的半径r＝，由万有引力提供向心力可知，＝，即M＝＝，故选项D正确。
答案　D
命题角度三　卫星运行参量的分析
【例3】 (2019·全国卷Ⅲ，15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　)
A.a金＞a地＞a火 B.a火＞a地＞a金
C.v地＞v火＞v金 D.v火＞v地＞v金
解析　行星绕太阳做匀速圆周运动，由牛顿第二定律和圆周运动知识可知
G＝ma，得向心加速度a＝
由G＝m，得速度v＝
由于R金＜R地＜R火
所以a金＞a地＞a火，v金＞v地＞v火，选项A正确。
答案　A
命题角度四　天体运动中的双星、多星问题
【例4】 (多选)(2018·全国卷Ⅰ，20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
解题关键：情境转化——模型建构(如图所示)

解析　由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。
答案　BC

双星模型的特点


1.如图7所示，某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运转周期大约是(　　)

图7
A.天 B.天 C.1天 D.9天
解析　由于r卫＝r月，T月＝27天，由开普勒第三定律可得＝，则T卫＝1天。
答案　C
2.(多选)在某星球表面以初速度v0竖直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，引力常量为G，忽略其他力的影响，物体上升的最大高度为h，已知该星球的直径为d，下列说法正确的是(　　)
A.该星球的质量为
B.该星球的质量为
C.在该星球表面发射卫星时最小的发射速度为
D.在该星球表面发射卫星时最小的发射速度为
解析　物体做竖直上抛运动，根据运动学公式可得星球表面的重力加速度为g′＝，设星球的质量为M，物体的质量为m，在星球表面上有G＝mg′，解得
M＝，选项A正确，B错误；在该星球表面发射卫星的最小速度为vmin＝＝，选项C错误，D正确。
答案　AD
3.2018年8月12日，美国“帕克”太阳探测器在佛罗里达州卡纳维拉尔角发射升空，这是人类首个将穿越日冕“触摸”太阳的探测器。已知海王星距太阳的距离约为450 400万千米，“帕克”太阳探测器距太阳的距离约为4 273万千米。若海王星与“帕克”太阳探测器围绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则(　　)
A.海王星的运行周期一定比“帕克”太阳探测器的运行周期小
B.在相同时间内，海王星转过的弧长一定比“帕克”太阳探测器转过的弧长长
C.海王星运行时的向心加速度一定比“帕克”太阳探测器运行时的向心加速度小
D.海王星的角速度一定比“帕克”太阳探测器的角速度大
解析　由公式T＝2π可知T∝，所以海王星的运行周期比“帕克”太阳探测器的运行周期大，选项A错误；由G＝m得v＝，知轨道半径小，运行速度大，海王星运行时的速度比“帕克”太阳探测器的小，在相同时间内，海王星转过的弧长一定比“帕克”太阳探测器的短，选项B错误；根据G＝ma可得a＝∝，因为海王星的轨道半径大，所以其向心加速度较小，选项C正确；根据公式G＝mrω2可得ω＝，轨道半径越大，角速度越小，所以海王星的角速度小于“帕克”太阳探测器的角速度，选项D错误。
答案　C
4.(多选)荷兰某研究所推出了2023年让志愿者登陆火星、建立人类聚居地的计划。假设登陆火星需经历如图8所示的变轨过程。已知引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)

图8
A.飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ＞TⅡ＞TⅠ
B.飞船在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
C.飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气
D.若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度
解析　根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道上运动时，运行的周期TⅢ＞TⅡ＞TⅠ，选项A正确；飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要在P点朝速度方向喷气，从而使飞船减速，则飞船在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能，选项B错误，C正确；若轨道Ⅰ贴近火星表面，可认为轨道半径等于火星半径，根据万有引力提供向心力，G＝mRω2，以及密度公式ρ＝，火星体积V＝πR3，联立解得ρ＝，已知飞船在轨道Ⅰ上运动的角速度，可以推知火星的密度，选项D正确。
答案　ACD
　带电粒子在磁场中的圆周运动
命题角度一　带电粒子在匀强磁场中的运动
【例1】 (2019·全国卷Ⅲ，18)如图9，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　)

图9
A. B. C. D.
解析　带电粒子在不同磁场中做圆周运动，其速度大小不变，由r＝知，第一象限内的圆半径是第二象限内圆半径的2倍，如图所示。
粒子在第二象限内运动的时间
t1＝＝＝
粒子在第一象限内运动的时间
t2＝＝＝
则粒子在磁场中运动的时间t＝t1＋t2＝，选项B正确。
答案　B
命题角度二　带电粒子在磁场中运动的多解问题
【例2】 (多选)(2019·湖南益阳市3月调研)如图10所示，在某空间的一个区域内有一直线PQ与水平面成45°角，在PQ两侧存在垂直于纸面且方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。位于直线上的a点有一粒子源，能不断地水平向右发射速率不等的相同粒子，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，所有粒子运动过程中都经过直线PQ上的b点，已知ab＝d，不计粒子重力及粒子相互间的作用力，则粒子的速率可能为(　　)

图10
A. B.
C. D.
解析　由题意可知粒子可能的运动轨迹如图所示

所有圆弧的圆心角均为90°，所以粒子运动的半径r＝·(n＝1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1，2，3，…)，故A、B、C正确，D错误。
答案　ABC
命题角度三　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界、极值问题
【例3】 (2019·江苏卷，16)如图11所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N，MN＝L，粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短)，反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为－q的粒子速度一定，可以从左边界的不同位置水平射入磁场，在磁场中做圆周运动的半径为d，且d