+江苏省海陵区泰州市第二中学附属初中　2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+江苏省海陵区泰州市第二中学附属初中　2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省泰州二中附中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C：直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
3．（3分）已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
4．（3分）如图，转盘中点A，B，C在圆上，∠A＝40°，∠B＝60°，让转盘绕圆心O自由转动，当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝16，S△EFC＝4，则S平行四边形DBFE＝（　　）

A．9 B．12 C．16 D．20
6．（3分）在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）
①若a＞0，则该函数图象与x轴一定有两个交点，而且在原点两侧．
②无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点．则（　　）
A．①错误，②错误 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①正确，②正确
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）已知线段a＝4，线段b＝9，则a，b的比例中项是　 　．
8．（3分）若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是　 　．
9．（3分）不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是　 　．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为　 　．

11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为 　 　．

12．（3分）有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2　 　s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
13．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为　 　cm2（结果保留π）．
14．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 　 　．
15．（3分）△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠DBC＝∠C，若BD＝5，AD＝2，则BC＝　 　．

16．（3分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝mx2+nx+2（m，n是常数，m≠0）的图象和直线y＝mx+4n都经过点（2，p），则m2+n2﹣mn的范围为 　 　．
三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解方程：6x2﹣72x+15＝0；
（2）解不等式组．
18．（10分）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 　 　百万人．
（2）下列结论正确的是 　 　．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．


19．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．

20．（8分）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）当S＝24时，求x的值．

21．（10分）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．
（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；
（2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长．

22．（10分）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．
23．（10分）如图1，平行四边形ABCD中，O为BC上一点，AO平分∠BAD，以O为圆心，OC为半径的圆，与AB相切于点E

（1）求证：⊙O与AD相切
（2）如图2，若⊙O与AD相切于点F，DF＝7，BO＝5，且∠D＞45°，求弧FC、线段DF和CD组成的图形面积．

24．（10分）已知函数，y2＝x﹣1，函数称为y1、y2的组合函数．
（1）求y1、y2的图象的交点坐标；
（2）y1、y2的图象的交点为A、B，抛物线y3顶点为C，若△ABC是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的a、b的值．
25．（12分）（1）如图1，D、E为等边△ABC中BC边所在直线上两点，∠DAE＝120°，求证：△ABD∽△ECA；
（2）△ADE中，∠DAE＝120°，请用不含刻度的直尺和圆规在DE上求作两点B、C，点B在点C的左侧，使得△ABC为等边三角形；
（3）在（1）的条件下，H为BC边上一点，过H作HF∥AD交AB延长线于点F，HG∥AE交AC延长线于点G，若AB＝6，BD＝a，∠HAE＝60°，求的值．（用含有a的代数式表示）

26．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线y1的顶点P坐标；
（2）平移抛物线y1得抛物线y2，两抛物线交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线y1和平移后的抛物线y2分别为B和C（点B在点C的左侧）．
①平移后的抛物线y2顶点在直线x＝1上，点A的横坐标为﹣1，求抛物线y2的表达式；
②平移后的抛物线y2顶点在直线x＝1上，点A的横坐标为m（﹣3＜m＜1），求BC的长；
③设点A的横坐标为n，BC＝10，抛物线y2的顶点为Q，设PQ2＝y，求y关于n的函数表达式，并求PQ的最小值．























2022-2023学年江苏省泰州二中附中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于点A，B，C：直线DF分别交a，b，c于点D，E，F．若＝，则＝（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由＝，根据比例的性质可得＝，再根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵a∥b∥c，
∴＝＝，
故选：B．
2．（3分）数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB＝c，一条直角边BC＝a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（　　）

A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
【答案】B
【分析】由作图痕迹可以看出AB是直径，∠ACB是直径所对的圆周角，即可作出判断．
【解答】解：由作图痕迹可以看出O为AB的中点，以O为圆心，AB为直径作圆，然后以B为圆心BC＝a为半径画弧与圆O交于一点C，故∠ACB是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB是直角的依据是：直径所对的圆周角是直角．
故选：B．
3．（3分）已知一个正多边形的内角是140°，则它是几边形（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成140°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【解答】解：设正边形的边数是n，由内角和公式，得
（n﹣2）×180°＝n×140°．
解得n＝9，
故选：B．
4．（3分）如图，转盘中点A，B，C在圆上，∠A＝40°，∠B＝60°，让转盘绕圆心O自由转动，当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和求出∠ACB＝80°，根据圆周角定理可求∠AOB＝160°，再根据概率公式即可求解求解．
【解答】解：∵∠CAB＝40°，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∴∠AOB＝160°，
∴当转盘停止时指针指向区域Ⅲ的概率是＝．
故选：C．
5．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝16，S△EFC＝4，则S平行四边形DBFE＝（　　）

A．9 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】证明△AED∽△ECF，根据相似三角形的性质求出＝，再证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C，
∵EF∥AB，
∴∠A＝∠CEF，
∴△AED∽△ECF，
∴＝（）2，
∵S△ADE＝16，S△EFC＝4，
∴＝2，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝36，
∴S平行四边形DBFE＝36﹣16﹣4＝16，
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）
①若a＞0，则该函数图象与x轴一定有两个交点，而且在原点两侧．
②无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点．则（　　）
A．①错误，②错误 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①正确，②正确
【答案】D
【分析】由于a＞0，则计算根的判别式得到Δ＝（a+1）2＞0，于是可判断该函数图象与x轴一定有两个交点，设抛物线与x轴的两交点的横坐标分别为x1、x2，根据抛物线与x轴的交点问题，x1、x2为方程ax2+（a﹣1）x﹣1＝0的两实数根，利用根与系数的关系得x1x2＝﹣＜0，则x1与x2异号，所以判断抛物线与y轴的两交点在原点两侧，从而可对①进行判断；把y＝ax2+（a﹣1）x﹣1化为关于a的不定方程得到（x2+x）a＝x+y﹣1，再利用a有无数个值得到x2+x＝0且x+y﹣1＝0，解得或，则可得到该函数图象经过点（0，﹣1）和（﹣1，0），于是可对②进行判断．
【解答】解：∵a＞0，
∴函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1为二次函数，
∵Δ＝（a﹣1）2﹣4a×（﹣1）＝（a+1）2，
而a＞0，
∴（a+1）2＞0，即Δ＞0，
∴该函数图象与x轴一定有两个交点，所以①正确；
设抛物线与x轴的两交点的横坐标分别为x1、x2，
则x1、x2为方程ax2+（a﹣1）x﹣1＝0的两实数根，
∵x1x2＝﹣＜0，
∴x1与x2异号，
∴抛物线与y轴的两交点在原点两侧，所以①正确；
∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1，
∴（x2+x）a＝x+y﹣1，
当a有无数个值时，x2+x＝0且x+y﹣1＝0，
解得或，
∴无论a取何值，该函数图象必定经过点（0，﹣1）和（﹣1，0），所以②正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（3分）已知线段a＝4，线段b＝9，则a，b的比例中项是　6　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知线段a＝4，b＝9，设线段x是a，b的比例中项，列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵a＝4，b＝9，设线段x是a，b的比例中项，
∴，
∴x2＝ab＝4×9＝36，
∴x＝6，x＝﹣6（舍去）．
故答案为：6
8．（3分）若⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，则点A与⊙O的位置关系是　圆外　．
【答案】圆外．
【分析】判断点到圆心的距离与圆的半径的大小关系可得答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，点A与圆心O的距离为4cm，
∴点A在⊙O外，
故答案为：圆外．
9．（3分）不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是　　．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据概率公式用红球的个数除以球的总个数即可．
【解答】解：∵不透明的袋中装有只有颜色不同的10个小球，其中6个红色，4个白色，
∴从袋中任意摸出一个球是红球的概率＝＝．
故答案为．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为　1　．

【答案】见试题解答内容
【分析】根据相似多边形的性质得＝，即＝，然后利用比例性质求出CE．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），则点A的坐标为 　（3，2）　．

【答案】见试题解答内容
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△OCD是以点O为位似中心，在第三象限内与△OAB的相似比为的位似图形．若点C的坐标为（﹣1，﹣），
∴点A的坐标为（﹣1×（﹣3），﹣×（﹣3）），即点A的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
12．（3分）有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲
11
12
13
14
15
乙
12
12
13
14
14
甲、乙两组数据的方差分别为s甲2，s乙2，则s甲2　＞　s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＞．
【分析】根据平均数的计算公式求出甲和乙的平均数，再根据方差公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：＝×（11+12+13+14+15）＝13，
s甲2＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，
＝×（12+12+13+14+14）＝13，
s乙2＝[（12﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（14﹣13）2]＝0.8，
∵2＞0.8，
∴s甲2＞s乙2；
故答案为：＞．
13．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为　3π　cm2（结果保留π）．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以计算扇形的面积即可得到该圆锥的侧面面积．
【解答】解：该圆锥的侧面面积＝＝3π（cm2）．
故答案为3π．
14．（3分）二次函数y＝2x2﹣4x+3m的图象的顶点在x轴上，则m的值为 　　．
【答案】．
【分析】求出顶点（1，3m﹣2），再由题意可得3m﹣2＝0，即可求m的值．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+3m＝2（x﹣1）2﹣2+3m，
∴顶点（1，3m﹣2），
∵顶点在x轴上，
∴3m﹣2＝0，
∴m＝，
故答案为：．
15．（3分）△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠DBC＝∠C，若BD＝5，AD＝2，则BC＝　　．

【答案】．
【分析】证明△ABD∽ACB，利用相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DBC＝∠C，
∴BD＝CD＝5，
∴AC＝AD+CD＝2+5＝7，
∵∠A＝∠A，∠ABD＝∠C，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB：AC＝AD：AB，
∴AB2＝14，
∵AB＞0，
∴AB＝，
∵＝，
∴＝，
∴BC＝．
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝mx2+nx+2（m，n是常数，m≠0）的图象和直线y＝mx+4n都经过点（2，p），则m2+n2﹣mn的范围为 　m2+n2﹣mn≥　．
【答案】m2+n2﹣mn≥且不等于1．
【分析】先把（2，p）分别代入y＝mx2+nx+2和y＝mx+4n得4m+2n+2＝p，2m+4n＝p，消去p得到m＝n﹣1，则m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn＝1+n（n﹣1）＝n2﹣n+1＝（n﹣）2+，然后利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：把（2，p）分别代入y＝mx2+nx+2和y＝mx+4n得4m+2n+2＝p，2m+4n＝p，
∴m﹣n＝﹣1，
即m＝n﹣1，
∵m≠0，
∴n≠1，
∴m2+n2﹣mn＝（m﹣n）2+mn＝1+n（n﹣1）＝n2﹣n+1＝（n﹣）2+，
∴m2+n2﹣mn的最小值为，
∴m2+n2﹣mn的取值范围为m2+n2﹣mn≥且不等于1．
故答案为：m2+n2﹣mn≥且不等于1．
三、解答题（本大题共有10题，共102分，请在答题卡规定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）解方程：6x2﹣72x+15＝0；
（2）解不等式组．
【答案】（1）x1＝6+，x2＝6﹣；
（2）﹣1.5＜x≤1．
【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（2）求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）原方程可化为2x2﹣24x+5＝0，
∵b2﹣4ac＝（﹣24）2﹣4×2×5＝536＞0，
x＝＝＝，
解得：x1＝6+，x2＝6﹣；
（2），
∵解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣1.5，
∴不等式组的解集为﹣1.5＜x≤1．
18．（10分）人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）

信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 　40　百万人．
（2）下列结论正确的是 　①②　．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．


【答案】（1）40；
（2）①②；
（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．
【分析】（1）根据已知发现中位数在第三组内，从小到大排列找出处在中间位置的一个数即可求出中位数；
（2）①根据频数分布直方图进行判断即可；
②根据条形图与折线图即可判断；
③根据折线图即可判断；
（3）根据条形图与折线图可写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，根据变化趋势写出看法即可．
【解答】解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；

（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；

（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．
19．（8分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶，分别写着：有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾．其中小明投放了一袋垃圾，小丽投放了两袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求小丽投放的两袋垃圾不同类的概率．

【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【解答】解：（1）将有害垃圾、厨余垃圾、其他垃圾、可回收垃圾分别记为A，B，C，D，
∵小明投放了一袋垃圾，
∴小明投放的垃圾恰好是B类：厨余垃圾的概率为：；

（2）画树状图如下：

由树状图知，小丽投放的垃圾共有16种等可能结果，其中小丽投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，
所以小丽投放的两袋垃圾不同类的概率为＝．
20．（8分）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）当S＝24时，求x的值．

【答案】（1）S＝﹣x2+12x（0＜x＜6）；
（2）x＝4．
【分析】（1）首先过点作AM⊥BC于点M，由AB＝AC＝10，BC＝16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，由BE＝x，可知EM＝DN＝8﹣x，设DE＝MN＝a，则AN＝6﹣a，根据DG∥EF，得出△ADN∽△ABM，故＝，即＝，a＝x，DE＝x，再由矩形的面积公式即可得出结论；
（2）把S＝24代入（1）中的函数关系式，求出x的值即可．
【解答】解：（1）过点作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴BM＝BC＝8，
在Rt△ABM中，AM＝＝6，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，
∴MN＝DE，DN＝EM，
∵BE＝x，
∴EM＝DN＝8﹣x，
设DE＝MN＝a，则AN＝6﹣a，
∵DG∥EF，
∴△ADN∽△ABM，
∴＝，即＝，
∴a＝x，
∴DE＝x，
∴S＝S矩形DEFG＝DE•EF＝x•（16﹣2x）＝﹣x2+12x（0＜x＜6）
（2）当S＝24时，﹣x2+12x＝24，
解得x＝4．

21．（10分）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．
（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；
（2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长．

【答案】（1）当OA＝OD时，AC＝BC，证明见解析；（2）2．
【分析】（1）连接AD，当OA＝OD时，由圆周角定理，圆内接四边形的性质可以证明AC＝BC；
（2）由勾股定理求出AD的长，由圆周角定理，可以推出△AOC∽△ADB得到OC：DB＝AO：AD，即可求出DC的长．
【解答】解：（1）连接AD，

当OA＝OD时，AC＝BC，
证明：∵∠AOD＝90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ODA＝45°，
∴∠ODA＝∠ABC＝45°，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC；
（2）∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AOC＝∠ADB＝90°，
∵∠ACO＝∠ABD，
∴△AOC∽△ADB，
∴OC：DB＝OA：AD，
∵AD＝OA＝，
∴OC：3＝1：，
∴OC＝3，
∴DC＝OC﹣OD＝3﹣1＝2．
22．（10分）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中10≤x≤21，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．
【答案】（1）y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．（2）当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
【分析】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）利用销售该消毒液每天的销售利润＝每瓶的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（12，90），（15，75）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+150（10≤x≤21，且x为整数）．
（2）依题意得：w＝（x﹣10）（﹣5x+150）＝﹣5x2+200x﹣1500＝﹣5（x﹣20）2+500．
∵﹣5＜0，
∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为500．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大利润是500元．
23．（10分）如图1，平行四边形ABCD中，O为BC上一点，AO平分∠BAD，以O为圆心，OC为半径的圆，与AB相切于点E

（1）求证：⊙O与AD相切
（2）如图2，若⊙O与AD相切于点F，DF＝7，BO＝5，且∠D＞45°，求弧FC、线段DF和CD组成的图形面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）22﹣4π．
【分析】（1）作OH⊥AD于H，由条件可以证明OH＝OE，由切线的判定方法，即可证明问题；
（2）由勾股定理和∠D大于45°，可以求出圆的半径，由梯形的面积，扇形的面积即可解决问题．
【解答】（1）证明：作OH⊥AD于H，
∵⊙O与AB相切于E，
∴OE⊥AB，
∵OA平分∠BAD，
∴OH＝OE，
∴点O到AD的距离等于⊙O的半径，
∴⊙O于AD相切；
（2）解：设⊙O的半径是r，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5+r，
∵AE，AF分别与⊙O相切，
∴AE＝AF＝AD﹣FD＝5+r﹣7＝r﹣2，
∵AO平分∠BAD，
∴∠BAO＝∠FAO，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠AOB，
∴∠BAO＝∠AOB，
∴BA＝BO＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣（r﹣2）＝7﹣r，
∵OB2＝OE2+BE2，
∴r2+（7﹣r）2＝52，
∴r＝4或r＝3，
∵∠D＝∠B大于45°，
∴sinB＞sin45°＝，
当OE＝3时，
sinB＝＝＜，
当OE＝4时，
sinB＝＝＞，
∴r＝4，
∵梯形OCDF的面积＝（OC+FD）•OF＝×（4+7）×4＝22，扇形OCF的面积＝πr2＝×π×42＝4π，
∴弧FC、线段DF和CD组成的图形面积＝梯形OCDF的面积﹣扇形OCF的面积＝22﹣4π．

24．（10分）已知函数，y2＝x﹣1，函数称为y1、y2的组合函数．
（1）求y1、y2的图象的交点坐标；
（2）y1、y2的图象的交点为A、B，抛物线y3顶点为C，若△ABC是等腰直角三角形，请直接写出符合条件的a、b的值．
【答案】（1）（0，﹣1）和（1，0）；
（2）△ABC是等腰直角三角形，a的值是1，b的值是﹣4．
【分析】（1）将解析式联立成方程组，即可解得交点坐标；
（2）抛物线y3顶点C（﹣，﹣），由A（0，﹣1），B（1，0）可得△ABC是等腰直角三角形时，C的坐标，分三种情况列方程组，可解得答案．
【解答】解：（1）解得或，
∴函数，y2＝x﹣1的图象的交点坐标为（0，﹣1）和（1，0）；
（2）∵y3＝a（x2﹣1）+b（x﹣1）＝ax2+bx﹣a﹣b＝a（x+）2﹣，
∴抛物线y3顶点C（﹣，﹣），
由（1）知A（0，﹣1），B（1，0），
当C为直角顶点时，如图：

C与O重合或C（1，﹣1），
∴或，
两个方程组都无解；
当A为直角顶点时，如图：

C的坐标为（﹣1，0）或（1，﹣2），
∴或，
两个方程都无实数解；
当B为直角顶点时，如图：

C的坐标为（0，1）或（2，﹣1），
∴或，
解得，
综上所述，△ABC是等腰直角三角形，a的值是1，b的值是﹣4．
25．（12分）（1）如图1，D、E为等边△ABC中BC边所在直线上两点，∠DAE＝120°，求证：△ABD∽△ECA；
（2）△ADE中，∠DAE＝120°，请用不含刻度的直尺和圆规在DE上求作两点B、C，点B在点C的左侧，使得△ABC为等边三角形；
（3）在（1）的条件下，H为BC边上一点，过H作HF∥AD交AB延长线于点F，HG∥AE交AC延长线于点G，若AB＝6，BD＝a，∠HAE＝60°，求的值．（用含有a的代数式表示）

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）图形见解答；
（3）．
【分析】（1）△ABD与△ECA相似，由△ABC是等边三角形得到AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°，由此得到∠ACE＝∠ABD＝120°，而∠DAE＝120°，由此再证明∠D＝∠CAE即可可以证明△ADE∽△CAE；
（2）结合（1）作∠DAB＝∠E，∠EAC＝∠D，即可得等边三角形△ABC；
（3）由（1）知：△ABD∽△ECA，得CE＝，然后证明△AHF∽△DBA，得HF＝，同理可得：△AGH∽△EAC，得HG＝，进而可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵∠DAE＝120°，
∴∠DAB+∠CAE＝60°．
∵∠DAB+∠D＝∠ABC＝60°，
∴∠D＝∠CAE．
∵∠DBA＝∠ACE＝120°，
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：如图，等边三角形△ABC即为所求；

（3）解：由（1）知：△ABD∽△ECA，
∴＝，
∴CE＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝6，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵BD＝a，
∴CE＝＝，
∵∠DAE＝120°，∠HAE＝60°，
∴∠HAD＝60°，
∴∠HAB+∠BAD＝60°，
∵∠ABC＝∠D+∠BAD＝60°，
∴∠HAF＝∠D，
∵HF∥AD，
∴∠F＝∠BAD，
∴△AHF∽△DBA，
∴＝，
∴HF＝，
∵HG∥AE，
同理可得：△AGH∽△EAC，
∴＝，
∴HG＝，
∴＝×＝＝×＝．
∴的值为．
26．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线y1的顶点P坐标；
（2）平移抛物线y1得抛物线y2，两抛物线交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线y1和平移后的抛物线y2分别为B和C（点B在点C的左侧）．
①平移后的抛物线y2顶点在直线x＝1上，点A的横坐标为﹣1，求抛物线y2的表达式；
②平移后的抛物线y2顶点在直线x＝1上，点A的横坐标为m（﹣3＜m＜1），求BC的长；
③设点A的横坐标为n，BC＝10，抛物线y2的顶点为Q，设PQ2＝y，求y关于n的函数表达式，并求PQ的最小值．

【答案】（1）点P的坐标为（﹣3，9）；
（2）①y2＝﹣（x﹣1）2+9；②8；③y＝100n2+100n+50，PQ的最小值为5．
【分析】（1）将函数表达式配方即可求解；
（2）①设y2＝﹣（x﹣1）2+t，将点A的坐标代入上式得：5＝﹣（﹣1﹣1）2+t，即可求解；
②由题意得：xQ﹣xP＝1﹣（﹣3）＝4，由抛物线的对称性知，BC＝2（xQ﹣xP）＝8，即可求解；
③设抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣2）2+t，将点A的坐标代入上式得：﹣n2﹣6n＝﹣（n﹣2）2+t，进而求解．
【解答】解：（1）∵y1＝﹣x2﹣6x＝﹣（x+3）2+9，
∴点P的坐标为（﹣3，9）；

（2）①当x＝﹣1时，y1＝﹣x2﹣6x＝5，即点A（﹣1，5），
设y2＝﹣（x﹣1）2+t，
将点A的坐标代入上式得：5＝﹣（﹣1﹣1）2+t，
解得：t＝9，
即y2＝﹣（x﹣1）2+9；

②由题意得：xQ﹣xP＝1﹣（﹣3）＝4，
由抛物线的对称性知，BC＝2（xQ﹣xP）＝8；

③由②知，xQ﹣xP＝BC＝5，则xQ＝﹣3+5＝2，
故设点Q（2，t），
设抛物线的表达式为：y2＝﹣（x﹣2）2+t，
当x＝n时，y1＝﹣x2﹣6x＝﹣n2﹣6n，即点A（n，﹣n2﹣6n），
设y2＝﹣（x﹣2）2+t，
将点A的坐标代入上式得：﹣n2﹣6n＝﹣（n﹣2）2+t，
解得：t＝4﹣10n，
即点Q（2，4﹣10n），
由（1）知，点P（﹣3，9），
则y＝PQ2＝（2+3）2+（4﹣10n﹣9）2＝100n2+100n+50，
∵100＞0，故y有最小值，
当n＝﹣时，y的最小值为25，则PQ的最小值为5．