2024届人教版高考数学一轮复习第9章9-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件

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第一环节　必备知识落实
第二环节　关键能力形成
1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.
名师点拨分类加法计数原理和分步乘法计数原理的异同
问题思考用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解题有哪些策略?
(1)分清要完成的事情是什么;(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成,注意“类”间互相独立,“步”间互相联系;(3)注意有无特殊条件的限制;(4)检验是否有重复或遗漏.
1.分类加法计数原理的推广如果完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理的推广如果完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(　　)(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能完成这件事.(　　)(3)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的,其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事情,只有每个步骤都完成后,这件事情才算完成.(　　)(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.(　　)
2.从A地到B地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具.如果一天内从A地到B地汽车发3次,火车发4次,轮船发2次,那么一天内从A地到B地的不同走法种数为(　　)A.3B.9C.24D.18
分三类:第一类乘汽车,从3次中选1次,有3种走法;第二类乘火车,从4次中选1次,有4种走法;第三类乘轮船,从2次中选1次,有2种走法,故一天内从A地到B地的不同走法种数为3+4+2=9.
3.将2封信随意投入3个邮箱,不同的投法有(　　)A.3种B.6种C.8种D.9种
4.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(　　)A.24B.18C.12D.6
根据题意,2封信随意投入3个邮箱,每封信都有3种投法,故共有3×3=9(种)不同的投法.
分两类:第1类,个位上为奇数,有3种选择,十位上为偶数,有2种选择,百位上为奇数,有2种选择,共有3×2×2=12(个)奇数;第2类,个位上为奇数,有3种选择,十位上为奇数,有2种选择,百位上为偶数,有1种选择,共有3×2×1=6(个)奇数.根据分类加法计数原理知,共有12+6=18(个)奇数.
5.如图,现用4种不同颜色对A,B,C,D四块区域进行涂色,要求有公共边界的两块区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有(　　)A.24种B.30种C.36种D.48种
首先给C块区域涂色,有4种方法;然后给A块区域涂色,有3种方法;再给B块区域涂色,有2种方法;最后给D块区域涂色,有2种方法.由分步乘法计数原理知,共有4×3×2×2=48(种)不同的涂色方法.
例1　(1)满足a,b∈{-1,0,1,2},且使关于x的方程ax2+2x+b=0有实根的有序数对(a,b)的个数为(　　)A.14B.13C.12D.9
(2)甲、乙、丙三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被传递给甲,则不同的传递方法共有　　　　　种.
解题心得利用分类加法计数原理计数时的解题流程
对点训练1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两名志愿者前面,则不同的安排方案共有(　　)A.20种B.30种C.40种D.60种
将甲安排在周一,则在周二至周五中任选两天安排乙、丙,共有4×3=12(种)安排方案.将甲安排在周二,则在周三至周五中任选两天安排乙、丙,共有3×2=6(种)安排方案.将甲安排在周三,则乙、丙只能安排在周四和周五两天,共有2种安排方案.根据分类加法计数原理,共有12+6+2=20(种)不同的安排方案.
(2)小王同学在书店发现三本想买的书,若他决定至少买一本,则购买方式有　　　　　种. 
只买一本,购买方式有3种;只买两本,购买方式有3种;三本全买,购买方式有1种.故购买方式共有3+3+1=7(种).
例2　(1)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数,则可以组成不同对数值的个数为(　　)A.56B.54C.53D.52
从8个数中任取2个不同的数共组成8×7=56(个)对数值,但在这56个对数值中,lg24=lg39,lg42=lg93,lg23=lg49,lg32=lg94,故满足条件的对数值共有56-4=52(个).
(2)从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集个数为(　　)A.32B.34C.36D.38
把集合中的数分成5组:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6}.因为选出的5个数中任意两个数的和都不等于11,所以从每组中任选一个数即可,故共可组成2×2×2×2×2=32(个)这样的子集.
解题心得1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.2.分步必须满足的两个条件:一是各步骤相互独立,互不干扰;二是步与步之间确保连续,逐步完成.
对点训练2(1)有5盆菊花,其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆,现把它们摆放成一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则这5盆花不同的摆放种数是(　　)A.12B.24C.36D.48
第一步,摆放2盆黄菊花和1盆红菊花,因为2盆黄菊花必须相邻,所以将2盆黄菊花看成一个整体,与1盆红菊花摆放成一排,有2×2=4(种)摆放方法.第二步,摆放2盆白菊花,因为2盆白菊花不能相邻,所以将2盆白菊花插空摆入,有3×2=6(种)摆放方法.根据分步乘法计数原理,这5盆花不同的摆放种数为4×6=24.
(2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100 m决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有　　　　　种. 
第一步,安排甲、乙、丙三人,因为甲、乙、丙三人必须在奇数号跑道上,奇数号跑道有4条,所以有4×3×2=24(种)安排方式.第二步,安排另外五人,有5×4×3×2×1=120(种)安排方式.根据分步乘法计数原理,不同的安排方式共有24×120=2 880(种).
例3　(1)某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生平均分配给甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一个公司;另3名有电脑特长的学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有(　　)A.36种B.38种C.108种D.114种
由题意可得,有2类分配方案.第1类方案:甲公司要2名电脑特长学生,有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生,有2种情况;再从剩下的3人中选一人,有3种情况,故共有3×2×3=18(种)分配方案.第2类方案:甲公司要1名电脑特长学生,有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生,有2种情况;再从剩下的3人中选2人,有3种情况,故共有3×2×3=18(种)分配方案.由分类加法计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36(种).故选A.
(2)如图,用5种不同颜色的染料给A,B,C,D四个区域进行涂色,要求相邻的两个区域不能使用同一种颜色,则不同的涂色方法的种数是(　　)A.120B.140C.240D.260
依题意,第一步,涂A区域,有5种涂色方法.第二步,涂B区域,有4种涂色方法.第三步,涂C,D区域,若C区域与A区域所涂颜色相同,则C区域有1种涂色方法,D区域有4种涂色方法;若C区域与A区域所涂颜色不同,则C区域有3种涂色方法,D区域有3种涂色方法.故不同的涂色方法有5×4×(1×4+3×3)=260(种).故选D.
解题心得综合应用两个计数原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又用到分类加法计数原理.
对点训练3(1)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(　　)A.144个B.120个C.96个D.72个