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新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 专题强化六 圆周运动的临界问题及竖直面内的“两类模型” (含解析)
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这是一份新高考物理一轮复习讲义第4章 曲线运动 专题强化六 圆周运动的临界问题及竖直面内的“两类模型” (含解析)，文件包含人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联原卷版doc、人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
学习目标 1.会分析水平面内及竖直面内物体做圆周运动所需向心力的来源。
2.掌握判断临界问题的方法。 3.理解竖直面内圆周运动的“轻杆”“轻绳”模型。
考点一 水平面内的圆周运动临界问题
1.运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2.常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(2)与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
3.解决此类问题的一般思路
首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态；其次分析该状态下物体的受力特点；最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。
例1 (2022·广东深圳模拟)如图1所示，小木块a、b和c(可视为质点)放在水平圆盘上，a、b的质量均为m，c的质量为eq \f(m,2)，a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是( )
图1
A.b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B.当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等
C.b和c均未滑落时线速度一定相同
D.b开始滑动时的角速度是eq \r(2kgl)
答案 B
解析 木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，木块开始滑动。b、c质量不等，由Ff＝mω2r知b、c所受摩擦力不等，不能同时从水平圆盘上滑落，A错误；当a、b和c均未滑落时，a、b、c和圆盘无相对运动，因此它们的角速度相等，Ff＝mω2r，所以a、c所受摩擦力的大小相等，B正确；b和c均未滑落时，由v＝ωr知线速度大小相等，方向不相同，故C错误；b开始滑动时，最大静摩擦提供向心力，kmg＝mω2·2l，解得ω＝eq \r(\f(kg,2l))，故D错误。
跟踪训练
1.(多选)如图2所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
图2
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D.当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
答案 BC
解析 转速较小时，小球紧贴圆锥面，则FTcs θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－
FNcs θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当转速达到ω0时支持力为零，有mgtan θ＝mωeq \\al(2,0)lsin θ，解得ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球已经离开斜面，只受重力、拉力的作用，D错误。
考点二 竖直面内圆周运动的“两类模型”
模型 轻绳模型
例2 如图3所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，且可视为质点，g取10 m/s2。
图3
(1)求小球刚好通过最高点时的速度大小v1；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，求绳的拉力大小FT；
(3)若轻绳能承受的最大张力为FT′＝45 N，求小球速度的最大值。
答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4eq \r(2) m/s
解析 (1)小球刚好通过最高点时，小球的重力恰好提供向心力，有mg＝meq \f(veq \\al(2,1),L)
解得v1＝eq \r(gL)＝2 m/s。
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力，有
FT＋mg＝meq \f(veq \\al(2,2),L)
解得FT＝15 N。
(3)分析可知小球通过最低点时绳的张力最大，在最低点由牛顿第二定律得
FT′－mg＝eq \f(mveq \\al(2,3),L)
将FT′＝45 N代入解得v3＝4eq \r(2) m/s
即小球的速度的最大值是4eq \r(2) m/s。
跟踪训练
2.(2021·浙江6月选考)质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图4所示，对该时刻，下列说法正确的是( )
图4
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
答案 A
解析 设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，沿摆绳方向，对小明受力分析，有F－mgcs θ＝meq \f(v2,l)，因最高点时小明的速度为0，则F＝mgcs θ模型 轻杆模型
例3 (2023·山东枣庄月考)如图5，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。
图5
(1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小；
(2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小、
方向；
(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小。
答案 (1)eq \r(gl) (2)2mg 方向竖直向下 (3)能 eq \r(3gL) eq \r(3gL)
解析 (1)A在最高点时，对A根据牛顿第二定律得mg＝meq \f(veq \\al(2,A),l)
解得vA＝eq \r(gl)
因为A、B球的角速度相等，半径相等，则
vB＝vA＝eq \r(gl)。
(2)B在最高点时，对B根据牛顿第二定律得
2mg＋FTOB′＝2meq \f(veq \\al(2,B),l)
代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0
对A有FTOA′－mg＝meq \f(veq \\al(2,A),l)
可得FTOA′＝2mg
根据牛顿第三定律知，O轴所受的力的大小为2mg，方向竖直向下。
(3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，设A、B的速度为v，可判断B球应在最高点。
对B有FTOB″＋2mg＝2meq \f(v2,l)
对A有FTOA″－mg＝meq \f(v2,l)
轴O不受力时FTOA″＝FTOB″
可得v＝eq \r(3gl)
所以当A、B球的速度大小为eq \r(3gl)时O轴不受力。
跟踪训练
3.(多选)(2022·四川师范大学附中模拟)如图6所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看作质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。则( )
图6
A.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C.小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力FNB的大小是2 N
D.小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力FNB的大小是1 N
答案 AD
解析 小球从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰，则在C点的竖直分速度为vCy＝gt＝3 m/s，因小球恰好垂直撞在斜面上，则平抛运动水平初速度为vB＝vCytan 45°＝3 m/s，小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为x＝vBt＝0.9 m，故A正确，B错误；设小球经过B点时，受到上管道竖直向下的作用力为FNB，根据牛顿第二定律可得FNB＋mg＝meq \f(veq \\al(2,B),R)，联立方程解得FNB＝－1 N，负号说明小球在B点受到下管道的作用力的大小是
1 N，方向竖直向上，故C错误，D正确。
A级 基础对点练
对点练1 水平面内的圆周运动临界问题
1.如图1所示，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO′的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO′轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为( )
图1
A.eq \f(1,2)eq \r(\f(μg,r)) B.eq \r(\f(μg,r)) C.eq \r(\f(2μg,r)) D.2eq \r(\f(μg,r))
答案 B
解析 硬币做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，则Ff＝mω2r ，而Ff≤Ffm＝μFN＝μmg，联立可得mω2r≤μmg，解得ω≤eq \r(\f(μg,r))，即圆盘转动的最大角速度为eq \r(\f(μg,r))，故选项B正确。
2.如图2所示的路段是一段半径约为120 m的圆弧形弯道，路面水平，路面对轮胎的最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面被雨水淋湿，路面对轮胎的最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车可视为质点，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
图2
A.汽车以72 km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为43.2 m/s2
B.汽车以72 km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6 rad/s
C.晴天时，汽车以100 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D.下雨时，汽车以60 km/h的速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动
答案 C
解析 汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径R＝120 m，运动速率v＝72 km/h＝20 m/s，向心加速度为a＝eq \f(v2,R)＝eq \f(202,120) m/s2≈3.3 m/s2，角速度ω＝eq \f(v,R)＝eq \f(20,120) rad/s＝eq \f(1,6) rad/s，A、B错误；以汽车为研究对象，当路面对轮胎的摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时，此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率vm。设汽车的质量为m，在水平方向上根据牛顿第二定律得Ffm＝meq \f(veq \\al(2,m),R)，在竖直方向有FN＝mg，最大静摩擦力为正压力的0.8倍，即Ffm＝kFN，联立得vm＝eq \r(kgR)，解得vm≈111.5 km/h，所以晴天时，汽车以100 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道，C正确；下雨时，路面对轮胎的最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，有vm′＝eq \r(k′gR)，解得vm＝78.8 km/h＞60 km/h，所以汽车可以安全通过此圆弧形弯道而不做离心运动，D错误。
3.(2022·湖北武汉模拟)如图3所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是( )
图3
A.当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B.AC杆对球的作用力先增大后减小
C.AC杆与BC杆上的力的大小之差越来越大
D.当ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))时，BC杆对球的作用力为0
答案 D
解析 当ω＝0时，由于小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，故A错误；当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))，当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，故B错误，D正确；一定时间后，AC杆和BC杆的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即F1cs θ－F2cs θ＝mg，则F1－F2＝eq \f(mg,cs θ)，因此AC杆与BC杆上的力的大小之差不变，故C错误。
4.(2023·山东青岛模拟)如图4，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是( )
图4
答案 D
解析 转动过程中a、b角速度相同。当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力提供向心力，绳子拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为Ffa＝mω2ra，Ffb＝mω2rb，因为rb>ra，故Ffb>Ffa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力Ff0时绳子开始出现拉力，此时对于a、b有Ffa－FT＝mω2ra，Ff0＋FT＝mω2rb，联立可得Ffa＝mω2(ra＋rb)－Ff0，由上述分析可知，绳子拉力出现之前Ffa－ω2图像的斜率为mra，绳子拉力出现之后图线的斜率为m(ra＋rb)，所以绳子有拉力时图线斜率变大，故D正确。
对点练2 竖直面内圆周运动的“两类模型”
5.(2022·江苏扬州模拟)无缝钢管的制作原理如图5所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，则下列说法正确的是( )
图5
A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上
B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C.管状模型转动的角速度ω最大为eq \r(\f(g,R))
D.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
答案 D
解析 铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力沿半径方向的合力提供向心力，故A错误；模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上部受到的作用力最小，故B错误；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力，则有mg＝mω2R，可得ω＝eq \r(\f(g,R))，即管状模型转动的角速度ω最小为eq \r(\f(g,R))，故C错误，D正确。
6.如图6所示，用轻绳悬挂一个小球，在悬点正下方A点固定一颗钉子，钉子与悬点的距离d小于绳子的长度L，把小球拉到与悬点O等高的水平位置由静止释放，当小球下落到悬点正下方绳子碰撞钉子的瞬间，下列说法正确的是( )
图6
A.小球角速度大小保持不变
B.小球向心加速度的大小保持不变
C.小球受到拉力、重力、向心力
D.d越大，钉子的位置越靠近小球，绳子就越容易断
答案 D
解析 当小球下落到悬点正下方绳子碰撞钉子的瞬间，小球水平方向受力为零，小球的线速度不变，因转动半径减小，则角速度变大，选项A错误；根据a＝eq \f(v2,r)，因线速度不变，转动半径减小，则向心加速度变大，选项B错误；小球只受拉力和重力作用，两个力的合力提供向心力，选项C错误；d越大，钉子的位置越靠近小球，小球的转动半径越小，根据FT＝mg＋meq \f(v2,r)，可知绳子拉力越大，则绳子就越容易断，选项D正确。
7.(2022·湖北荆州高三模拟)将过山车经过两端弯曲轨道过程等效简化成如图7所示两个圆周的一部分(RA图7
A.在A点时合外力方向竖直向上
B.在B点时合外力方向竖直向下
C.在A点时所受摩擦力较大
D.在B点时所受向心力较大
答案 C
解析 过山车不是做匀速圆周运动，在经过A、B时其合外力并不指向圆心，则A、B错误；在A点有FNA－mg＝meq \f(veq \\al(2,A),rA)，则A点对轨道压力为FNA＝mg＋meq \f(veq \\al(2,A),rA)，同理可得在B点对轨道压力为FNB＝mg－meq \f(veq \\al(2,B),rB)，则FNA＞FNB，则由摩擦力Ff＝μFN，故C正确；由于A点速度大于B点速度，半径rA＜rB，则由向心力公式Fn＝meq \f(v2,r)可知A点向心力较大，则D错误。
8.(多选)(2023·河北保定高三期末)如图8所示，质量为m的小明(视为质点)坐摩天轮。小明乘坐的车厢与摩天轮的转轴间的距离为r，摩天轮以大小为keq \r(\f(g,r))(常数k<1，g为重力加速度大小)的角速度做匀速圆周运动。若小明坐在车厢水平座垫上且双脚离地，则下列说法正确的是( )
图8
A.小明通过最高点时不受重力
B.小明做匀速圆周运动的周期为eq \f(2π,k)eq \r(\f(r,g))
C.小明通过最高点时处于完全失重状态
D.小明通过最低点时对车厢座垫的压力大小为(1＋k2)mg
答案 BD
解析 当小明通过最高点时小明依然要受到重力作用，A错误；小明做匀速圆周运动的周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,k)eq \r(\f(r,g))，B正确；小明做圆周运动所需的向心力大小F向＝k2mgB级 综合提升练
9.(多选)如图9所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
图9
A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用
B.小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D.ω的最大值是1.0 rad/s
答案 CD
解析 当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcs 30°，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcs 30°，又μmgcs 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故D正确。
10.(多选)(2022·湖北华中师大一附中模拟)如图10所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管(忽略管的内径)，半径OB水平，OA竖直，一个直径略小于管内径的小球由B点以某一初速度v0进入细管，之后由管内的顶部A点以大小为vA的水平速度飞出。重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图10
A.为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(3gR)
B.为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(2gR)
C.为使小球从A点水平飞出后再返回B点，小球在B点的初速度应为v0＝eq \r(\f(5gR,2))
D.小球从A点飞出的水平初速度必须满足vA>eq \r(gR)，因而不可能使小球从A点水平飞出后再返回B点
答案 BC
解析 为使小球能从A点飞出，则在A点的最小速度为零，由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝mgR，解得v0＝eq \r(2gR)，则小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(2gR)，选项A错误，B正确；为使小球从A点水平飞出后再返回B点，则R＝vAt，R＝eq \f(1,2)gt2，eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝mgR＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)，解得vA＝eq \r(\f(gR,2))，小球在B点的初速度应为v0＝eq \r(\f(5gR,2))，选项C正确；要使小球从A点飞出，则小球在A点的速度大于零即可，由选项C的分析可知，只要小球在A点的速度为eq \r(\f(gR,2))，小球就能从A点水平飞出后再返回B点，选项D错误。
11.(2023·湖南岳阳高三月考)如图11所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图11
A.B对A的摩擦力一定为3μmg
B.B对A的摩擦力一定为3mω2r
C.转台的角速度需要满足ω≤eq \r(\f(μg,r))
D.若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
答案 B
解析 由于物体A、B及物体C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，则B对A的摩擦力满足0ω3，由于物体A、B及物体C均随转台一起匀速转动，则转台的角速度需要满足ω≤ω3＝eq \r(\f(2μg,3r))，该分析表明，当角速度逐渐增大时，物体C所受摩擦力先达到最大静摩擦力，即若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是C物体，C、D错误。
12.(2023·天津蓟州区模拟)如图12甲是某游乐场中水上过山车的实物图片，图乙是其原理示意图。在原理图中半径为R＝8 m的圆形轨道固定在离水面高h＝
3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。
图12
(1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？
(2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？
(3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则过山车落入水中时的速度大小是多少？
答案 (1)4eq \r(5) m/s (2)15 m/s (3)4eq \r(14) m/s
解析 (1)过山车恰好过最高点时，只受重力，有mg＝meq \f(veq \\al(2,B),R)
则vB＝eq \r(gR)＝4eq \r(5) m/s。
(2)离开C点后做平抛运动，由h＝eq \f(1,2)gt2
运动时间为t＝0.8 s
故最大速度为vm＝eq \f(s,t)＝15 m/s。
(3)在圆轨道最低点有FN－mg＝meq \f(veq \\al(2,A),R)
解得vA＝eq \r(2gR)＝4eq \r(10) m/s
过山车从C处做平抛运动，落水时竖直速度为
vy＝gt＝8 m/s
则落水速度为v＝eq \r(veq \\al(2,A)＋veq \\al(2,y))＝4eq \r(14) m/s。物理情景
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
受力
特征
在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零
在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上
受力
示意图
力学
方程
mg＋FT＝meq \f(v2,r)
mg±FN＝meq \f(v2,r)
临界
特征
FT＝0
mg＝meq \f(veq \\al(2,min),r)
即vmin＝eq \r(gr)
v＝0
即F向＝0
FN＝mg
过最高点
的条件
在最高点的速度v≥eq \r(gr)
v≥0
学习目标 1.会分析水平面内及竖直面内物体做圆周运动所需向心力的来源。
2.掌握判断临界问题的方法。 3.理解竖直面内圆周运动的“轻杆”“轻绳”模型。
考点一 水平面内的圆周运动临界问题
1.运动特点
(1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
2.常见的两种临界极值问题
(1)与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(2)与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
3.解决此类问题的一般思路
首先要考虑达到临界条件时物体所处的状态；其次分析该状态下物体的受力特点；最后结合圆周运动知识，列出相应的动力学方程综合分析。
例1 (2022·广东深圳模拟)如图1所示，小木块a、b和c(可视为质点)放在水平圆盘上，a、b的质量均为m，c的质量为eq \f(m,2)，a与转轴OO′的距离为l，b、c与转轴OO′的距离为2l且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，下列说法中正确的是( )
图1
A.b、c所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B.当a、b和c均未滑落时，a、c所受摩擦力的大小相等
C.b和c均未滑落时线速度一定相同
D.b开始滑动时的角速度是eq \r(2kgl)
答案 B
解析 木块随圆盘一起转动，水平方向只受静摩擦力，故由静摩擦力提供向心力，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，木块开始滑动。b、c质量不等，由Ff＝mω2r知b、c所受摩擦力不等，不能同时从水平圆盘上滑落，A错误；当a、b和c均未滑落时，a、b、c和圆盘无相对运动，因此它们的角速度相等，Ff＝mω2r，所以a、c所受摩擦力的大小相等，B正确；b和c均未滑落时，由v＝ωr知线速度大小相等，方向不相同，故C错误；b开始滑动时，最大静摩擦提供向心力，kmg＝mω2·2l，解得ω＝eq \r(\f(kg,2l))，故D错误。
跟踪训练
1.(多选)如图2所示，三角形为一光滑锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则( )
图2
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s时，小球对锥体的压力刚好为零
D.当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
答案 BC
解析 转速较小时，小球紧贴圆锥面，则FTcs θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－
FNcs θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当转速达到ω0时支持力为零，有mgtan θ＝mωeq \\al(2,0)lsin θ，解得ω0＝eq \f(5,2)eq \r(2) rad/s，A错误，B、C正确；当ω＝2eq \r(5) rad/s时，小球已经离开斜面，只受重力、拉力的作用，D错误。
考点二 竖直面内圆周运动的“两类模型”
模型 轻绳模型
例2 如图3所示，长度为L＝0.4 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5 kg，且可视为质点，g取10 m/s2。
图3
(1)求小球刚好通过最高点时的速度大小v1；
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，求绳的拉力大小FT；
(3)若轻绳能承受的最大张力为FT′＝45 N，求小球速度的最大值。
答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4eq \r(2) m/s
解析 (1)小球刚好通过最高点时，小球的重力恰好提供向心力，有mg＝meq \f(veq \\al(2,1),L)
解得v1＝eq \r(gL)＝2 m/s。
(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，绳的拉力和小球的重力的合力提供向心力，有
FT＋mg＝meq \f(veq \\al(2,2),L)
解得FT＝15 N。
(3)分析可知小球通过最低点时绳的张力最大，在最低点由牛顿第二定律得
FT′－mg＝eq \f(mveq \\al(2,3),L)
将FT′＝45 N代入解得v3＝4eq \r(2) m/s
即小球的速度的最大值是4eq \r(2) m/s。
跟踪训练
2.(2021·浙江6月选考)质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图4所示，对该时刻，下列说法正确的是( )
图4
A.秋千对小明的作用力小于mg
B.秋千对小明的作用力大于mg
C.小明的速度为零，所受合力为零
D.小明的加速度为零，所受合力为零
答案 A
解析 设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，沿摆绳方向，对小明受力分析，有F－mgcs θ＝meq \f(v2,l)，因最高点时小明的速度为0，则F＝mgcs θ
例3 (2023·山东枣庄月考)如图5，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。
图5
(1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此时B球的速度大小；
(2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，求此时O轴的受力大小、
方向；
(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小。
答案 (1)eq \r(gl) (2)2mg 方向竖直向下 (3)能 eq \r(3gL) eq \r(3gL)
解析 (1)A在最高点时，对A根据牛顿第二定律得mg＝meq \f(veq \\al(2,A),l)
解得vA＝eq \r(gl)
因为A、B球的角速度相等，半径相等，则
vB＝vA＝eq \r(gl)。
(2)B在最高点时，对B根据牛顿第二定律得
2mg＋FTOB′＝2meq \f(veq \\al(2,B),l)
代入(1)中的vB，可得FTOB′＝0
对A有FTOA′－mg＝meq \f(veq \\al(2,A),l)
可得FTOA′＝2mg
根据牛顿第三定律知，O轴所受的力的大小为2mg，方向竖直向下。
(3)要使O轴不受力，根据B的质量大于A的质量，设A、B的速度为v，可判断B球应在最高点。
对B有FTOB″＋2mg＝2meq \f(v2,l)
对A有FTOA″－mg＝meq \f(v2,l)
轴O不受力时FTOA″＝FTOB″
可得v＝eq \r(3gl)
所以当A、B球的速度大小为eq \r(3gl)时O轴不受力。
跟踪训练
3.(多选)(2022·四川师范大学附中模拟)如图6所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看作质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。则( )
图6
A.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B.小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C.小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力FNB的大小是2 N
D.小球经过管道的B点时，受到下管道的作用力FNB的大小是1 N
答案 AD
解析 小球从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰，则在C点的竖直分速度为vCy＝gt＝3 m/s，因小球恰好垂直撞在斜面上，则平抛运动水平初速度为vB＝vCytan 45°＝3 m/s，小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为x＝vBt＝0.9 m，故A正确，B错误；设小球经过B点时，受到上管道竖直向下的作用力为FNB，根据牛顿第二定律可得FNB＋mg＝meq \f(veq \\al(2,B),R)，联立方程解得FNB＝－1 N，负号说明小球在B点受到下管道的作用力的大小是
1 N，方向竖直向上，故C错误，D正确。
A级 基础对点练
对点练1 水平面内的圆周运动临界问题
1.如图1所示，一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO′的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起绕OO′轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为( )
图1
A.eq \f(1,2)eq \r(\f(μg,r)) B.eq \r(\f(μg,r)) C.eq \r(\f(2μg,r)) D.2eq \r(\f(μg,r))
答案 B
解析 硬币做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，则Ff＝mω2r ，而Ff≤Ffm＝μFN＝μmg，联立可得mω2r≤μmg，解得ω≤eq \r(\f(μg,r))，即圆盘转动的最大角速度为eq \r(\f(μg,r))，故选项B正确。
2.如图2所示的路段是一段半径约为120 m的圆弧形弯道，路面水平，路面对轮胎的最大静摩擦力为正压力的0.8倍，下雨时路面被雨水淋湿，路面对轮胎的最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，若汽车通过圆弧形弯道时做匀速圆周运动，汽车可视为质点，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
图2
A.汽车以72 km/h的速率通过此圆弧形弯道时的向心加速度为43.2 m/s2
B.汽车以72 km/h的速率通过此圆弧形弯道时的角速度为0.6 rad/s
C.晴天时，汽车以100 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道
D.下雨时，汽车以60 km/h的速率通过此圆弧形弯道时将做离心运动
答案 C
解析 汽车通过此圆弧形弯道时做匀速圆周运动，轨道半径R＝120 m，运动速率v＝72 km/h＝20 m/s，向心加速度为a＝eq \f(v2,R)＝eq \f(202,120) m/s2≈3.3 m/s2，角速度ω＝eq \f(v,R)＝eq \f(20,120) rad/s＝eq \f(1,6) rad/s，A、B错误；以汽车为研究对象，当路面对轮胎的摩擦力指向内侧且达到径向最大静摩擦力时，此时汽车的速率为安全通过圆弧形弯道的最大速率vm。设汽车的质量为m，在水平方向上根据牛顿第二定律得Ffm＝meq \f(veq \\al(2,m),R)，在竖直方向有FN＝mg，最大静摩擦力为正压力的0.8倍，即Ffm＝kFN，联立得vm＝eq \r(kgR)，解得vm≈111.5 km/h，所以晴天时，汽车以100 km/h的速率可以安全通过此圆弧形弯道，C正确；下雨时，路面对轮胎的最大静摩擦力变为正压力的0.4倍，有vm′＝eq \r(k′gR)，解得vm＝78.8 km/h＞60 km/h，所以汽车可以安全通过此圆弧形弯道而不做离心运动，D错误。
3.(2022·湖北武汉模拟)如图3所示，竖直杆AB在A、B两点通过光滑铰链连接两等长轻杆AC和BC，AC和BC与竖直方向的夹角均为θ，轻杆长均为L，在C处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，在装置绕竖直杆AB转动的角速度ω从0开始逐渐增大的过程中，下列说法正确的是( )
图3
A.当ω＝0时，AC杆和BC杆对球的作用力都表现为拉力
B.AC杆对球的作用力先增大后减小
C.AC杆与BC杆上的力的大小之差越来越大
D.当ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))时，BC杆对球的作用力为0
答案 D
解析 当ω＝0时，由于小球在水平方向受力平衡，因此AC杆对小球的作用力表现为拉力，BC杆对小球的作用力表现为支持力，且大小相等，故A错误；当ω逐渐增大时，AC杆对小球的拉力逐渐增大，BC杆对小球的支持力逐渐减小，当BC杆的作用力为0时，有mgtan θ＝mω2Lsin θ，解得ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))，当ω继续增大时，AC杆对小球的拉力继续增大，BC杆对小球的作用力变为拉力，且逐渐增大，故B错误，D正确；一定时间后，AC杆和BC杆的作用力都变为拉力，拉力的竖直分力之差等于小球的重力，即F1cs θ－F2cs θ＝mg，则F1－F2＝eq \f(mg,cs θ)，因此AC杆与BC杆上的力的大小之差不变，故C错误。
4.(2023·山东青岛模拟)如图4，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块a所受的摩擦力随圆盘角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是( )
图4
答案 D
解析 转动过程中a、b角速度相同。当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力提供向心力，绳子拉力为零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为Ffa＝mω2ra，Ffb＝mω2rb，因为rb>ra，故Ffb>Ffa，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力Ff0时绳子开始出现拉力，此时对于a、b有Ffa－FT＝mω2ra，Ff0＋FT＝mω2rb，联立可得Ffa＝mω2(ra＋rb)－Ff0，由上述分析可知，绳子拉力出现之前Ffa－ω2图像的斜率为mra，绳子拉力出现之后图线的斜率为m(ra＋rb)，所以绳子有拉力时图线斜率变大，故D正确。
对点练2 竖直面内圆周运动的“两类模型”
5.(2022·江苏扬州模拟)无缝钢管的制作原理如图5所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管。已知管状模型内壁半径R，则下列说法正确的是( )
图5
A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上
B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C.管状模型转动的角速度ω最大为eq \r(\f(g,R))
D.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
答案 D
解析 铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力沿半径方向的合力提供向心力，故A错误；模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上部受到的作用力最小，故B错误；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力，则有mg＝mω2R，可得ω＝eq \r(\f(g,R))，即管状模型转动的角速度ω最小为eq \r(\f(g,R))，故C错误，D正确。
6.如图6所示，用轻绳悬挂一个小球，在悬点正下方A点固定一颗钉子，钉子与悬点的距离d小于绳子的长度L，把小球拉到与悬点O等高的水平位置由静止释放，当小球下落到悬点正下方绳子碰撞钉子的瞬间，下列说法正确的是( )
图6
A.小球角速度大小保持不变
B.小球向心加速度的大小保持不变
C.小球受到拉力、重力、向心力
D.d越大，钉子的位置越靠近小球，绳子就越容易断
答案 D
解析 当小球下落到悬点正下方绳子碰撞钉子的瞬间，小球水平方向受力为零，小球的线速度不变，因转动半径减小，则角速度变大，选项A错误；根据a＝eq \f(v2,r)，因线速度不变，转动半径减小，则向心加速度变大，选项B错误；小球只受拉力和重力作用，两个力的合力提供向心力，选项C错误；d越大，钉子的位置越靠近小球，小球的转动半径越小，根据FT＝mg＋meq \f(v2,r)，可知绳子拉力越大，则绳子就越容易断，选项D正确。
7.(2022·湖北荆州高三模拟)将过山车经过两端弯曲轨道过程等效简化成如图7所示两个圆周的一部分(RA
A.在A点时合外力方向竖直向上
B.在B点时合外力方向竖直向下
C.在A点时所受摩擦力较大
D.在B点时所受向心力较大
答案 C
解析 过山车不是做匀速圆周运动，在经过A、B时其合外力并不指向圆心，则A、B错误；在A点有FNA－mg＝meq \f(veq \\al(2,A),rA)，则A点对轨道压力为FNA＝mg＋meq \f(veq \\al(2,A),rA)，同理可得在B点对轨道压力为FNB＝mg－meq \f(veq \\al(2,B),rB)，则FNA＞FNB，则由摩擦力Ff＝μFN，故C正确；由于A点速度大于B点速度，半径rA＜rB，则由向心力公式Fn＝meq \f(v2,r)可知A点向心力较大，则D错误。
8.(多选)(2023·河北保定高三期末)如图8所示，质量为m的小明(视为质点)坐摩天轮。小明乘坐的车厢与摩天轮的转轴间的距离为r，摩天轮以大小为keq \r(\f(g,r))(常数k<1，g为重力加速度大小)的角速度做匀速圆周运动。若小明坐在车厢水平座垫上且双脚离地，则下列说法正确的是( )
图8
A.小明通过最高点时不受重力
B.小明做匀速圆周运动的周期为eq \f(2π,k)eq \r(\f(r,g))
C.小明通过最高点时处于完全失重状态
D.小明通过最低点时对车厢座垫的压力大小为(1＋k2)mg
答案 BD
解析 当小明通过最高点时小明依然要受到重力作用，A错误；小明做匀速圆周运动的周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,k)eq \r(\f(r,g))，B正确；小明做圆周运动所需的向心力大小F向＝k2mg
9.(多选)如图9所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
图9
A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用
B.小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心
D.ω的最大值是1.0 rad/s
答案 CD
解析 当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误；当物体在最高点时，摩擦力的方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，即可能指向圆心，也可能背离圆心，故C正确；当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，转盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的摩擦力，沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcs 30°，摩擦力Ff＝μFN＝μmgcs 30°，又μmgcs 30°－mgsin 30°＝mω2R，解得ω＝1.0 rad/s，故D正确。
10.(多选)(2022·湖北华中师大一附中模拟)如图10所示，在竖直平面内有一半径为R的光滑固定细管(忽略管的内径)，半径OB水平，OA竖直，一个直径略小于管内径的小球由B点以某一初速度v0进入细管，之后由管内的顶部A点以大小为vA的水平速度飞出。重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图10
A.为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(3gR)
B.为使小球能从A点飞出，小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(2gR)
C.为使小球从A点水平飞出后再返回B点，小球在B点的初速度应为v0＝eq \r(\f(5gR,2))
D.小球从A点飞出的水平初速度必须满足vA>eq \r(gR)，因而不可能使小球从A点水平飞出后再返回B点
答案 BC
解析 为使小球能从A点飞出，则在A点的最小速度为零，由机械能守恒定律有eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝mgR，解得v0＝eq \r(2gR)，则小球在B点的初速度必须满足v0>eq \r(2gR)，选项A错误，B正确；为使小球从A点水平飞出后再返回B点，则R＝vAt，R＝eq \f(1,2)gt2，eq \f(1,2)mveq \\al(2,0)＝mgR＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,A)，解得vA＝eq \r(\f(gR,2))，小球在B点的初速度应为v0＝eq \r(\f(5gR,2))，选项C正确；要使小球从A点飞出，则小球在A点的速度大于零即可，由选项C的分析可知，只要小球在A点的速度为eq \r(\f(gR,2))，小球就能从A点水平飞出后再返回B点，选项D错误。
11.(2023·湖南岳阳高三月考)如图11所示，叠放在水平转台上的物体A、B及物体C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r和1.5r。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
图11
A.B对A的摩擦力一定为3μmg
B.B对A的摩擦力一定为3mω2r
C.转台的角速度需要满足ω≤eq \r(\f(μg,r))
D.若转台的角速度逐渐增大，最先滑动的是A物体
答案 B
解析 由于物体A、B及物体C能随转台一起匀速转动，则三个物体受到的均为静摩擦力，则B对A的摩擦力满足0
12.(2023·天津蓟州区模拟)如图12甲是某游乐场中水上过山车的实物图片，图乙是其原理示意图。在原理图中半径为R＝8 m的圆形轨道固定在离水面高h＝
3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。
图12
(1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？
(2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？
(3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则过山车落入水中时的速度大小是多少？
答案 (1)4eq \r(5) m/s (2)15 m/s (3)4eq \r(14) m/s
解析 (1)过山车恰好过最高点时，只受重力，有mg＝meq \f(veq \\al(2,B),R)
则vB＝eq \r(gR)＝4eq \r(5) m/s。
(2)离开C点后做平抛运动，由h＝eq \f(1,2)gt2
运动时间为t＝0.8 s
故最大速度为vm＝eq \f(s,t)＝15 m/s。
(3)在圆轨道最低点有FN－mg＝meq \f(veq \\al(2,A),R)
解得vA＝eq \r(2gR)＝4eq \r(10) m/s
过山车从C处做平抛运动，落水时竖直速度为
vy＝gt＝8 m/s
则落水速度为v＝eq \r(veq \\al(2,A)＋veq \\al(2,y))＝4eq \r(14) m/s。物理情景
轻绳模型
轻杆模型
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
受力
特征
在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零
在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上
受力
示意图
力学
方程
mg＋FT＝meq \f(v2,r)
mg±FN＝meq \f(v2,r)
临界
特征
FT＝0
mg＝meq \f(veq \\al(2,min),r)
即vmin＝eq \r(gr)
v＝0
即F向＝0
FN＝mg
过最高点
的条件
在最高点的速度v≥eq \r(gr)
v≥0
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