浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》单元测试卷（标准困难）（含答案解析）

浙教版初中数学九年级上册第一单元《二次函数》单元测试卷

考试范围：第一单元；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列函数关系中是二次函数的是(    )

A. 正三角形面积与边长的关系 B. 直角三角形两锐角与的关系
C. 矩形面积一定时，长与宽的关系 D. 等腰三角形顶角与底角的关系

2.    对于关于的函数，下列说法错误的是(    )

A. 当时，该函数为正比例函数
B. 当时，该函数为一次函数
C. 当该函数为二次函数时，或
D. 当该函数为二次函数时，

3.    如果函数是二次函数，那么的值一定是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

4.    如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且，则下列各式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    已知关于的方程只有一个实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 为一切实数

6.    将抛物线向右平移单位正好经过原点，则的值为
   (    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7.    关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征甲：函数图象经过点乙：函数图象经过第四象限丙：当时，的增大而增大则这个函数表达式可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    下列关于抛物线的说法正确的是

A. 抛物线的开口方向向下
B. 抛物线与轴交点的坐标为
C. 当时，抛物线的对称轴在轴右侧
D. 对于任意的实数，抛物线与轴总有两个公共点

9.    下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：

下列各选项中，正确的是(    )

A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与轴无交点
C. 这个函数的最小值小于
D. 当时，的值随值的增大而增大

10. 用长米的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是(    )
     

A.  B.  C.  D.

11. 已知，一次函数与二次函数的部分自变量与对应的函数值如表：

当时，自变量的取值范围是(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

12. 汽车刹车后行驶的距离单位：关于行驶的时间单位：的函数解析式是汽车刹车后到停下来前进了秒．(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若是关于的二次函数，则的取值范围是        ．
14. 若函数的顶点在轴上，则______．
15. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是   ．
16. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：

科学家推测出与之间是二次函数关系由此可以推测出最适合这种植物生长的温度为          

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知函数为常数．

若这个函数是关于的一次函数，求的值．

若这个函数是关于的二次函数，求的值．

18. 本小题分

已知函数．

若这个函数是二次函数，求的取值范围

若这个函数是一次函数，求的值

这个函数可能是正比例函数吗为什么

19. 本小题分
    已知关于的二次三项式，
    若关于的方程的两实数根为，，且，求的值；
    当时，的图象与的图象只有一个交点，求的取值范围．
20. 本小题分
    已知抛物线经过点．
    用含的代数式表示为______；
    当抛物线与轴交于点时，求此时的值；
    设抛物线与轴两交点之间的距离为当时，求的取值范围．
21. 本小题分
    在平面直角坐标系中，设二次函数，是实数，．
    若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．
    若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点．
    设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值．
22. 本小题分
    已知二次函数的图象经过点．
    求的值．
    求二次函数图象与轴的交点坐标．
23. 本小题分

如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点

求二次函数的表达式；

连接，，判定的形状，并说明理由．

24. 本小题分
    端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价元时，每天可售出盒；每盒售价提高元时，每天少售出盒．
    求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
    设猪肉粽每盒售价元，表示该商家每天销售猪肉粽的利润单位：元，求关于的函数解析式并求最大利润．
25. 本小题分
    柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植株时，平均单株产量为，每亩种植的株树每增加株，平均单株产量减少．
    求平均单株产量与每亩种植株数的函数表达式；
    今年柑橘“红美人”的市场价为元，并且每亩的种植成本为万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：
一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；
二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．
根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．
【解答】
解：、关系式为：，故本选项正确；
B、关系式为：，故本选项错误；
C、关系式为：，故本选项错误；
D、关系式为：，故本选项错误；
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正比例函数的概念、一次函数以及二次函数的概念 根据正比例函数的概念、一次函数的概念以及二次函数的概念，结合各选项分析即可 
【解答】
解：当时，该函数为，是正比例函数，选项说法正确，故此选项不符合题意；
B.当时，，该函数为，是一次函数，选项说法正确，故此选项不符合题意；
C.当该函数为二次函数时，且，解得，选项说法错误，故此选项符合题意；
D.当该函数为二次函数时，且，即，选项说法正确，故此选项不符合题意．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的定义，得出关于的等式是解题关键利用二次函数的定义得出进而求出即可．
【解答】
解：函数是关于的二次函数，
，
解得：，，
，
，
．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查的是二次函数与三角形的综合应用根据，有，可设点，的坐标为，，把点代入二次函数，得，从而求出关系式．

【解答】

解： ，，
时，，，点的坐标为．
把点代入二次函数，得，即，
，．
故选D．

5.【答案】 

【解析】解：方程只有一个实数根，
函数和函数只有一个交点，
函数，开口向上，对称轴，顶点为，抛物线交轴的正半轴，
反比例函数应该在一或二象限，
，
故选：．
方程只有一个实数根，则函数和函数只有一个交点，根据二次函数所处的象限，即可确定出的范围．
本题考查了二次函数的图象和反比例函数的图象，确定二次函数的图象所处的位置是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向右平移单位得到，
平移后的抛物线经过原点，

解得或．
故选：．
根据平移的规律得到向右平移单位后的抛物线为，然后把代入，解关于的方程即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查一次函数，反比例函数及二次函数的性质，根据题中所给特征依次排除各个选项，排除法是中考常用解题方法．
结合给出的函数的特征，在四个选项中依次判断即可．
【解答】
解：把点分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意；
又函数过第四象限，而只经过第一、二象限，故选项C不符合题意；
对于函数，当时，随的增大而减小，与丙给出的特征不符合，故选项A不符合题意．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数的性质，得出二次函数的对称轴以及与轴的交点是解题关键．
根据二次函数的性质进行分析即可．
【解答】
解：因为，所以抛物线的开口方向向上，故A错误；
B.当时，，所以抛物线与轴交点的坐标为，故B错误；
C.对称轴，当时，抛物线的对称轴在轴左侧，故C错误；
D.因为，所以对于任意的实数，抛物线与轴总有两个公共点，故D正确．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题知，
解得，
二次函数的解析式为，
A.由于，则函数图象开口向上，故本项错误；
B.令，则，
，
则函数与轴有两个交点，故本项错误；
C.当时，函数有最小值为，，故本项正确；
D.函数对称轴为直线，开口向上，
当时，随的增大而减小，
当时，的值随值的增大而增大，故本项错误．
故选C．
本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程．
求出二次函数的解析式，再逐项判断即可．
 

10.【答案】 

【解析】解：设窗的高度为，宽为，
故．
，
即．
当时，最大值为．
故选：．
设窗的高度为，宽为，则根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
本题考查的是二次函数的应用以及矩形面积公式的计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：由表格可得直线的随增大而正大，
抛物线的先随增大而减小，再随增大而增大，
抛物线开口向上，
两函数都经过，，
当时，．
故选：．
由表格可得一次函数随增大而增大，二次函数图象开口向上，根据两函数图象交点坐标求解．
本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
当时，取得最大值，
即汽车刹车后到停下来前进了秒，
故选：．
求出函数的最大值时自变量的值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，根据题意理解其最大值的实际意义是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是函数的定义有关知识，根据题意可得即可解答．
【解答】
解：由题意可得：，
解得：．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次函数顶点在轴上的特点根据函数的顶点坐标在轴上，可以知函数顶点的纵坐标为，从而求解．
【解答】
解：二次函数的顶点在轴上，
顶点的纵坐标，
，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由函数图象可得函数的性质，即可得答案．
【解答】
解：由函数图象可知，当时，随的增大而增大，

，
故答案为．  

16.【答案】略 

【解析】略
 

17.【答案】略 

【解析】略
 

18.【答案】解：函数，若这个函数是二次函数，则，解得且

若这个函数是一次函数，则，，解得．

这个函数不可能是正比例函数当此函数是一次函数时，，而此时

【解析】本题考查了二次函数，一次函数和正比例函数的定义，注意二次函数的二次项系数不能等于时，是二次函数；二次函数的二次项系数等于时，是一次函数；二次项系数等于，同时常数项等于时，是正比例函数．
根据二次函数的二次项系数不等于，可得答案；
根据二次函数的二次项系数等于，常数项不等于，是一次函数，可得答案；根据二次函数的二次项系数等于，常数项等于，可得正比例函数．
 

19.【答案】解：根据题意得，
解得或；
关于的方程的两实数根为，，
，，
，
，
，
整理得，解得，，
或，
．
分三种情况：
联立方程组，
，
的图象与的图象只有一个交点，
，即，
或，
当时，，
，
，
，
时的图象与的图象只有一个交点；
当时，，
，
，
，
时的图象与的图象只有一个交点；
令，则，
令，则，
当时，
解得，
此时的图象与的图象只有一个交点；
当时，
解得，
此时的图象与的图象只有一个交点；
综上所述：当或或或时，的图象与的图象只有一个交点． 

【解析】根据根与系数关系得，，代入求解即可；
分三种情况讨论：当直线与抛物线有一个交点，联立方程组，判别式时；令，时；令，时．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：把代入得，
，
．
由题意得，，
．
抛物线经过点，
．
．
令．
．
．
，
，．
，
或．
即或．
当时，或．
当时，恒成立．
．
综上所述，，或．
把代入，变形即可得答案；
根据题意将点和坐标代入抛物线即可求；
将点坐标代入抛物线可得再令可得，根据，即可求的取值范围．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点，解决本题的关键是掌握二次函数的知识．
 

21.【答案】解：由题意，得到，解得，
函数的图象经过，
，
解得或，
函数或．

函数的图象经过点，其中，
，
，
即，
是方程的根，
即函数的图象经过点．

由题意，，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
利用待定系数法解决问题即可．
函数的图象经过点，其中，可得，推出，即，推出是方程的根，可得结论．
由题意，，，根据，构建方程可得结论．
 

22.【答案】解：把代入二次函数解析式得：
，
解得：；
由知，，
令，则，
解得：，，
二次函数图象与轴的交点坐标为和． 

【解析】把代入二次函数解析式即可求得的值；
根据中的值求出函数解析式，令，解方程即可．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 

23.【答案】解：将点代入，得
，
，
函数的表达式为．
是直角三角形，理由如下，
当时，，
解得：或，
，，
，
，
，，
，
是直角三角形． 

【解析】先将点代入解析式求得的值，然后得到函数的表达式；
令求得点和点的坐标，然后求得线段、、的长度，最后判定的形状．
本题考查了二次函数的解析式、三角形的形状判定，解题的关键是利用两点间的距离公式求得线段、、的长度．
 

24.【答案】解：设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，
则，
解得：，经检验是方程的解，
猪肉每盒进价元，豆沙粽每盒进价元，
答：猪肉每盒进价元，豆沙粽每盒进价元；
由题意得，当时，每天可售出盒，
当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，
，
配方，得：，
时，随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为：元．
答：关于的函数解析式为，且最大利润为元． 

【解析】本题考查了二次函数的应用以及分式方程的应用，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式．
设猪肉粽每盒进价元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
由题意得，当时，，每天可售出盒，当猪肉粽每盒售价元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价元的函数关系式，根据二次函数的性质及的取值范围求利润的最大值．
 

25.【答案】解：由题意可得，
，
即平均单株产量与每亩种植株数的函数表达式是；
设每亩的利润为元，
，
当时，取得最大值，此时，
答：每亩种植株红美人可使利润最大，最大值为元． 

【解析】根据题意可以得到平均单株产量与每亩种植株数的函数表达式；
根据题意和中的函数关系式，可以得到利润和株数之间的函数关系，然后利用二次函数的性质即可解答本题．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．