九上第1章 二次函数（知识清单）（浙教版）

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二次函数知识清单1.二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数. 　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2. 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，，为常数，）；2. 顶点式：（，，为常数，）；3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）（或称交点式）. 要点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.3.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．4.二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线. 因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标. 5.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.要点：二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.6.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1） （2） 7.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.要点：抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)． 抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．8.函数的图象 9.函数的图象 要点：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．10、二次函数的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．11、二次函数与之间的相互关系1.顶点式化成一般式　　从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．2.一般式化成顶点式 ．对照，可知，．∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是．要点：1．抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，可以当作公式加以记忆和运用．2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．12、二次函数的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．要点：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，13、二次函数的图象1.二次函数图象与性质 2.二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系14、求二次函数的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当时，．要点：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．15、列二次函数解应用题　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案．要点：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.16、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.17.二次函数的几何应用1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标。 在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标。解决方案：识别模型，A、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P，使得面积最大，求出P坐标。解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为直角三角形，求出P坐标。或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标。解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。5、讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标。解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。6、相似三角形 (以后讲解) 问抛物线上是否存在一动点D，使得△ABD∽△ABC。解决方案：从边的关系找相似（勿忘全等△）或从角的关系找相似，建立数量关系，解方程并验证是否合符题意。 的符号开口方向顶点坐标对称轴向上x=h向下x=h的符号开口方向顶点坐标对称轴向上x=h向下x=h函数二次函数（a、b、c为常数，a≠0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标项目字母字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bab＞0(a，b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a，b异号)对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点b2-4ac＞0与x轴有两个交点b2-4ac＜0与x轴没有交点