2022-2023学年江苏省泰州二中附中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省泰州二中附中九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，直线，直线分别交，，于点，，：直线分别交，，于点，，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

2.  数学课上，老师让学生尺规作图画，使其斜边，一条直角边小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断是直角的依据是(    )

A. 勾股定理
B. 直径所对的圆周角是直角
C. 勾股定理的逆定理
D. 的圆周角所对的弦是直径

3.  已知一个正多边形的内角是，则它是几边形(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，转盘中点，，在圆上，，，让转盘绕圆心自由转动，当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在中，，，记，，则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在平面直角坐标系中，设函数是常数，
若，则该函数图象与轴一定有两个交点，而且在原点两侧．
无论取何值，该函数图象必定经过两个定点则(    )

A. 错误，错误 B. 正确，错误 C. 错误，正确 D. 正确，正确

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.  已知线段，线段，则，的比例中项是________

8.  若的半径为，点与圆心的距离为，则点与的位置关系是______．

9.  不透明的袋中装有只有颜色不同的个小球，其中个红色，个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是______．

10.  如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形∽矩形，则的长为______．

11.  如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，点在轴正半轴上，是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，则点的坐标为______．

12.  有甲、乙两组数据，如下表所示：

甲、乙两组数据的方差分别为，，则 ______ 填“”，“”或“”．

13.  若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面面积为______结果保留．

14.  二次函数的图象的顶点在轴上，则的值为______ ．

15.  中，平分交于点，且，若，，则 ______ ．

16.  在平面直角坐标系中，已知二次函数是常数，的图象和直线都经过点，则的范围为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：；
解不等式组．

18.  本小题分
人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
数据分成组：，，，，，

信息二：普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数百万人在这一组的数据是：，，，，，，；
信息三：年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
普查登记的全国大陆个省、自治区、直辖市人口数的中位数为______百万人．
下列结论正确的是______只填序号
全国大陆个省、自治区、直辖市中人口数大于等于百万人的有个地区；
相对于年，年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
年全国大陆人口自然增长率持续降低．
请写出年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

19.  本小题分
现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．
直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．

20.  本小题分
如图，矩形的四个顶点分别在等腰三角形的边上已知的，，记矩形的面积为，线段为．
求关于的函数表达式；
当时，求的值．

21.  本小题分
如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于，两点．
与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；
在的条件下，若，，求长．

22.  本小题分
某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶元，在销售过程中发现销售量瓶与每瓶售价元之间存在一次函数关系其中，且为整数，当每瓶消毒液售价为元时，每天销售量为瓶；当每瓶消毒液售价为元时，每天销售量为瓶；
求与之间的函数关系式；
设该药店销售该消毒液每天的销售利润为元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．

23.  本小题分
如图，平行四边形中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点

求证：与相切
如图，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积．

24.  本小题分
已知函数，，函数称为、的组合函数．
求、的图象的交点坐标；
、的图象的交点为、，抛物线顶点为，若是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的、的值．

25.  本小题分
如图，、为等边中边所在直线上两点，，求证：∽；
中，，请用不含刻度的直尺和圆规在上求作两点、，点在点的左侧，使得为等边三角形；
在的条件下，为边上一点，过作交延长线于点，交延长线于点，若，，，求的值用含有的代数式表示
 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
求抛物线的顶点坐标；
平移抛物线得抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为和点在点的左侧．
平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求抛物线的表达式；
平移后的抛物线顶点在直线上，点的横坐标为，求的长；
设点的横坐标为，，抛物线的顶点为，设，求关于的函数表达式，并求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
先由，根据比例的性质可得，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．
考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：由作图痕迹可以看出为的中点，以为圆心，为直径作圆，然后以为圆心为半径画弧与圆交于一点，故是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选：．
由作图痕迹可以看出是直径，是直径所对的圆周角，即可作出判断．
本题主要考查了尺规作图以及圆周角定理的推论，能够看懂作图过程是解决问题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：设正多边形的边数是，由内角和公式，得
．
解得，
故选：．
多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是．
故选：．
根据三角形内角和求出，根据圆周角定理可求，再根据概率公式即可求解求解．
此题考查了概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
故选：．
证明∽，根据相似三角形的性质求出，再证明∽，根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
函数为二次函数，
，
而，
，即，
该函数图象与轴一定有两个交点，所以正确；
设抛物线与轴的两交点的横坐标分别为、，
则、为方程的两实数根，
，
与异号，
抛物线与轴的两交点在原点两侧，所以正确；
，
，
当有无数个值时，且，
解得或，
无论取何值，该函数图象必定经过点和，所以正确．
故选：．
由于，则计算根的判别式得到，于是可判断该函数图象与轴一定有两个交点，设抛物线与轴的两交点的横坐标分别为、，根据抛物线与轴的交点问题，、为方程的两实数根，利用根与系数的关系得，则与异号，所以判断抛物线与轴的两交点在原点两侧，从而可对进行判断；把化为关于的不定方程得到，再利用有无数个值得到且，解得或，则可得到该函数图象经过点和，于是可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查比例线段问题．根据已知线段，，设线段是，的比例中项，列出等式，即可得出答案．
【解答】
解：，，设线段是，的比例中项，
，
，
，舍去．
故答案为．

8.【答案】圆外 

【解析】解：的半径为，点与圆心的距离为，
点在外，
故答案为：圆外．
判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案．
本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】
解：不透明的袋中装有只有颜色不同的个小球，其中个红色，个白色，
从袋中任意摸出一个球是红球的概率．
故答案为．

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，，
余下的矩形∽矩形，
，
即，
，
故答案为：．
根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出，再利用勾股定理计算即可．
本题考查了相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．

11.【答案】 

【解析】解：是以点为位似中心，在第三象限内与的相似比为的位似图形．若点的坐标为，
点的坐标为，即点的坐标为，
故答案为：．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
本题考查方差的定义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

13.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了圆锥的侧面积计算，考查了扇形面积公式，属于基础题．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以计算扇形的面积即可得到该圆锥的侧面面积．
【解答】
解：该圆锥的侧面面积
故答案为．

14.【答案】 

【解析】解：，
顶点，
顶点在轴上，
，
，
故答案为：．
求出顶点，再由题意可得，即可求的值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：平分，
，
，
，
，
，，
∽，
：：，
，
，
，
，
，
．
证明∽，利用相似三角形的性质解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．

16.【答案】 

【解析】解：把分别代入和得，，
，
即，
，
，
，
的最小值为，
的取值范围为且不等于．
故答案为：且不等于．
先把分别代入和得，，消去得到，则，然后利用二次函数的性质即可求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数的性质．

17.【答案】解：原方程可化为，
，
，
解得：，；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为． 

【解析】求出的值，再代入公式求出即可；
求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，主要考查学生的计算能力．

18.【答案】   

【解析】解：将这个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是百万人，因此中位数是百万人，
故答案为：；

全国大陆个省、自治区、直辖市中人口数大于等于百万人的有个地区，故原结论错误，不符合题意；
相对于年，年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
年全国大陆人口自然增长率的情况是：，，年增长率持续上升；，，年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是．
故答案为：；

年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负答案不唯一．
根据已知发现中位数在第二组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可求出中位数；
从频数分布直方图可知，比亿元多的省份有个，因此处在第六名；
根据频数分布直方图进行判断即可；
根据条形图与折线图即可判断；
根据折线图即可判断；
根据条形图与折线图可写出年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
本题考查频数分布直方图、条形统计图、折线统计图，中位数，理解统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．

19.【答案】解：将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为，，，，
小明投放了一袋垃圾，
小明投放的垃圾恰好是类：厨余垃圾的概率为：；

画树状图如下：

由树状图知，小丽投放的垃圾共有种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有种结果，
所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为． 

【解析】直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．

20.【答案】解：过点作于点，
，，
，
在中，，
四边形是矩形，
，，
，四边形是矩形，
，，
，
，
设，则，
，
∽，
，即，
，
，

当时，，
解得． 

【解析】首先过点作于点，由，，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得的长，又由四边形是矩形，由，可知，设，则，根据，得出∽，故，即，，，再由矩形的面积公式即可得出结论；
把代入中的函数关系式，求出的值即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

21.【答案】解：连接，

当时，，
证明：，
是等腰直角三角形，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
；
是圆的直径，
，
，
，
∽，
：：，
，
：：，
，
． 

【解析】连接，当时，由圆周角定理，圆内接四边形的性质可以证明；
由勾股定理求出的长，由圆周角定理，可以推出∽得到：：，即可求出的长．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．

22.【答案】解：设与之间的函数关系式为，
将，代入，
，解得：，
与之间的函数关系式为，且为整数．
依题意得：．
，
当时，取得最大值，最大值为．
答：当每瓶消毒液售价为元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据给定的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数关系式；
利用销售该消毒液每天的销售利润每瓶的销售利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是：根据给定的数据，利用待定系数法求出与之间的函数关系式；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．

23.【答案】证明：作于，
与相切于，
，
平分，
，
点到的距离等于的半径，
于相切；
解：设的半径是，
四边形是平行四边形，
，
，分别与相切，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
或，
大于，
，
当时，
，
当时，
，
，
梯形的面积，扇形的面积，
弧、线段和组成的图形面积梯形的面积扇形的面积． 

【解析】作于，由条件可以证明，由切线的判定方法，即可证明问题；
由勾股定理和大于，可以求出圆的半径，由梯形的面积，扇形的面积即可解决问题．
本题考查切线的判定，平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的性质，梯形，扇形的面积，关键是掌握切线的判定方法；应用勾股定理求出圆的半径．

24.【答案】解：解得或，
函数，的图象的交点坐标为和；
，
抛物线顶点，
由知，，
当为直角顶点时，如图：

与重合或，
或，
两个方程组都无解；
当为直角顶点时，如图：

的坐标为或，
或，
两个方程都无实数解；
当为直角顶点时，如图：

的坐标为或，
或，
解得，
综上所述，是等腰直角三角形，的值是，的值是． 

【解析】将解析式联立成方程组，即可解得交点坐标；
抛物线顶点，由，可得是等腰直角三角形时，的坐标，分三种情况列方程组，可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，等腰直角三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．

25.【答案】证明：是等边三角形，
．
，
．
，
．
，
∽；
解：如图，等边三角形即为所求；

解：由知：∽，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
同理可得：∽，
，
，
．
的值为． 

【解析】与相似，由是等边三角形得到，，由此得到，而，由此再证明即可可以证明∽；
结合作，，即可得等边三角形；
由知：∽，得，然后证明∽，得，同理可得：∽，得，进而可以解决问题．
本题属于相似形综合题，考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质，得到两三角形的对应边成比例是解本题的关键．

26.【答案】解：，
点的坐标为；

当时，，即点，
设，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
即；

由题意得：，
由抛物线的对称性知，；

由知，，则，
故设点，
设抛物线的表达式为：，
当时，，即点，
设，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
即点，
由知，点，
则，
，故有最小值，
当时，的最小值为，则的最小值为． 

【解析】将函数表达式配方即可求解；
设，将点的坐标代入上式得：，即可求解；
由题意得：，由抛物线的对称性知，，即可求解；
设抛物线的表达式为：，将点的坐标代入上式得：，进而求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，轴对称性质等知识，其中，确定点的坐标，是本题解题的关键．