河北省保定市竞秀区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷+

这是一份河北省保定市竞秀区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷+，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河北省保定市竞秀区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共16个小题：1-10题每题3分，11-16题每题2分.共42分.在每小题给出的四个黄项中，只有一个选项符合题意）
1．（3分）近些年来我国基建发展迅质，下列分别是“北京市”、“上海市”、“石家庄市”、“天津市”的地铁标志．其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（　　）
​

A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤2 D．﹣1＜x＜≤2
3．（3分）小明为了计算▱ABCD的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示▱ABCD的高的是（　　）

A．BF B．GH C．DE D．BD
4．（3分）若＝M（a≠b），则M可以是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　）

A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD
6．（3分）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
7．（3分）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．下列结论：
①OE＝OF；
②∠ABC＝∠ADC；
③△AOE≌△COD；
④S▱ABFE＝S△ABC．
其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．（3分）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式a＞2a一定不成立，因为不等式两边同时除以a，会出现1＞2的错误结论；
②如果a＞b，c＞d，那么一定会得到a﹣c＞b﹣d；
下列判断正确的是（　　）
A．①√，②× B．①×，②× C．①√，②√ D．①×，②√
9．（3分）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（　　）
化简：
解：原式＝
＝…①通分
＝…②合并同类项
＝…③提公因式
＝3…④约分
A．① B．② C．③ D．④
10．（3分）如图给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要添加的条件可以是（　　）

A．BC＝3 B．CD＝2 C．BD＝5 D．BD＝3
11．（2分）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（　　）
​

A．110° B．120° C．140° D．150°
12．（2分）如图，直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（1，2），则使不等式k1x+a＜k2x+b成立的x取值范围是（　　）

A．x＞1 B．x＞2 C．x＜2 D．x＜1
13．（2分）在正方形网格中，M，N，P，Q均是格点，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB的两边距离相等的格点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
14．（2分）在4×4的正方形网格中，点A，B，C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边AC上的高．现有的工具只有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（　　）

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
15．（2分）嘉嘉和琪琪相约去看电影，他们的家分别距离电影院1800米和2400米，两人分别从家中同时出发，已知嘉嘉和琪琪的速度比是2：3，结果嘉嘉比琪琪晚4分钟到达电影院．设嘉嘉的速度为v米/每分钟，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2分）老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：
“如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4”，
甲说：CE＝12；
乙说：CB＝20；
丙说：△AOB为等边三角形；
丁说：过点O作OF⊥CB，可以求出BF＝10．
若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的．则“卧底”是（　　）​

A．甲 B．乙
C．丙 D．四个人都不是卧底
二、填空题（本大题共3个小题；第17、18小题各3分，第19小题每空2分，共10分.把答案写在题中横线上）
17．（3分）因式分解：4a2b﹣b＝　 　．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线ABC向右平移得到折线DEF，则折线ABC在平移过程中扫过的面积是 　 　．

19．（4分）如图①，有若干个边长为1的正方形和顶角为α（0°＜α＜90°）且腰长为1的等腰三角形，将它们按照图②的方式拼接在一起，围成一圈且中间能形成一个正n边形．若n＝5，则α＝　 　；设所围成的正多边形的周长为c，请写出c与α之间的关系式为 　 　．
​
三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
20．（8分）已知实数x与3的差的一半小于x的2倍与1的和；
（1）列出不等式 　 　；
（2）解该不等式，求x的非正整数值．
21．（8分）已知分式A：（﹣x+2）÷，解答下列问题：
（1）化简分式A；
（2）分式A的值能等于﹣2吗？请说明理由．
22．（8分）发现：差为2的两个正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．
验证：（1）9×7+1的结果是哪个正整数的平方？
（2）差为2的两个正整数中，设较小的一个为n，写出这两个正整数的积与1的和，并说明和是一个正整数的平方．
延伸：（3）差为4的两个正偶数，它们的积与常数a的和是一个正整数的平方，求a．
23．（8分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
​（1）求证：OD＝OB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，3）．
​（1）平移△ABC，若点A的对应点A1的坐标为（3，﹣1），画出平移后的△A1B1C1．
（2）将△ABC以点（0，2）为旋转中心旋转180°画出旋转后对应的△A2B2C2．
（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心是 　 　．
（4）若将△A2B2C2继续平移5个单位得到△A3B3C3，点P，Q分别是A2C2，B3C3的中点，PQ的最大值是 　 　．

25．（12分）为增强学生的环保意识，维护校园环境．某学校购进绿色和蓝色两种分类垃圾桶，购买绿色垃圾桶花费了1800元，购买蓝色垃圾桶花费了1500元，且购买绿色垃圾桶数量是购买蓝色垃圾桶数量的2倍，已知购买一个蓝色垃圾桶比购买一个绿色垃圾桶多花12元．
（1）求购买一个绿色垃圾桶、一个蓝色垃圾桶各需多少元？
（2）学校打算按（1）中单价再次购买绿色和蓝色两种垃圾桶共50个，且购买蓝色垃圾桶的数量不低于绿色垃圾桶的一半，则学校应如何购买两种垃圾桶总费用最低？最低费用是多少？
26．（14分）八年级同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展了如下数学探究活动：将两个全等的等腰三角形△ABC（AB＝AC）和△ADE（AD＝AE）按图1所示方式摆放，其中点C和点D重合．

（1）当∠BAC＝∠DAE＝60°时．
①△ABC固定不动，将△ADE绕点A逆时针旋转120°，连接BE．过点A作AF⊥BE于点F，如图2所示，则∠EBC＝　 　°，AF与BE的数量关系是 　 　．
②△ABC固定不动，将△ADE绕点A顺时针旋转30°，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，如图3所示，求此时∠EBC的度数及AF与BE的数量关系．​
（2）当时∠BAC＝∠DAE＝90°时，△ABC固定不动，如图4所示方式摆放．将△ADE绕点A旋转，连接BE．过点A作AF⊥BE于点F．在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，直接写出AF与BE的数量关系 　 　．​

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题：1-10题每题3分，11-16题每题2分.共42分.在每小题给出的四个黄项中，只有一个选项符合题意）
1．（3分）近些年来我国基建发展迅质，下列分别是“北京市”、“上海市”、“石家庄市”、“天津市”的地铁标志．其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【解答】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图是中心对称图形，故符合题意；
C．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
2．（3分）关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（　　）
​

A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x≤2 D．﹣1＜x＜≤2
【分析】根据数轴得到两个不等式解集的公共部分即可．
【解答】解：由数轴知该不等式组的解集为x＜﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，根据数轴得到两个解集的公共部分是解答此题的关键．
3．（3分）小明为了计算▱ABCD的面积，画出一些垂线段，如图所示，这些线段不能表示▱ABCD的高的是（　　）

A．BF B．GH C．DE D．BD
【分析】根据平行四边形的高的定义进行判断即可．
【解答】解：∵从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高，
由图可知，BD并不垂直于B点的对边CD，
∴BD不能表示▱ABCD的高，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的高的定义，熟练掌握从平行四边形一条边上任意一点向对边引一条垂线，这点到垂足之间的线段叫做平行四边形的高是解答本题的关键．
4．（3分）若＝M（a≠b），则M可以是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质进行计算，即可解答．
【解答】解：A、≠，故A不符合题意；
B、≠，故B不符合题意；
C、＝，故C符合题意；
D、≠，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
5．（3分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　）

A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；
B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；
D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
6．（3分）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．
【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；
②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
7．（3分）如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．下列结论：
①OE＝OF；
②∠ABC＝∠ADC；
③△AOE≌△COD；
④S▱ABFE＝S△ABC．
其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据平行四边形的性质得到AO＝CO，AD∥BC，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，进而利用全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，故②正确，
∴∠DAO＝∠BCA，∠AEO＝∠CFO，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF；故①正确，
∵△AEO≌△CFO，
无法得出△AOE≌△COD，故③错误，
∵△AEO≌△CFO，
∴S四边形ABFE＝S△ABC；
故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8．（3分）在复习不等式的性质时，张老师给出以下两个说法：
①不等式a＞2a一定不成立，因为不等式两边同时除以a，会出现1＞2的错误结论；
②如果a＞b，c＞d，那么一定会得到a﹣c＞b﹣d；
下列判断正确的是（　　）
A．①√，②× B．①×，②× C．①√，②√ D．①×，②√
【分析】根据不等式的性质分析即可求解．
【解答】解：①不等式a＞2a，当a＜0时成立，故①错误，
②例如3＞2，5＞1，则3﹣5＜2﹣1，故②错误，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
9．（3分）嘉琪在分式化简运算中每一步运算都在后面列出了依据，所列依据错误的是（　　）
化简：
解：原式＝
＝…①通分
＝…②合并同类项
＝…③提公因式
＝3…④约分
A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据分式运算的相应的法则进行分析即可．
【解答】解：
＝
＝…①分式的基本性质
＝…②合并同类项
＝…③提公因式
＝3…④约分
故选：A．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
10．（3分）如图给出了四边形ABCD的部分数据，若使得四边形ABCD为平行四边形，还需要添加的条件可以是（　　）

A．BC＝3 B．CD＝2 C．BD＝5 D．BD＝3
【分析】由∠ADB＝∠CBD＝25°，得DA∥BC，由DA＝BC＝3，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABCD是平行四边形，可判断A符合题意；由DA∥BC可知四边形ABCD是平行四边形的条件是DA＝BC，而DA＝BC的条件是△ABD≌△CDB，而由AB＝CD＝2，BD＝DB，∠ADB＝∠CBD不能证明△ABD与△CDB全等，可判断B不符合题意；由BD＝DB＝5，∠ADB＝∠CBD或BD＝DB＝3，∠ADB＝∠CBD都不能证明△ABD与△CDB全等，可判断C不符合题意，D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠ADB＝∠CBD＝25°，
∴DA∥BC，
∵BC＝3，DA＝3，
∴DA＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴A符合题意；
∵CD＝2，AB＝2，
∴AB＝CD，
但是，由AB＝CD，BD＝DB，∠ADB＝∠CBD不能证明△ABD与△CDB全等，
∴AD与CB不一定相等，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
故B不符合题意；
由BD＝DB＝5，∠ADB＝∠CBD或BD＝DB＝3，∠ADB＝∠CBD都不能证明△ABD与△CDB全等，
∴AD与CB不一定相等，
∴四边形ABCD不一定是平行四边形，
故C不符合题意，D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，正确理解和运用平行四边形的判定定理是解题的关键．
11．（2分）如图，平移图形①，与图形②可以拼成一个等边三角形，则图中α的度数是（　　）
​

A．110° B．120° C．140° D．150°
【分析】根据等边三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵三角形是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠α＝540°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣70°）﹣160°＝150°．
故选：D．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据三角形的邻角互补解答．
12．（2分）如图，直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（1，2），则使不等式k1x+a＜k2x+b成立的x取值范围是（　　）

A．x＞1 B．x＞2 C．x＜2 D．x＜1
【分析】根据函数的图象和交点的横坐标得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（1，2），
∴使不等式k1x+a＜k2x+b成立的x取值范围是x＜1，
故选：D．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数与一元一次不等式等知识点，能根据图象得出正确的信息是解此题的关键，用了数形结合思想．
13．（2分）在正方形网格中，M，N，P，Q均是格点，∠AOB的位置如图所示，则到∠AOB的两边距离相等的格点是（　　）

A．点M B．点N C．点P D．点Q
【分析】根据角平分线的性质求解即可．
【解答】解：由图可知，
OA＝OB，AM＝BM，OM＝OM，
∴△OAM≌△OBM（SSS），
∴∠AOM＝∠BOM，
∴点M在∠AOB的角平分线上，点P、Q、N不在∠AOB的角平分线上
∴点M到∠AOB的两边的距离相等，
故选A．

【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
14．（2分）在4×4的正方形网格中，点A，B，C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边AC上的高．现有的工具只有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（　　）

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【分析】根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”“网格线的特征”进行判断．
【解答】解：方案Ⅰ是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ是根据网格线的特征作图，故方案Ⅱ可行；
故选：C．
【点评】本题考查了基本作图，掌握网格线的特征和过直线外一点作已知直线的垂线的基本做法是解题的关键．
15．（2分）嘉嘉和琪琪相约去看电影，他们的家分别距离电影院1800米和2400米，两人分别从家中同时出发，已知嘉嘉和琪琪的速度比是2：3，结果嘉嘉比琪琪晚4分钟到达电影院．设嘉嘉的速度为v米/每分钟，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据嘉嘉的速度v米每分钟，嘉嘉和琪琪的速度比是2：3，可以得到琪琪的速度，然后根据嘉嘉比琪琪晚4分钟到达电影院，可以得到相应的分式方程．
【解答】解：∵嘉嘉的速度为v米/每分钟，嘉嘉和琪琪的速度比是2：3，
∴琪琪的速度为：米每分钟，
由题意可得：+4＝，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
16．（2分）老师设计了“谁是卧底”游戏，用合作的方式描述下面的题目：
“如图，在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E；点O在ED上，OA＝OB，OD＝2，OE＝4”，
甲说：CE＝12；
乙说：CB＝20；
丙说：△AOB为等边三角形；
丁说：过点O作OF⊥CB，可以求出BF＝10．
若四个描述中，只有“卧底”的描述是错误的．则“卧底”是（　　）​

A．甲 B．乙
C．丙 D．四个人都不是卧底
【分析】连接OC，作OF⊥BC于点F，根据含30°的直角三角形的性质求出CE，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一解答即可．
【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F，

由题意得：DE＝OD+OE＝6，
在Rt△CDE中，∠DCE＝30°，
∴CE＝2DE＝12，∠OEF＝60°，所以甲对；
∵AD＝DC，ED⊥AC，
∴OA＝OC，
∵OA＝OB，
∴OB＝OC，
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
在Rt△OFE中，∠OEF＝60°，
∴∠EOF＝30°，
∴EF＝OE＝2，
∴CF＝CE﹣EF＝10，
∴CB＝20，所以乙对；
∴BE＝20﹣12＝8，
∴BF＝BC＝10，所以丁对；
在Rt△CDE中，CE＝12，DE＝6，由勾股定理可得CD＝6，
∴AC＝2CD＝12，
过B作BM⊥AC于M点，
∵∠C＝30°，BC＝20，
∴BM＝BC＝10，CM＝BM＝10，
∴AM＝AC﹣CM＝2，
在Rt△ABM中，
由勾股定理可得：AB＝＝4，
在Rt△COD中，CD＝6，OD＝2，
由勾股定理可得：CO＝＝4，
∴CO＝OA＝OB＝4，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB为等边三角形，丙对，
故四人都不是卧底，
所以D选项说法正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键
二、填空题（本大题共3个小题；第17、18小题各3分，第19小题每空2分，共10分.把答案写在题中横线上）
17．（3分）因式分解：4a2b﹣b＝　b（2a+1）（2a﹣1）　．
【分析】先提公因式，再用公式法因式分解即可．
【解答】解：4a2b﹣b
＝b（4a2﹣1）
＝b（2a+1）（2a﹣1），
故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将折线ABC向右平移得到折线DEF，则折线ABC在平移过程中扫过的面积是 　12　．

【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积＝S▱ABED+S▱BCFE，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：∵折线ABC向右平移得到折线DEF，
∴四边形ABED和四边形BCFE都为平行四边形，
∴折线ABC在平移过程中扫过的面积＝S▱ABED+S▱BCFE＝AO•BE+CO•BE＝BE（AO+CO）＝BE•AC＝[3﹣（﹣1）]×[2﹣（﹣1）]＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了坐标与图形﹣平移，掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．
19．（4分）如图①，有若干个边长为1的正方形和顶角为α（0°＜α＜90°）且腰长为1的等腰三角形，将它们按照图②的方式拼接在一起，围成一圈且中间能形成一个正n边形．若n＝5，则α＝　72°　；设所围成的正多边形的周长为c，请写出c与α之间的关系式为 　　．
​
【分析】先根据已知条件求出正多边形的边数和一个内角的度数，再由两种求多边形内角和的方法，列出个等式，变形即可．
【解答】解：∵当n＝5时，正多边形的每个内角都为，两个正方形的两个直角内角、多边形的1个内角与α形成一个周角，
∴当n＝5时，α＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°，
∵正多边形的周长为c，边长为1，
∴正多边形是正c边形，
∴正c边形的每个内角为：360°﹣90°﹣90°﹣α＝180°﹣α，
∴c（180﹣α）＝180°（c﹣2），
，
故答案为：72°，．
【点评】本题主要考查了正多边形的内角和内角和，解题关键是能够根据已知条件判断正多边形的边数，会用两种方法求多边形内角和．
三、解答题（本大题共7个小题，共68分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
20．（8分）已知实数x与3的差的一半小于x的2倍与1的和；
（1）列出不等式 　（x﹣3）＜2x+1　；
（2）解该不等式，求x的非正整数值．
【分析】（1）根据实数x与3的差的一半即为（x﹣3），x的2倍与1的和即为2x+1，用不等号连接即可；
（2）根据解一元一次不等式的方法即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，（x﹣3）＜2x+1，
故答案为：（x﹣3）＜2x+1；
（2）（x﹣3）＜2x+1，
x﹣3＜4x+2，
x﹣4x＜2+3，
﹣3x＜5，
∴x＞﹣．
∴x的非正整数值为﹣1．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意并根据题意建立不等关系是解题的关键．
21．（8分）已知分式A：（﹣x+2）÷，解答下列问题：
（1）化简分式A；
（2）分式A的值能等于﹣2吗？请说明理由．
【分析】（1）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可；
（2）先判断，然后令（1）中的结果等于﹣2，求出相应的x的值，再观察此时x的值是否使得原分式有意义即可．
【解答】解：（1）（﹣x+2）÷
＝•
＝•
＝•
＝x﹣4；
（2）分式A的值不能等于﹣2，
理由：令x﹣4＝﹣2，
解得x＝2，
当x＝2时，原分式无意义，
∴分式A的值不能等于﹣2．
【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
22．（8分）发现：差为2的两个正整数的积与1的和总是一个正整数的平方．
验证：（1）9×7+1的结果是哪个正整数的平方？
（2）差为2的两个正整数中，设较小的一个为n，写出这两个正整数的积与1的和，并说明和是一个正整数的平方．
延伸：（3）差为4的两个正偶数，它们的积与常数a的和是一个正整数的平方，求a．
【分析】（1）计算9×7+1，即可求解；
（2）设较小的一个正整数为n，那么这两个正整数积与1的和即为（n+2）×n+1，计算即可求解；
（3）设较小的正偶数为2k，计算2k（2k+4）+a＝4k2+8k+a＝4（k2+2k+），求出a＝4．
【解答】解：（1）∵9×7+1＝64＝82，
∴9×7+1是8的平方；
（2）和为（n+2）×n+1，
∵（n+2）×n+1＝n2+2n+1＝（n+1）2，
∴原式为正整数（n+1）的平方；
（3）设较小的正偶数为2k，
∴2k（2k+4）+a＝4k2+8k+a＝4（k2+2k+），
由配方法可知a＝4，
原式＝4（k2+2k+1）＝[2（k+1）]2，
综上：a＝4．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
23．（8分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE．
​（1）求证：OD＝OB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．

【分析】（1）由点O是AC中点，得出OA＝OC，因为AE＝CF，则OE＝OF，因为DF∥BE，则∠OEB＝∠OFD，
利用AAS证明△BOE和△DOF全等即可，
（2）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．
【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，
∴OA＝OC，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∵DF∥BE，
∴∠OEB＝∠OFD，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OD＝OB，
（2）证明：∵OA＝OC，OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】此题是平行四边形的判定，主要考查了线段的中点，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是判断△BOE≌△DOF．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，3）．
​（1）平移△ABC，若点A的对应点A1的坐标为（3，﹣1），画出平移后的△A1B1C1．
（2）将△ABC以点（0，2）为旋转中心旋转180°画出旋转后对应的△A2B2C2．
（3）已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心是 　（2，1）　．
（4）若将△A2B2C2继续平移5个单位得到△A3B3C3，点P，Q分别是A2C2，B3C3的中点，PQ的最大值是 　5+　．

【分析】（1）根据平移的性质即可平移△ABC，利用点A的对应点A1的坐标为（3，﹣1），画出平移后的△A1B1C1；
（2）根据中心对称的性质即可将△ABC以点（0，2）为旋转中心旋转180°画出旋转后对应的△A2B2C2；
（3）根据旋转的性质即可将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，进而可得旋转中心；
（4）取A3C3的中点P′，P′为P的对应点，将△A2B2C2继续平移5个单位得到△A3B3C3，根据点P，Q分别是A2C2，B3C3的中点，得P′Q为△A3B3C3的中位线，利用PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q共线时取等号），即可得PQ的最大值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，旋转中心是D（2，1）；
故答案为：（2，1）；

（4）如图，取A3C3的中点P′，则P′为P的对应点，
∵将△A2B2C2继续平移5个单位得到△A3B3C3，
∴PP′＝5，
∵Q是B3C3的中点，
∴P′Q为△A3B3C3的中位线，
∴P′Q＝A3B3＝，
∵PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q共线时取等号），
即PQ≤5+，
∴PQ的最大值是5+．
故答案为：5+．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质．
25．（12分）为增强学生的环保意识，维护校园环境．某学校购进绿色和蓝色两种分类垃圾桶，购买绿色垃圾桶花费了1800元，购买蓝色垃圾桶花费了1500元，且购买绿色垃圾桶数量是购买蓝色垃圾桶数量的2倍，已知购买一个蓝色垃圾桶比购买一个绿色垃圾桶多花12元．
（1）求购买一个绿色垃圾桶、一个蓝色垃圾桶各需多少元？
（2）学校打算按（1）中单价再次购买绿色和蓝色两种垃圾桶共50个，且购买蓝色垃圾桶的数量不低于绿色垃圾桶的一半，则学校应如何购买两种垃圾桶总费用最低？最低费用是多少？
【分析】（1）设绿色垃圾桶的单价是x元，蓝色垃圾桶的单价是（x+12）元，根据购买绿色垃圾桶花费了1800元，购买蓝色垃圾桶花费了1500元，且购买绿色垃圾桶数量是购买蓝色垃圾桶数量的2倍，列方程；
（2）设购入a个蓝色垃圾桶，则购入（50﹣a）个灰色垃圾桶，设两种垃圾桶总费用为W，求出a的取值范围，再利用W＝﹣12a+1500解答即可．
【解答】解：（1）设绿色垃圾桶的单价是x元，蓝色垃圾桶的单价是（x+12）元，
依题意得：，
解得：x＝18．
经检验x＝18是原方式方程的解，
∴x+12＝30，
答：绿色垃圾桶的单价是18元，蓝色垃圾桶的单价是30元．
（2）设购入a个蓝色垃圾桶，则购入（50﹣a）个灰色垃圾桶，设两种垃圾桶总费用为W，
依题意得：a，
解得：a．
50﹣a≥0
∴a≤50，
∴，
W＝18a+30（50﹣a）＝﹣12a+1500．
∵﹣12＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴a＝50时，W最小，
W最小值＝﹣12×50+1500＝900（元）．
学校应购买50个蓝色垃圾桶，总费用最低，最低费用是900元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式．
26．（14分）八年级同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展了如下数学探究活动：将两个全等的等腰三角形△ABC（AB＝AC）和△ADE（AD＝AE）按图1所示方式摆放，其中点C和点D重合．

（1）当∠BAC＝∠DAE＝60°时．
①△ABC固定不动，将△ADE绕点A逆时针旋转120°，连接BE．过点A作AF⊥BE于点F，如图2所示，则∠EBC＝　90　°，AF与BE的数量关系是 　BE＝2AF　．
②△ABC固定不动，将△ADE绕点A顺时针旋转30°，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，如图3所示，求此时∠EBC的度数及AF与BE的数量关系．​
（2）当时∠BAC＝∠DAE＝90°时，△ABC固定不动，如图4所示方式摆放．将△ADE绕点A旋转，连接BE．过点A作AF⊥BE于点F．在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，直接写出AF与BE的数量关系 　当BE在∠ABC内部时，BE＝2AF，当BE在∠ABC的外部时，AF＝BE　．​
【分析】（1）①先判断BAD共线，然后推出∠ABE＝∠BAE＝30°，进而得出结果；
②推出△ABE是等腰直角三角形，进而得出结果；
（2）分为：当BE在∠ABC内部时，此时符合（1）①的图形特点，从而得出BE＝2AF；当BE在∠ABC的外部时，推出△ABE是等边三角形，进而得出结果．
【解答】解：（1）①∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DAE＝60°，
∵将△ADE绕点A逆时针旋转120°，
∴∠CAD＝120°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝180°，
∴B、A、D共线，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝∠BEA，
∵∠ABE+∠BAE＝∠DAE＝30°，
∴∠ABE＝∠BAE＝30°，
∴∠ABE+∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝90°，
∵AF⊥BE，
∴EF＝BF＝AF，
∴BE＝2AF，
故答案为：90，BE＝2AF；
②∵∠DAE＝60°，∠CAD＝30°，
∴∠CAE＝30°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，
∵AB＝AE，AF⊥BE，
∴EF＝BF，∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴BE＝2AF，∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝60°﹣45°＝15°；
（2）如图1，

当BE在∠ABC内部时，
∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝45°﹣15°＝30°，
∵AB＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE＝30°，
由（1）得：BE＝2AF，
如图2，

当BE在∠ABC的外部时，
∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝60°，
∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∵AF⊥BE，
∴AF＝BF，BF＝，
∴AF＝BE，
综上所述：当BE在∠ABC内部时，BE＝2AF，
当BE在∠ABC的外部时，AF＝BE．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．