内蒙古包头市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)

这是一份内蒙古包头市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)，共47页。试卷主要包含了 其中a＝﹣1，b＝，解方程，小刚家到学校的距离是1800米，与x之间的函数关系如图所示，，交y轴于点D，交x轴于点E，是抛物线上一动点等内容，欢迎下载使用。
内蒙古包头市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2023•内蒙古）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
二．解分式方程（共1小题）
2．（2023•内蒙古）解方程：＝5+．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
四．一次函数的应用（共1小题）
4．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？

五．二次函数的应用（共1小题）
5．（2023•内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．

（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m＝x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）
六．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y＝﹣x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求点D，E，C的坐标；
（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21．
①求证：△DFC是直角三角形；
②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时，求点P的坐标．

7．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时，
①求点M的坐标；
②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG．

七．勾股定理的应用（共1小题）
9．（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．

八．四边形综合题（共2小题）
10．（2023•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．

（1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
11．（2022•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
①若AE＝，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长．


九．圆周角定理（共2小题）
12．（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．

（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
13．（2021•包头）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．

一十．圆的综合题（共2小题）
14．（2022•包头）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点G，连接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE．
（1）若⊙O的半径为5，求CG的长；
（2）试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）

15．（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．

一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2022•包头）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα＝，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度．

一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
17．（2023•内蒙古）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．

一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）
18．（2022•包头）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　 　名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．

一十四．扇形统计图（共1小题）
19．（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a．请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩（分）
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
（1）求统计表中a，b的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

一十五．折线统计图（共1小题）
20．（2023•内蒙古）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．如图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．

请根据所给信息，解答下列问题：
（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．

内蒙古包头市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
1．（2023•内蒙古）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b） 其中a＝﹣1，b＝．
【答案】2a2+4ab，1．
【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2
＝2a2+4ab，
当a＝﹣1，b＝时，
原式＝2×（﹣1）2+4×（﹣1）×
＝2﹣1
＝1．
二．解分式方程（共1小题）
2．（2023•内蒙古）解方程：＝5+．
【答案】x＝4．
【解答】解：原方程两边同乘（x﹣1），去分母得：3＝5（x﹣1）﹣3x，
去括号得：3＝5x﹣5﹣3x，
移项，合并同类项得：﹣2x＝﹣8，
系数化为1得：x＝4，
检验：将x＝4代入（x﹣1）中得4﹣1＝3≠0，
则原分式方程的解为：x＝4．
三．分式方程的应用（共1小题）
3．（2021•包头）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
【答案】（1）150米/分；（2）不能，见解析．
【解答】解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，
根据题意，得，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的根，
答：小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）他不能在上课前赶回学校，理由如下：
由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为1800÷150＝12（分），
骑自行车所用时间为12﹣4.5＝7.5（分），
∵在家取作业本和取自行车共用了3分，
∴小刚从开始跑步回家到赶回学校需要12+7.5+3＝22.5（分）．
又∵22.5＞20，
∴小刚不能在上课前赶回学校．
四．一次函数的应用（共1小题）
4．（2022•包头）由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之间的函数关系式为y＝，草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当4≤x≤12时，草莓价格m与x之间的函数关系式；
（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？

【答案】（1）第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）m＝﹣x+28．
（3）第10天的销售金额多．
【解答】解：（1）∵当10≤x≤16时，y＝﹣20x+320，
∴当x＝14时，y＝﹣20×14+320＝40（千克），
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
（2）当4≤x≤12时，设草莓价格m与x之间的函数关系式为m＝kx+b，
∵点（4，24），（12，16）在m＝kx+b的图象上，
∴，
解得：，
∴函数解析式为m＝﹣x+28．
（3）当0≤x≤10时，y＝12x，
∴当x＝8时，y＝12×8＝96，
当x＝10时，y＝12×10＝120；
当4≤x≤12时，m＝﹣x+28，
∴当x＝8时，m＝﹣8+28＝20，
当x＝10时，m＝﹣10+28＝18
∴第8天的销售金额为：96×20＝1920（元），
第10天的销售金额为：120×18＝2160（元），
∵2160＞1920，
∴第10天的销售金额多．
五．二次函数的应用（共1小题）
5．（2023•内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人（图1）已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第x（x为整数）个月每台的销售价格为y（单位：元），y与x的函数关系如图2所示（图中ABC为一折线）．

（1）当1≤x≤10时，求每台的销售价格y与x之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第x个月的销售数量为m（单位：万台），m与x的关系可以用m＝x+1来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入＝每台的销售价格×销售数量）
【答案】（1）当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝﹣150x+3000；
（2）第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
【解答】解：（1）当1≤x≤10时，设每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵图象过A（1，2850），B（10，1500）两点，
∴，
解得，
∴当1≤x≤10时，每台的销售价格y与x之间的函数关系式为y＝﹣150x+3000；
（2）设销售收入为w万元，
①当1≤x≤10时，w＝（﹣150x+3000）（x+1）＝﹣15（x﹣5）2+3375，
∵﹣15＜0，
∴当x＝5时，w最大＝3375 （万元）；
②当10＜x≤12时，w＝1500（x+1）＝150x+1500，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝12时，w最大＝150×12+1500＝3300 （万元）；
∵3375＞3300，
∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
六．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线y＝﹣x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E．
（1）求点D，E，C的坐标；
（2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21．
①求证：△DFC是直角三角形；
②∠DFC的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当3tan∠PFK＝1时，求点P的坐标．

【答案】（1）C（3，1），D（0，2），E（6，0）．
（2）①证明见解答；
②点P的坐标为（1，3）或（）．
【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2交y轴于点D，交x轴于点E，
当x＝0时，y＝2，
∴D（0，2），
当y＝0时，x＝6，
∴E（6，0），
∵直线y＝﹣x+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），
∴﹣x2+3x+1＝﹣x+2，
∴3x2﹣10x+3＝0，
解得，
∵点B在点C的左侧，
∴点C的横坐标为3，当x＝3时，y＝1，
∴C（3，1），
答：C（3，1），D（0，2），E（6，0）．
（2）如图，

①证明：∵抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，
当x＝0时，y＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝1，
在Rt△AOF中，∠AOF＝90°，
∴AF2＝OA2+OF2，
设F（m，0），
∴OF＝m，
∴AF2＝1+m2，
∵E（6，0），
∴OE＝6，
∴EF＝OE﹣OF＝6﹣m，
∵AF2+EF2＝21，
∴1+m2+（6﹣m）2＝21，
∴m1＝2，m2＝4，
∵OF＜EF，
∴m＝2，
∴OF＝2，
∴F（2，0），
∵D（0，2），
∴OD＝2，
∴OD＝OF，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴∠OFD＝45°，
过点C作CG⊥x轴于G，
∵C（3，1），
∴CG＝1，OG＝3，
∵GF＝OG﹣OF＝1，
∴CG＝GF，
∴△CGF是等腰直角三角形，
∴∠GFC＝45°，
∴∠DFC＝90°，
∴△DFC是直角三角形．
②解：∵FK平分∠DFC，∠DFC＝90°，
∴∠DEK＝∠CFK＝45°，
∴∠OFK＝∠OFD+∠DFK＝90°，
∴FK∥y轴，
∵3tan∠PFK＝1，
∴，
设点P的坐标为（t，﹣t2+3t+1），根据题意得．
（i）当点P在直线KF的左侧抛物线上时，．
过点P1作P1H⊥x轴于H，
∴P1H∥KF，
∴∠HP1F＝∠P1FK，
∴，
∵HF＝OF﹣OH，
∴HF＝2﹣t，
在Rt△P1HF中，∵，
∴P1H＝3HF，
∵，
∴﹣t2+3t+1＝3（2﹣t），
∴t2﹣6t+5＝0，
∴t1＝1，t2＝5（舍去），
当t＝1时，﹣t2+3t+1＝3，
∴P1（1，3）．
（ii）当点P在直线KF的右侧抛物线上时，，
过点P2作P2M⊥x轴于M，
∴P2M∥KF，
∴∠MP2F＝∠P2FK，
∴，
∴P2M＝3MF，
∵，
∴﹣t2+3t+1＝3（t﹣2），
∴（舍去），
当t＝时，，
∴．
∴点P的坐标为（1，3）或（）．
7．（2022•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，点B的坐标是（2，0），顶点C的坐标是（0，4），M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记△AOG，△MOG的面积分别为S1，S2．当S1＝2S2，且直线CN∥AM时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH﹣OG＝7．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2+4；
（2）证明见解答过程；
（3）存在，M（，）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）与x轴交于（2，0），顶点C的坐标是（0，4），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；
（2）证明：过点M作MD⊥y轴，垂足为D，

当△AOG与△MOG都以OG为底时，
∵S1＝2S2，
∴OA＝2MD，
当y＝0时，则﹣x2+4＝0，
解得x＝±2，
∵B（2，0），
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，MD＝1，
设M点的坐标为（m，﹣m2+4），
∵点M在第一象限，
∴m＝1，
∴﹣m2+4＝3，
即M（1，3），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AM的解析式为y＝x+2，
∵CN∥AM，
∴设直线CN的解析式为y＝x+t，
∵C（0，4），
∴t＝4，
即直线CN的解析式为y＝x+4，将其代入y＝﹣x2+4中，
得x+4＝﹣x2+4，
解得x＝0或﹣1，
∵N点在第二象限，
∴N（﹣1，3），
∵M（1，3），
∴点N与点M关于y轴对称；
（3）过点M作ME⊥x轴，垂足为E，令M（m，﹣m2+4），

∴OE＝m，ME＝﹣m2+4，
∵B（2，0），
∴OB＝2，BE＝2﹣m，
在Rt△BEM和Rt△BOH中，
∵tan∠MBE＝tan∠HBO，
∴，
∴OH＝＝＝2（2+m）＝2m+4，
∵OA＝2，
∴AE＝m+2，
在Rt△AOG和Rt△AEM中，
∵tan∠GAO＝tan∠MAE，
∴，
∴OG＝＝＝2（2﹣m）＝4﹣2m，
∵2OH﹣OG＝7，
∴2（2m+4）﹣（4﹣2m）＝7，
解得m＝，
当m＝时，﹣m2+4＝，
∴M（，），
∴存在点M（，），使得2OH﹣OG＝7．
8．（2021•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M（m，n）是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m＞0，n＞0，且n＝3m时，
①求点M的坐标；
②若点B（，y）在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作CD∥MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E（x，）在对称轴上，当m＞2，n＞0，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为（0，），连接GF．若EF+NF＝2MF，求证：射线FE平分∠AFG．

【答案】（1）①M（1，3）；②OD＝MC，理由见解答；（2）证明见解答．
【解答】解（1）①∵点M（m，n）在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴n＝﹣m2+4m（Ⅰ），
∵n＝3m（Ⅱ），
联立（Ⅰ）（Ⅱ）解得，（舍去）或，
∴M（1，3）；

②OD＝MC，理由：
如图1，∵点B（，y）在该抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴y＝﹣（）2+4×＝，
∴B（，），
由①知，M（1，3），
∴直线BM的解析式为y＝﹣x+，
令y＝0，则﹣x+＝0，
∴x＝5，
延长MB交x轴于P，
∴P（5，0），
∴OP＝5，
∵M（1，3），
∴PM＝＝5＝OP，
∴∠POM＝∠PMO，
∵CD∥MO，
∴∠PDC＝∠POM，∠PCD＝∠PMO，
∴∠PDC＝∠PCD，
∴PD＝PC，
∴PO﹣PD＝PM﹣PC，
∴OD＝MC；

（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴E（2，），
令y＝0，则﹣x2+4x＝0，
∴x＝0或x＝4，
∴A（4，0），
∵AN⊥x轴，
∴点N的横坐标为4，
由图知，NF＝EF+EM+MN，MF＝EF+EM，
∵EF+NF＝2MF，
∴EF+EF+EM+MN＝2（EF+EM），
∴MN＝EM，
过点M作HM⊥x轴于H，
∴MH是梯形EKAN的中位线，
∴M的横坐标为3，
∵点M在抛物线上，
∴点M的纵坐标为﹣32+4×3＝3，
∴M（3，3），
∵点E（2，），
∴直线EF的解析式为y＝x+1，
令y＝0，则x+1＝0，
∴x＝﹣，
∴F（﹣，0），
∴OF＝，
令x＝0，则y＝1，
记直线EF与y轴的交点为L，
∴L（0，1），
∴OL＝1，
∵G（0，），
∴OG＝，
∴LG＝OG﹣OL＝，
根据勾股定理得，FG＝＝＝，
过点L作LQ⊥FG于Q，
∴S△FLG＝FG•LQ＝LG•OF，
∴LQ＝＝＝1＝OL，
∵OL⊥FA，LQ⊥FG，
∴FE平分∠AFG，
即射线FE平分∠AFG．


七．勾股定理的应用（共1小题）
9．（2021•包头）某工程队准备从A到B修建一条隧道，测量员在直线AB的同一侧选定C，D两个观测点，如图．测得AC长为km，CD长为（+）km，BD长为km，∠ACD＝60°，∠CDB＝135°（A、B、C、D在同一水平面内）．
（1）求A、D两点之间的距离；
（2）求隧道AB的长度．

【答案】（1）km；
（2）3km．
【解答】解：（1）过A作AE⊥CD于E，如图所示：
则∠AEC＝∠AED＝90°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AC＝（km），AE＝CE＝（km），
∴DE＝CD﹣CE＝（+）﹣＝（km），
∴AE＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝×＝（km）；
（2）由（1）得：△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝（km），∠ADE＝45°，
∵∠CDB＝135°，
∴∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
∴AB＝＝＝3（km），
即隧道AB的长度为3km．

八．四边形综合题（共2小题）
10．（2023•内蒙古）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E．

（1）如图1，连接QA．当QA＝QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB，
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）结论：点Q在线段PC的垂直平分线上．理由见解析部分；
（2）①证明见解析部分；
②PQ＝a，
【解答】（1）解：结论：点Q在线段PC的垂直平分线上．
理由：连接QC．∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∴QA＝QC，
∵QA＝QP，
∴QC＝QP，
∴点Q在线段PC的垂直平分线上；

（2）①证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB，
∵BD⊥AC，∴∠ADO＝∠CDO，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO．
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD．
∴AE＝BE，∠APB＝90°，∠BAP+∠ABP＝90°，∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°
在 Rt△BPE 中，∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EP＝BE，
∵AE＝BE，
∴，
∴AE＝2EP；

②如图，连接QC．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形．∠APB＝90°，
∴BP＝CP，EP＝a，
∴AE＝2a，AP＝3a，
在Rt△APB中，∠APB＝90°，
∵，
∴，
∴，
∵AO＝CO，∠AOE＝∠COQ，OE＝OQ，
△AOE≌△COQ（SAS），
∴AE＝CQ＝2a，∠EAO＝∠QCO，
∴AE∥CQ，
∵∠APB＝90°，
∴∠QCP＝90°，
在Rt△PCQ中，∠QCP＝90°，
由勾股定理得 PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ2＝PC2+CQ2，
∴PQ＝a．

11．（2022•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G．
（1）如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N．
①若AE＝，求AG的长；
②在满足①的条件下，若EN＝NC，求证：AM⊥BC；
（2）如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH．若∠EHG＝∠EFG+∠CEF，且HF＝2GH，求EF的长．


【答案】（1）①AG＝，②见解答过程；
（2）EF＝2．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，DC＝AB＝5，AD＝BC＝6，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∵AE＝，
∴DE＝，
∴AG＝5×，
∴AG＝．
②证明：∵AD∥BC，
∴∠EFN＝∠CMN，
∵∠ENF＝∠CNM，EN＝NC，
∴△ENF≌△CNM（AAS），
∴EF＝CM，
∵AE＝，AE＝DF，
∴DF＝，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝3，
∴CM＝3，
∵BC＝6，
∴BM＝3，
∴BM＝MC，
∴AB＝AC，
∴AM⊥BC．
（2）连接CF，
∵AB＝AC，AB＝DC，
∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵AE＝DF，
∴△AEC≌△DFC（SAS），
∴CE＝CF，
∴∠CFE＝∠CEF，
∵∠EHG＝∠EFG+∠CEF，
∴∠EHG＝∠EFG+∠CFE＝∠CFG，
∴EH∥CF，
∴＝，
∵HF＝2GH，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴∠GAE＝∠CDE，∠AGE＝∠DCE，
∴△AGE∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝2AE，
设AE＝x，则DE＝2x，
∵AD＝6，
∴x+2x＝6，
∴x＝2，
即AE＝2，
∴DF＝2，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝2．

九．圆周角定理（共2小题）
12．（2023•内蒙古）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．

（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）8．
【解答】（1）证明：方法一：如图，连接BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC﹣∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；
方法二：如图，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠PBC﹣∠BAC＝90°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠PBC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠PBC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；

（2）解：由图可得∠ADC＝∠PBC，
∵ACP＝∠ADC，
∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠CPA，
∴△PBC∽△PCA，
∴＝，
∴PC2＝PA•PB，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴PA＝PB+6，
∵CP＝4，
∴42＝（PB+6）•PB，
解得：PB＝2或PB＝﹣8（舍去），
则AP＝2+6＝8．
13．（2021•包头）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．

【答案】（1）见解析；
（2）HF的长为．
【解答】（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，

连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∵∠HAM＝∠DAB，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝2，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在Rt△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，
即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF2，
即（）2+HF2＝（2）2，
解得HF＝，或HF＝﹣（舍去），
故HF的长为．
一十．圆的综合题（共2小题）
14．（2022•包头）如图，AB为⊙O的切线，C为切点，D是⊙O上一点，过点D作DF⊥AB，垂足为F，DF交⊙O于点E，连接EO并延长交⊙O于点G，连接CG，OC，OD，已知∠DOE＝2∠CGE．
（1）若⊙O的半径为5，求CG的长；
（2）试探究DE与EF之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）

【答案】（1）5；
（2）DE＝2EF，证明见解析．
【解答】解：（1）连接CE，

∵，
∴∠COE＝2∠CGE，
∵∠DOE＝2∠CGE，
∴∠COE＝∠DOE，
∵AB为⊙O的切线，C为切点，
∴OC⊥AB，
∴∠OCB＝90°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠OCB＝∠DFB＝90°，
∴OC∥DF，
∴∠COE＝∠OED，
∴∠DOE＝∠OED，
∴OD＝DE，
∵OD＝OE，
∴△ODE是等边三角形，
∴∠DOE＝60°，
∴∠CGE＝30°，
∵⊙O的半径为5，
∴EG＝10，
∵EG是⊙O的直径，
∴∠GCE＝90°，
在Rt△GCE中，GC＝EG•cos∠CGE＝10×cos30°＝10×＝5；
（2）DE＝2EF．
方法一：
证明：∵∠COE＝∠DOE＝60°，
∴＝，
∴CE＝DE，
∵OC＝OE，
∴△OCE为等边三角形，
∴∠OCE＝60°，
∵∠OCB＝90°，
∴∠ECF＝30°，
∴EF＝CE，
∴EF＝DE，
即DE＝2EF；
方法二：
证明：连接CE，

过点O作OH⊥DF于H，
∴∠OHF＝90°，
∵∠OCB＝∠DFC＝90°，
∴四边形OCFH是矩形，
∴CF＝OH，
∵△ODE是等边三角形，
∴DE＝OE，
∵OH⊥DF，
∴DH＝EH，
∵∠COE＝∠DOE，
∴＝，
∴CE＝DE，
∴CE＝OE，
∵CF＝OH，
∴Rt△CFE≌Rt△OHE（HL），
∴EF＝EH，
∴DH＝EH＝EF，
∴ED＝2EF．
15．（2021•包头）如图，已知△ABC是等边三角形，P是△ABC内部的一点，连接BP，CP．
（1）如图1，以BC为直径的半圆O交AB于点Q，交AC于点R，当点P在上时，连接AP，在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP，CD＝AP，连接DP，求∠CPD的度数；
（2）如图2，E是BC边上一点，且EC＝3BE，当BP＝CP时，连接EP并延长，交AC于点F，若AB＝4BP，求证：4EF＝3AB；
（3）如图3，M是AC边上一点，当AM＝2MC时，连接MP．若∠CMP＝150°，AB＝6a，MP＝a，△ABC的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1﹣S2的值（用含a的代数式表示）．

【答案】（1）∠CPD＝30°；
（2）证明见解答；
（3）a2．
【解答】解：（1）如图1，连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
在△BAP和△BCD中，
，
∴△BAP≌△BCD（SAS），
∴BP＝BD，∠ABP＝∠CBD，
∵∠ABP+∠PBC＝60°，
∴∠CBD+∠PBC＝60°，
即∠PBD＝60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴∠BPD＝60°，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC＝90°，
∴∠CPD＝∠BPC﹣∠BPD＝90°﹣60°＝30°；
（2）如图2，连接AP交BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BP＝CP，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝AB，
∴AD＝AB•sin∠ABC＝AB•sin60°＝AB，
∵AB＝4BP，
∴BP＝AB，
∴PD＝＝＝AB，
∴PD＝AD，即点P是AD的中点，
∵EC＝3BE，
∴BE＝BC，BC＝4BE，
∵BD＝BC，
∴BE＝BD，即点E是BD的中点，
∴EP是△ABD的中位线，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴＝＝＝，
∴4EF＝3AB；
（3）如图3，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PE⊥BC于点E，交AC于点F，作PH⊥AC于点H，
由（2）得：AD＝AB＝3a，∠ACB＝60°，BC＝AC＝AB＝6a，
∵∠CMP＝150°，
∴∠PMF＝180°﹣∠CMP＝180°﹣150°＝30°，
∵∠CHP＝90°，
∴PH＝PM•sin∠PMF＝a•sin30°＝a，
MH＝PM•cos∠PMF＝a•cos30°＝a，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CFE＝∠PMF，
∴PF＝PM＝a，
∴FH＝PF•cos∠PFH＝a•cos30°＝a，
∵AM＝2MC，
∴CM＝AC＝×6a＝2a，
∴CF＝CM+MH+HF＝5a，
∴EF＝CF•sin∠ACB＝5a•sin60°＝a，
∴PE＝EF﹣PF＝a﹣a＝a，
∴S1﹣S2＝S△ABC﹣S△BCP＝BC•AD﹣BC•PE＝BC•（AD﹣PE）＝×6a×（3a﹣a）＝a2．



一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
16．（2022•包头）如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高DH＝CG＝1.5米．某数学兴趣小组为测量建筑物AB的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角∠ADE为α，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角∠ACE为45°，已知tanα＝，AB⊥BH，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物AB的高度．

【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：
DH＝CG＝BE＝1.5米，CD＝GH＝5米，DE＝BH，∠AED＝90°，
设CE＝x米，
∴BH＝DE＝DC+CE＝（x+5）米，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE•tan45°＝x（米），
在Rt△ADE中，∠ADE＝α，
∴tanα＝＝＝，
∴x＝17.5，
经检验：x＝17.5是原方程的根，
∴AB＝AE+BE＝17.5+1.5＝19（米），
∴建筑物AB的高度为19米．
一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
17．（2023•内蒙古）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向3km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．
（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；
（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．

【答案】（1）行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；
（2）检查点B和C之间的距离（3+）km．
【解答】解：（1）由题意得：∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，
∴∠CAB＝180°﹣∠NAC﹣∠BAS＝75°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝60°，
∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，

在Rt△ABD中，AB＝3km，∠ABC＝45°，
∴AD＝AB•sin45°＝3×＝3（km），
BD＝AB•cos45°＝3×＝3（km），
在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，
CD＝＝＝（km），
∴BC＝BD+CD＝（3+）km，
∴检查点B和C之间的距离（3+）km．
一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）
18．（2022•包头）2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分．将全部测试成绩x（单位：分）进行整理后分为五组（50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100），并绘制成频数分布直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 　40　名学生；
（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．

【答案】（1）40；
（2）480名；
（3）见解答．
【解答】解：（1）4+6+10+12+8＝40（名），
故答案为：40；
（2）960×＝480（名），
故优秀的学生人数约为480名；
（3）加强安全教育，普及安全知识：通过多种形式，提高安全意识，结合校内，校外具体活动，提高避险能力．
一十四．扇形统计图（共1小题）
19．（2021•包头）为了庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了学党史知识竞赛．参加知识竞赛的学生分为甲乙两组，每组学生均为20名，赛后根据竞赛成绩得到尚不完整的统计图表（如图），已知竞赛成绩满分为100分，统计表中a，b满足b＝2a．请根据所给信息，解答下列问题：
甲组20名学生竞赛成绩统计表
成绩（分）
70
80
90
100
人数
3
a
b
5
（1）求统计表中a，b的值；
（2）小明按以下方法计算甲组20名学生竞赛成绩的平均分是：（70+80+90+100）÷4＝85（分）．根据所学统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；
（3）如果依据平均成绩确定竞赛结果，那么竞赛成绩较好的是哪个组？请说明理由．

【答案】（1）a＝4，b＝8；
（2）小明的计算不正确，正确的计算及结果为＝87.5（分）；
（3）竞赛成绩较好的是甲组，理由见解析．
【解答】解：（1）∵每组学生均为20名，
∴a+b＝20﹣3﹣5＝12（名），
∵b＝2a，
∴a＝4，b＝8；

（2）小明的计算不正确，
正确的计算为：＝87.5（分）；

（3）竞赛成绩较好的是甲组，
理由：乙组20名学生竞赛成绩的平均分：100×+90×+80×+70×＝10+22.5+20+28＝80.5（分），
80.5＜87.5，
∴竞赛成绩较好的是甲组．
一十五．折线统计图（共1小题）
20．（2023•内蒙古）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．如图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．

请根据所给信息，解答下列问题：
（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．
【答案】（1）该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆；
（2）特点：月销量递增趋势；12月销量最大；有三个月销量超过20万辆，中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆；建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质销后服务．
【解答】解：（1）＝＝20.05（万辆），
答：该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆；
（2）2022年下半年月销量的特点：月销量递增趋势；12月销量最大；有三个月销量超过20万辆，中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆．
建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质销后服务．