2022-2023学年北京市丰台区高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年北京市丰台区高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，则（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

【答案】B

【分析】根据等差数列的通项公式运算求解.

【详解】由题意可知：数列是以首项为1，公差为2的等差数列，

所以.

故选：B.

2．已知，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率的计算公式求解即可.

【详解】因为，

所以，故A，B，D错误.

故选：C.

3．如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形.已知第个图案中黑色与白色三角形的个数之和为，数列满足，那么下面各数中是数列中的项的是（    ）

A．121 B．122 C．123 D．124

【答案】A

【分析】根据已知，利用构造法以及等比数列求数列的通项，再根据选项进行计算求解.

【详解】因为，所以，

所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，

所以，所以，

对于A，当时，，解得，故A正确；

对于B，当时，，此时，故B错误；

对于C，当时，，此时，故C错误；

对于D，当时，，此时，故D错误.

故选：A.

4．已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望即可；

【详解】设试验成功的概率为，解得：；

记一次试验中成功的次数为X，则的取值有0,1，

,

则随机变量X的数学期望,

故选：A.

5．用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可

【详解】由球的体积公式可得，得，

所以时，体积关于半径的瞬时变化率为，

故选：.

6．某人需要先从A地到B地，再同站转车赶到C地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如下表所示，那么此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案种数为（    ）

A．9 B．6 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据车次时间安排的合理性和分类加法计数原理可得答案.

【详解】若从A地到B地选车次G87，则B地到C地可选车次G2811， G653， G501，共3种方案；

若从A地到B地选车次G91，则B地到C地可选车次G653 ，G501，共2种方案；

若从A地到B地选车次G93，则B地到C地可选车次G501，共1种方案；

按照分类加法计数原理可得，此人这天乘坐高铁列车从A地到C地不同的乘车方案种数为3+2+1=6(种).

故选: B.

7．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量，可以证明，对给定的是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：

通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（    ）

A．341 B．477 C．498 D．683

【答案】B

【分析】根据已知，利用正态分布的性质计算求解.

【详解】因为考生的成绩基本服从正态分布，

所以考试成绩在的考生人数即为考试成绩在的人数，

因为共有1000名考生参加这次考试，

所以考试成绩在的考生人数大约为，故A，C，D错误.

故选：B.

8．设等比数列的公比为q，前n项和为.若，则（    ）

A． B． C．2 D．8

【答案】C

【分析】根据等比数列求和公式，然后相比即可求答案.

【详解】当时，因为，所以，不成立.

当时，因为，所以，

两式相除得，

所以.

故选：C

9．2023年5月18日至19日，首届中国—中亚峰会在陕西西安成功举行.峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5名同学承担A，B，C，D共4项翻译工作，每名同学需承担1项翻译工作，每项翻译工作至少需要1名同学，则不同的安排方法有（    ）

A．480种 B．240种 C．120种 D．4种

【答案】B

【分析】先用捆绑法分组，再排列求解即可；

【详解】首先把5名同学转化成4组，然后分给4项翻译工作，

第一步：从5名同学中任意取出2名捆绑成1组，有种方法；

第二步：再把4组分给4项翻译工作，有种方法，

由乘法原理，共有(种)方法；

故选：B.

10．设函数，给出下列四个结论：①当时，函数有三个极值点；②当时，函数有三个极值点；③是函数的极小值点；④不是函数的极大值点.其中，所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

【答案】D

【分析】取特殊值，结合函数图象可判断①③；作出函数图象，数形结合可判断②；讨论a的取值范围，结合函数图象，可判断④.

【详解】对于①，不妨取，此时，

作出函数图像如图：

此时函数有2个极值点，故①错误；

对于②，当时，，作出函数的大致图象如图：

在单调递减，在单调递增，在上单调递减，在单调递增，

此时函数有3个极值点：，②正确；

对于③，由①的分析可知，时，是函数的极大值点，③错误；

对于④，由以上分析可知当时，，且为的对称轴，

此时为函数的极小值点，

当时，，此时在上单调递减，

在上也单调递减，在上单调递增，

不是函数的极大值点，

故不是函数的极大值点，④正确，

故选：D

【点睛】方法点睛：题目中分段函数涉及的函数是比较常见的函数，故可作出函数大致图象，数形结合，再结合函数极值点的概念进行判断，即可解决问题.

二、填空题

11．的展开式中的常数项是：          ．(请用数字作答)

【答案】-20

【详解】，

令，则，

所以常数项为．

12．某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为0.80，0.20.设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为          .

【答案】/

【分析】记事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，利用全概率公式可求得结果；

【详解】设事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”，

则，，，，

由全概率公式可得：

，

即在仓库中随机取一只元件，则它是次品的概率为．

故答案为：

13．已知函数在区间上单调递增，则m的最大值为          .

【答案】1

【分析】求出函数的导数，令可求得函数的单调增区间，结合题意即可求得答案.

【详解】由于函数，故，

令，等号仅在时取得,

而，故，

即在上单调递增，

故函数在区间上单调递增，则m的最大值为1，

故答案为：1

三、双空题

14．投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则          ；函数取最大值时，          .

【答案】         

【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点.

【详解】10次的结果恰有2次是正面的概率为.

因此.

令，得.

当时，；当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数取最大值.

故答案为：；.

四、填空题

15．设是正整数，且，数列满足：，，，数列的前项和为.给出下列四个结论：①数列为单调递增数列，且各项均为正数；②数列为单调递增数列，且各项均为正数；③对任意正整数，，；④对任意正整数，.其中，所有正确结论的序号是          .

【答案】①③④

【分析】由和可确定①正确；由知②错误；根据已知等式可得及，推导得到，加和可得③正确；由已知等式可推导得到，累加得到，进而得到，知④正确.

【详解】对于①，，，，数列为单调递增数列，

，，即数列各项均为正数，①正确；

对于②，，

由①知：，，，数列单调递减数列，②错误；

对于③，由得：，

又，，

，③正确；

对于④，由得：，

，

，

，，即，④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系式研究数列相关性质及前项和的问题；求解关键是能够对已知递推关系式进行变形，得到、等关系式，结合累加法、放缩法来进行求解.

五、解答题

16．已知函数在时取得极大值4.

(1)求实数a，b的值；

(2)求函数在区间上的最值.

【答案】(1)；

(2)最大值为4，,最小值为0.

【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值；

（2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值.

【详解】（1），由题意得，解得.

此时，，

当时，，所以在单调递增，

当时，，所以在单调递减，

当时，，所以在单调递增，

所以在时取得极大值.

所以.

（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.

又因为，，，，

所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.

17．如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图

注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）.

参考数据：.

参考公式：相关系数.

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.

【答案】(1)与之间存在较强的正相关关系，见解析；

(2)；2.15

【分析】（1）结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论；

（2）根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据估计.

【详解】（1）解：由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：

因为，，所以

，，

所以

，

∵，故与之间存在较强的正相关关系.

（2）由（1），结合题中数据可得，

，

，

，

∴关于的回归方程，

2023年对应的值为10，故，

预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿.

18．数列的前n项和为，其中.从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：

(1)求的通项公式；

(2)设，求.

条件①：；条件②：；条件③：.

注：如果选择条件①、条件②、条件③分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选择①②，可判断数列是公差为2的等差数列，即可求解通项公式，若选择③，根据，求后，再根据数列与的关系，即可求通项公式；

（2）利用等差和等比数列的前项和公式，即可求和.

【详解】（1）若选择①，，则，

即数列是公差为2的等差数列，且，

所以；

若选择②，，

则数列是公差为2的等差数列，且，

所以；

若选择③，，由，得，

即，

时，，

且当时，，成立，

所以.

（2）由（1）可知，，

，

，

.

19．2023年4月18日至27日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以“拥抱汽车行业新时代”为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果，为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分.问卷结束后，将数据分成6组：，并整理得到如下频率分布直方图.

(1)求图中的a的值；

(2)在样本中，从分数在60分以下的参观者中随机抽取3人，用X表示分数在中的人数，求X的分布列及数学期望；

(3)在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为m，若中位数的估计值为n，写出m与n的大小关系.（直接写出结果）

【答案】(1)

(2)答案见解析；

(3)

【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，即可求出a的值；

（2）首先求出60分以下的参观者人数，和的参观者人数，得到X的取值，写出变量各个取值对应的概率，进而得出X的分布列及数学期望；

（3）利用平均数的计算公式和中位数的定义，求出平均数和中位数即可比较大小.

【详解】（1）由题意可得，，

解得；

（2）由题意可得，分数在60分以下的参观者人数为人，

因为，所以在中人数有2人，在中人数有6人，

故随机变量的所有可能取值为1，2，3，所以

，

，

，

所以的分布列为：

故；

（3）平均数，

因为，，

所以中位数，所以，

解得，故.

20．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)判断与1.01的大小关系，并说明理由.

【答案】(1)

(2)答案见解析；

(3)，理由见解析；

【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程；

（2）求出定义域，求导后，分与两种情况进行讨论得到函数单调性情况；

（3）构造函数，比较判断与1.01的大小关系；

【详解】（1），所以，

，所以切点为，

所以曲线在点处的切线方程为．

（2）定义域为，

当时，对恒成立，

在上为增函数；

当时，令，所以，，

，，函数单调递减，

，，函数单调递增，

综上所述：

当时， 在上为增函数；

当时， ，函数单调递减；，函数单调递增；

（3）记，则，

当时，，故在上单调递增，

，即，

故有：；

21．正实数构成的集合，定义，且.当集合中的元素恰有个数时，称集合A具有性质.

(1)判断集合是否具有性质；

(2)设集合具有性质，若中的所有元素能构成等差数列，求的值；

(3)若集合A具有性质，且中的所有元素能构成等差数列.问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质.

(2)的值分别为4，5或5，9.

(3)存在最大值，最大值为4.

【分析】（1）根据集合A具有性质的定义进行判断，可得答案；

（2）写出中的所有元素，分类讨论，结合等差数列的性质，列出相应的方程组，解得答案；

（3）根据新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案.

【详解】（1）根据的定义得，故集合具有性质.故集合不具有性质.

（2）因为集合B具有性质，

故中共有6个元素，.

（i）若，

则 ，解得，此时，符合题意，

故p，q的值分别为4，5；

（ii）若

则 ，解得，此时，符合题意，

故p，q的值分别为5，9；

综上，的值分别为4，5或5，9.

（3）不妨设，

则在集合中，.

又中的所有元素能构成等差数列，设公差为，

则，

即，故.

当时，是集合A中互不相同的4项，

从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾.

当时，，即成等差数列，且公差也为，

故中的元素从小到大的前三项为，

且第四项只能是或.

（i）若第四项为，则，从而，

于是，故中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾.

（ii）若第四项为，则，故.

另一方面，，即.

于是，

故中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾.

因此，.

由（2）知，时，存在集合A具有性质，

故集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4.

【点睛】关键点睛：本题是关于集合新定义类型题目，解答的关键是要理解新定义，并依据该定义去解决问题.