新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

这是一份新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，共41页。PPT课件主要包含了课前·基础巩固，课堂·题型讲解，高考·命题预测，m＋n，m×n，答案D，答案1610，答案B，答案10，答案243等内容，欢迎下载使用。

【教材回扣】1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别
【题组练透】题组一　判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )4．在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )
题组二　教材改编1．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法(　　)A.5 B．6C．11 D．30
解析：由乘法分步计数原理得5×6＝30.故选D.
2．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报法种数是(　　)A．24 B．48C．64 D．81
解析：每人都有三种选择，故有：3×3×3×3＝34＝81.故选D.
3．用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成____________个不同的分数，可构成____________个不同的真分数．
解析：用1，5，9，13中任意一个数作分子，用4，8，12，16中任意一个数作分母，共有4×4＝16个不同的分数．当分子为1时，分母有4种选择，当分子为5时，分母有3种选择，当分子为9时，分母有2种选择，当分子为13时，分母有1种选择，根据分类加法计数原理得真分数有4＋3＋2＋1＝10个．
题组三　易错自纠1．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　)A．24 B．18C．12 D．6
解析：从0，2中选一个数字0，则0能排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有3×2＝6种；从0，2中选一个数字2，当2排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有3×2＝6种；当2排在百位，从1，3，5中选两个数字排在个位与十位，共有3×2＝6种．根据分类加法计数原理得：6＋6＋6＝18种．故选B.
2．在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者，三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有________种．(用数字作答)
3．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有________种．
解析：∵每个邮件选择发的方式有3种不同情况，∴要发5个电子邮件，发送的方法种数有3×3×3×3×3＝35＝243.
题型一　分类加法计数原理的应用[例1]　(1)从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　)A．3 B．4C．6 D．8
解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8，以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8个．故选D.
(2)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为________个．
解析：若a2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．
类题通法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置． (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准． (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复． (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
巩固训练1：(1)从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有(　　)A．30 B．20 C．10 D．6
解析：取出的是偶数，有3种，取出的是奇数，有3种，所以共有3＋3＝6种，故选D.
(2)甲、乙、丙三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有________种．
解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)；同理，甲第一次踢给丙时，满足条件的也有3种传递方式，由分类加法计数原理可知共有3＋3＝6(种)传递方式．
题型二　分步乘法计数原理的应用[例2]　(1)[2021·山东淄博检测]某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包中的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同．员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖．则他获得奖次的不同情形种数为(　　)A．9 B．12C．18 D．24
解析：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，则甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有23－2＝6种情况，则他获得奖次的不同情形种数为3×6＝18种，故选C.
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．
解析：每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．
类题通法 (1)分步乘法计数原理的实质． 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，缺少其中的任何一步都不能完成该件事，只有当每个步骤都完成后，才算完成这件事． (2)使用分步乘法计数原理的原则． ①明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤．②将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键．从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．
巩固训练2：(1)一个小朋友从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选取3个不同的数字组成三位数，则他写出的三位数有(　　)个(　　)A．1 000 B．900C．720 D．648
解析：因为第一个数字不能是0，所以先从1－9中选一个数字当百位，再从乘下的9个数字中选一个当十位，再从剩下的数字中选一个当个位，故有9×9×8＝648(个)．故选D.
(2)[2021·山东历城二中模拟]某校2020年数理化三科奥赛进入冬令营的选手共15人，其中数学科有7人，物理科有5人，化学科有3人，从三个学科中各选一个作护旗手，则选出这3个人的方法有________种．
解析：由分步计数原理可得，选出这3人的方法有7×5×3＝105(种)．
题型三　两个计数原理的综合应用[例3]　(1)用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成(　　)个无重复数字的四位偶数．A．120 B．420C．360 D．480
解析：(1)要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不重复，因此应先分类，再分步．①第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有3×4×5×4＝240(种)取法．②第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字．根据分步乘法计数原理，有3×3×5×4＝180(种)取法．③根据分类加法计数原理，共可以组成240＋180＝420(个)无重复数字的四位偶数．故选B.
(2)若高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动，去哪个工厂可自由选择，且甲工厂必须有班级去，则不同的分配方案有(　　)A．16种 B．18种C．37种 D．48种
(3)现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值日，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值日表共有________种不同的排法．
解析：完成一件事是安排值日表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排人的相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1 280种不同的排法．
类题通法利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清“完成一件事”是什么事． (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类． (3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．
巩固训练3：(1)在三位正整数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”，“546”为“驼峰数”．由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有________个．
解析：当十位上的数为1时，有3×2＝6个；当十位上的数为2时，有2×1＝2个．共有6＋2＝8个．
(2)如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答)．
解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
[预测1]　核心素养——逻辑推理、数学运算若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________．
解析：第1步，1＝1＋0，1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9，9＝1＋8，9＝2＋7，9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方法；第3步，4＝0＋4，4＝1＋3，4＝2＋2，4＝3＋1，4＝4＋0，共5种组合方法；第4步，2＝0＋2，2＝1＋1，2＝2＋0，共3种组合方式．根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.
[预测2]　新题型——一题两空回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99，3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)5位回文数有________个；(2)2n(n∈N*)位回文数有________个．
解析：(1)5位回文数相当于填5个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，第2位和第4位一样，有10种填法，中间一位有10种填法，共有9×10×10＝900(种)填法，即5位回文数有900个．(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n－1种填法．
答案：900　9×10n－1
状 元 笔 记　一、涂色问题[典例1]　现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是(　　)A．120 B．140 C．240 D．260
【解析】　按区域分三步：第一步，涂A区域有5种颜色可选；第二步，涂B区域有4种颜色可选；第三步，涂C、D区域，若C区与A区同色，则D区有4种涂法，若C区与A区不同色，则C区有3种涂法，D区有3种涂法，由分步乘法计数原理可知，共有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)不同的涂色方法，故选D.
[典例2]　如图，一个地区分为5个行政区域 , 现给地图着色，若要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(用数字作答)．
类题通法①按区域的不同以区域为主分步计数；②以颜色为主分类讨论计数．
二、几何问题[典例3]　如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)A．48 B．18C．24 D．36
【解析】　第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．故选D.
[典例4]　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．①用这9个点可以确定多少条直线？②用这9个点可以确定多少个三角形？
【答案】　①31　②80
类题通法几何图形问题，分析几何图的结构特点，分清事件由哪些几何元素构成满足什么样的几何特征才是完成一个事件．