2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，四象限，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知，则下列比例式成立的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  反比例函数经过经过下面哪一个点(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，在中，，，，则的值是(    )A.
B.
C.
D. 4.  二次函数得顶点坐标是(    )A.  B.  C.  D. 5.  反比例函数的图象经过点，则下列说法错误的是(    )A.  B. 函数图象分布在第二、四象限
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小6.  如图，若是的直径，是的弦，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 7.  若两个相似三角形的面积比是：，则它们对应边的中线之比为(    )A. ： B. ： C. ： D. ：8.  如图所示，若∽，则需满足(    )A.
B.
C.
D. 9.  下列关于抛物线的说法正确的是
开口方向向上；
对称轴是直线；
当时，随的增大而减小；
当或时，(    )A.  B.  C.  D. 10.  如图，中，，，点为上的动点，连，过点作于当点从点运动到点时，线段的中点运动的路径长为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.  已知锐角满足，则锐角的度数是______度．12.  如图，的内接四边形中，，则的度数为______．
 13.  将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为______．14.  如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则______．
 15.  如图，是的切线，为切点，与交于点，以点为圆心、以的长为半径作，分别交，于点，若，，则图中阴影部分的面积为            ．
16.  如图，已知抛物线与直线交于，两点．点是个抛物线上，之间的一个动点，过点分别作两条坐标轴的平行线，与直线交于点，，以，为边构造矩形，设点的坐标为，则关于的函数关系式是______．
 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.  计算：．四、解答题（本大题共9小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
已知一个二次函数的图象经过点和．
求这个二次函数的解析式；
求这个二次函数图象的顶点坐标．19.  本小题分
如图，在中，，，是边上和点，求证：．
20.  本小题分
如图所示的拱桥，用表示桥拱．
若所在圆的圆心为，是弦的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心不写作法，但要保留作图
痕迹
若拱桥的跨度弦的长为，拱高的中点到弦的距离为，求拱桥的半径．

 21.  本小题分
无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．
参考数据：，，，，结果保留整数
22.  本小题分
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量个与销售单价元有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为元
如果销售单价定为元，那么健身球每天的销售量是______个；
求与之间的函数关系式；
该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23.  本小题分
如图，为的直径，切于点，于点，交于点，连接．
求证：平分；
若，，求的长．
24.  本小题分
已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为．
求一次函数和反比例函数的解析式；
求的面积．
观察图象，直接写出不等式的解集；
若是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的值．
25.  本小题分
【问题呈现】
如图，和都是等边三角形，连接，易知 ______ ．
【类比探究】
如图，和都是等腰直角三角形，连接，则 ______ ．
【拓展提升】
如图，和都是直角三角形，，且，连接，．

求的值；
延长交于点，交于点求的值．26.  本小题分
若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为．
求二次函数的表达式；
若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点．
若点在线段上，且，求点的坐标；
以为对角线作正方形点在右侧，当点在抛物线上时，求点的坐标．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据等式性质，可判断出只有选项正确．
故选：．
根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母等式仍成立即可解决．
本题考查的是等式的性质：
等式性质：等式的两边加或减同一个数或式子结果仍相等；
等式性质：等式的两边同乘或除以同一个数除数不为结果仍相等．2.【答案】 【解析】解：当时，，
故A选项不符合题意；
当时，，
故B选项符合题意；
当时，，
故C选项不符合题意；
当时，，
故D选项不符合题意；
故选：．
将横坐标分别代入函数解析式求出纵坐标，进一步比较即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．3.【答案】 【解析】解：，，，
，
故选：．
根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．4.【答案】 【解析】解：二次函数解析式为：，
顶点坐标，
故选：．
根据二次函数解析式的顶点式，即可直接求得．
本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，顶点式，其顶点坐标是．5.【答案】 【解析】解：反比例函数的图象经过点，
．
故A正确；
，
双曲线分布在第二、四象限，
故B选项正确；
当时，反比例函数在每一个象限内随的增大而增大，
即当或时，随的增大而增大．
故C选项正确，选项错误，
综上，说法错误的是，
故选：．
利用待定系数法求得的值，再利用反比例函数图象的性质对每个选项进行逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，反比例函数图象的性质．利用待定系数法求得的值是解题的关键．6.【答案】 【解析】解：
如图，连接，
为直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，由圆周角定理可求得，，则可求得答案．
本题主要考查圆周角定理，掌握直径所对的圆周角为直角、同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等是解题的关键．7.【答案】 【解析】解：两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，
两个相似三角形的面积之比为：，
它们对应边上的中线之比为：．
故选：．
根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方．
本题主要考查了相似三角形的性质，掌握两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方，开平方是解题关键．8.【答案】 【解析】解：由，可得：：，由此得不出结论；
由，可得：：，
，
∽，故B选项正确；
由得不出结论；
由及可得结论，但题目中未提及．
故选：．
根据相似三角形的判定定理依次判断即可．
本题主要考查相似三角形的性质和判定，熟知相关判定定理是解题关键．9.【答案】 【解析】解：抛物线，
，该抛物线开口向上，故正确；
其图象的对称轴是直线，故错误；
当，随的增大而减小，故正确；
，
抛物线与轴的交点为，
抛物线开口向上，
当或时，，故错误；
故选：．
根据题目中抛物线和二次函数的性质，图象与轴的交点可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10.【答案】 【解析】解：设的中点为，连接，如图所示：
为的中点，为的中点，
为的中位线，
，
，
，
点的路径是以的中点为圆心，长为半径的圆交于的，
，，
，，
，
为的周长，
线段的中点运动的路径长为：，
故选：．
设的中点为，连接，易证为的中位线，由，得出，即，则点的路径是以的中点为圆心，长的为半径的，由等腰直角三角形的性质得出，，由圆周角定理得出，则为的周长，即可得出结果．
本题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆周角定理、圆弧的计算等知识；通过三角形中位线，判断出点的运动路径是解题的关键．11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：由锐角满足，则锐角的度数是度，
故答案为．12.【答案】 【解析】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：．
故答案为：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14.【答案】 【解析】解：如图，设直线与轴交于点，

由反比例函数比例系数的几何意义可知，
，
，
，
，
．
故答案为：．
应用反比例函数比例系数的几何意义，表示、的面积，利用构造方程即可．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，解答时注意观察图中三角形面积关系以构造方程．15.【答案】 【解析】【分析】
连接，根据切线的性质可得，从而可得，根据题意可得，然后利用阴影部分的面积的面积扇形的面积扇形的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的关键．
【解答】
解：连接，

是的切线，为切点，
，
，
由题意得：
，
阴影部分的面积的面积扇形的面积扇形的面积


，
故答案为：．16.【答案】 【解析】解：如图，直线的解析式为：，点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为，
把点代入，可得，
、之间的关系式为，
故答案为：
根据点的坐标，可得出点的坐标，点的坐标，继而确定点的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式可求出，之间的关系式．
本题考查了二次函数综合题，需要掌握矩形的性质、二次函数图象上点的坐标特征的知识，解答本题需要同学们能理解矩形四个顶点的坐标之间的关系．17.【答案】解：原式

． 【解析】把特殊角的三角函数值代入原式，计算即可．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．18.【答案】解：由题意得，
解这个方程组得，
所以所求二次函数的解析式是；
，
所以顶点坐标是． 【解析】利用待定系数法确定二次函数的解析式；
把中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19.【答案】证明：，，，
，，
，
又，
∽，
，
． 【解析】根据两边成比例，夹角相等，证明∽，根据相似三角形的性质即可得证．
本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20.【答案】解：作弦的垂直平分线，交于，交于点，交的垂直平分线于点，则点即为所求作的圆心．如图分

连接如图
由中的作图可知：为直角三角形，是的中点，，
分
，
．
在中，由勾股定理得，，
分
解得：分
拱桥的半径为． 【解析】作弦的垂直平分线，交于，交于点，交的垂直平分线于点，则点即为所求作的圆心；
首先连接，由可得：为直角三角形，是的中点，，即可求得的长，然后在中，由勾股定理得，，即可求得拱桥的半径．
此题考查了垂径定理的应用．此题难度不大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．21.【答案】解：由题意得：
，，，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
的长约为． 【解析】根据题意可得：，，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再利用线段的和差关系求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．22.【答案】解：
根据题意得：，
与之间的函数关系式为；
，
，
当时，取最大值，最大值为，
答：该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【解析】解：在中，令，得：
，
故答案为：；
见答案；
见答案．
在中，令可得的值，即可得到答案；
根据总利润每个健身球利润销售量即可列出与之间的函数关系式；
结合的函数关系式，根据二次函数性质可得答案；
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．23.【答案】解：如图，

切于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
连接，过点作于点，
平分，
，
是的直径，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
则．
，
，
． 【解析】由切于点知，结合于点知，从而得，即可得证；
作，由中角平分线知，连接，证四边形是矩形可得，根据勾股定理求得，进而求出，即可得出答案．
本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键．24.【答案】解：把代入，
得，
则反比例函数解析式为；
把代入，
得，解得，则点坐标为，
把、代入得，
，
解得，
则一次函数解析式为．
直线与轴的交点为，在中，令，则，
即直线与轴交于点，
．
．
由图可得，不等式解集范围是或．
，，，
，
，
，
当是斜边时，，
：，
解得：，
当是斜边时，，
，
解得：，
的值为：，． 【解析】先把点坐标代入，求出可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
 根据轴上点的坐标特征确定点坐标，然后根据三角形面积公式，由进行计算即可；
 观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式的解集；
分情况讨论，利用勾股定理即可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式．25.【答案】  【解析】【问题呈现】证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
，
．
故答案为：；

【类比探究】解：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
∽，
．
故答案为：；

【拓展提升】解：，，
∽，
，，
，
∽，
；

由得：∽，
，
，
，
．
【问题呈现】证明≌，从而得出结论；
【类比探究】证明∽，进而得出结果；
【拓展提升】先证明∽，再证得∽，进而得出结果；
在的基础上得出，进而，进一步得出结果．
本题考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．26.【答案】解：二次函数的图象经过点，
，
对称轴为直线，经过，
，
解得，
抛物线的解析式为；

如图中，

设直线的解析式为，
，，
，
解得，
直线的解析式为，
，关于直线对称，
，
设，
轴，
，
，
，
，
，
点；

如图中，连接，交于点设，则点，

四边形是正方形，
，，，
轴，
，
，
，
，
点在抛物线上，
，
解得，，
点在第四象限，
舍去，
，
点坐标为． 【解析】利用待定系数法求出，，即可；
求出直线的解析式为，因为，关于直线对称，推出，设，则，，根据，构建方程求解；
如图中，连接，交于点设，则点，利用正方形的性质求出点的坐标，代入抛物线的解析式，构建方程求解．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．