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2023宜宾叙州区二中高二下学期期末考试数学（文）试题含解析
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叙州区第二中学2023年春期高二期末考试
数学（文史类）
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. i为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数的图象如右图所示，那么函数的导函数的图象最有可能的是下图中的
A. B. C. D.
3. 在我市举办“讲述抗疫精神，弘扬中国文化”书画活动中，甲乙丙三位同学把他们的书信（每人一封）随机投递到，号信箱中，若每个信箱都被投递，则甲投号箱的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数在点处的切线的倾斜角是，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
5. 已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知命题p：，，命题q：函数在R上单调递增，则下列命题中，是真命题的为（ ）
A. B. C. D.
7. “”的充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 甲､乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下.则（ ）
A. 甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数
B. 甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数
C. 甲的数据的方差大于乙的数据的方差
D. 甲的数据的极差小于乙的数据的极差
9. 设椭圆（，）的一个焦点为（，），离心率为，则（ ）
A. B.
C D.
10. 两圆与的公共弦长等于（ ）
A. 4 B. C. D.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 一个体积可忽略不计的小球在边长为2的正方形区域内随机滚动，则它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为______________.
14. 若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________.
15. 已知命题P：[0,1],，命题q：“R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是_____________________；
16. 已知函数，其中e是自然对数底数.若，则实数a的取值范围是_______.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分
17. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
18. 司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；
| 开车时使用手机 | 开车时不使用手机 | 合计 |
男性司机人数 |
|
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女性司机人数 |
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合计 |
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（2）从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.
参考公式附：其中.
参考数据：
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
19. 如图，直三棱柱中，，且，为线段上动点.
（1）证明：；
（2）判断点到面的距离是否为定值，并说明理由，若是定值，请求出该定值.
20. 已知函数．
（1）时，求极值；
（2）若，求的取值范围．
21. 已知椭圆的右焦点为且,设短轴的一个端点为,原点到直线的距离为，过原点和轴不重合的直线与椭圆相交于两点，且.
(1) 求椭圆的方程；
(2) 是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点且使得成立？若存在，试求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．
（选修4-4 极坐标与参数方程）
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.
（1）求直线普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）直线与曲线交于两点，点，求的值.
（选修4-5 不等式选讲）
23. 设函数.
（1）证明；
（2）若当时，关于实数x的不等式恒成立，求实数t的取值范围.
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