初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程课时作业

这是一份初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程课时作业，文件包含八年级数学上册第26讲分式方程核心考点原卷版docx、八年级数学上册第26讲分式方程核心考点解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc116648529" 第一部分 典例剖析+针对训练 PAGEREF _Tc116648529 \h 1
\l "_Tc116648530" 题型一 解分式方程 PAGEREF _Tc116648530 \h 1
\l "_Tc116648531" 题型二 倒数型 PAGEREF _Tc116648531 \h 3
\l "_Tc116648532" 题型三 增根问题 PAGEREF _Tc116648532 \h 5
\l "_Tc116648533" 题型四 分式方程无解类型 PAGEREF _Tc116648533 \h 6
\l "_Tc116648534" 题型五 分式方程的正数解、负数解问题 PAGEREF _Tc116648534 \h 9
\l "_Tc116648535" 题型六 分式方程整数解问题 PAGEREF _Tc116648535 \h 11
\l "_Tc116648536" 第二部分 专题提优训练 PAGEREF _Tc116648536 \h 13
第一部分 典例剖析+针对训练
题型一 解分式方程
典例1（2022秋•绿园区校级月考）解分式方程：
（1）3x−1=4x；
（2）3−1x−2=x−12−x．
思路点拨：（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
解：（1）去分母，得3x＝4（x﹣1），
解得x＝4，
经检验，x＝4是原方程的根；
（2）去分母，得3（2﹣x）+1＝x﹣1，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的增根，原方程无解．
总结升华：本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
针对训练
1．（2021秋•梁平区期末）解下列方程：
（1）2xx+3+1=72x+6；
（2）3x−2−x2−x=−2．
思路点拨：（1）方程两边都乘2（x+3）得出4x+2（x+3）＝7，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘x﹣2得出3+x＝﹣2（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）2xx+3+1=72x+6，
2xx+3+1=72(x+3)，
方程两边都乘2（x+3），得4x+2（x+3）＝7，
解得：x=16，
检验：当x=16时，2（x+3）≠0，
所以x=16是原方程的解，
即原方程的解是x=16；
（2）3x−2−x2−x=−2，
方程两边都乘x﹣2，得3+x＝﹣2（x﹣2），
解得：x=13，
检验：当x=13时，x﹣2≠0，
所以x=13是原方程的解，
即原方程的解是x=13．
总结升华：本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
2．（2021秋•昆明期末）解分式方程：
（1）x+14x2−1=32x+1−44x−2；
（2）2+x2−x+16x2−4=−1．
思路点拨：（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2x+2＝12x﹣6﹣8x﹣4，
解得：x＝6，
检验：把x＝6代入得：2（2x+1）（2x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝6；
（2）去分母得：﹣（x+2）2+16＝4﹣x2，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是增根，分式方程无解．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
题型二 倒数型
典例2（2022春•滕州市期末）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程x+1x=2+12的解为x1＝2，x2=12；
方程x+1x=3+13的解为x1＝3，x2=13；
方程x+1x=4+14的解为x1＝4，x2=14；…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是 ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的解是 ；
知识拓展：
（3）根据上述规律，解关于y的方程y+y+2y+1=103．
思路点拨：（1）观察上述方程的解的特点确定出所求方程的解即可；
（2）观察上述方程的解的特点确定出所求方程的解即可；
（3）方程变形后，利用得出的规律确定出方程的解即可．
解：（1）根据题意得：x1＝5，x2=15；
故答案为：x1＝5，x2=15；
（2）根据题意得：x1＝a，x2=1a；
故答案为：x1＝a，x2=1a；
（3）方程变形为y+1+1y+1=3+13，
∴y+1＝3或y+1=13，
解得：y1＝2，y2=−23．
总结升华：此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
针对训练
1．（2021秋•莱州市期中）阅读材料，并完成下列问题：
已知分式方程：①x+2x=3，②x+6x=5，③x+12x=7．
其中，方程①的解有2个：x＝1或x＝2；方程②的解有2个：x＝2或x＝3；方程③的解有2个：x＝3或x＝4．
（1）观察上述方程的特点，再观察方程的2个解与方程左边分式的分子、右边常数的关系，猜想方程x+30x=11的解是 ．
（2）关于x的方程x+2020x=101+100m有2个解，它们是x＝101或x=100m，根据所猜想的规律，求m的值．
思路点拨：（1）观察阅读材料中求方程解的方法得出所求即可；
（2）根据得出的规律列出方程，求出解即可得到m的值．
解：（1）x＝5或x＝6；
故答案为：x＝5或x＝6；
（2）因为方程的解是x＝101或x=100m；
根据规律，可得101×100m=2 020，
解这个方程，得m＝5，
经检验，m＝5是所列方程的根．
所以，m的值为5．
总结升华：此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
题型三 增根问题
典例3（2022春•雁塔区校级期末）若关于x的方程2mx+1−m+1x2+x=1x有增根，求实数m的值．
思路点拨：先确定增根的值，再把该方程化为整式方程，最后把增根代入整式方程求解即可．
解：∵该方程的最简公分母是x（x+1），
∴该方程的增根为x＝0或x＝﹣1，
方程两边同乘以x（x+1）得，2mx﹣（m+1）＝x+1，
当x＝0时，2m×0﹣（m+1）＝0+1，
解得m＝﹣2；
当x＝﹣1时，2m×（﹣1）﹣（m+1）＝﹣1+1，
m=−13，
∴实数m的值为﹣2或−13．
总结升华：此题考查了分式方程增根问题的解决能力，关键是能根据增根的意义，利用整式方程进行求解．
针对训练
1．（2022春•甘孜州期末）若分式方程x−1x−4=m4−x​有增根，则m＝​ ．
思路点拨：根据分式方程的增根的定义解决此题．
解：（1）x−1x−4=m4−x​，
去分母，得x﹣1＝﹣m．
移项，得x＝﹣m+1．
由题意得，﹣m+1＝4．
∴m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
总结升华：本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法、平方差公式是解决本题的关键．
2．（2022春•静安区期中）若分式方程k−1x2−1−1x2−x=k−5x2−x有增根x＝﹣1，求k的值．
思路点拨：分式方程去分母转化为整式方程，将x＝﹣1代入计算即可求出k的值．
解：两边都乘以x（x﹣1）（x+1），得：（k﹣1）x﹣（x+1）＝（x+1）（k﹣5），
∵方程有增根x＝﹣1，
∴代入整式方程，得：﹣（k﹣1）＝0，
解得：k＝1．
总结升华：此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3．（2021秋•宽城县期末）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：xx−3=2−？x−3．
（1）她把这个数“？”猜成﹣2，请你帮王涵解这个分式方程；
（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：x＝3是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
思路点拨：（1）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、检验；
（2）设原分式方程中“？”代表的数为m，把分式方程化为整式方程，再把x＝3代入代入整式方程，求出m．
解：（1）由题意，得xx−3=2−−2x−3，
去分母，得x＝2（x﹣3）+2，
去括号，得x＝2x﹣6+2，
移项、合并同类项，得x＝4，
经检验，当x＝4时x﹣3≠0，
∴x＝4是原分式方程的解；
（2）设原分式方程中“？”代表的数为m，
方程两边同时乘（x﹣3）得x＝2（x﹣3）﹣m，
由于x＝3是原分式方程的增根，
把x＝3代入上面的等式解得m＝﹣3，
∴原分式程中“？”代表的数是﹣3．
总结升华：本题考查了分式方程的增根，掌握根据增根求相关字母值的步骤：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程是解题的关键．
题型四 分式方程无解类型
典例4（2022春•浚县校级月考）若关于x的方程4xx−2−5=mx2−x无解，求m的值．
思路点拨：分式方程的解法，先化成一元一次方程，然后讨论，分母等于0的数，就是增根，是一元一次方程的根，而不是分式方程的根．当化成的一元一次方程系数含字母时，让系数为0，此时也无解．
解：方程两边都乘以（x﹣2）得：4x﹣5（（x﹣2）＝﹣mx，
整理得：（1﹣m）x＝10，
∴当x＝2时，分母为0，方程无解，即2（1﹣m）＝10，
∴m＝﹣4时方程无解；
当1﹣m＝0时，方程无解，此时m＝1．
综上所述，当m＝﹣4或1时方程无解．
总结升华：本题考查的是分式方程的无解问题，关键是看分母和系数，分母为0的数是无解先考查的情况，一元一次方程系数为0也是无解的一种情况．应全面考虑．
针对训练
1．（2021秋•迁安市期末）嘉淇准备完成题目：解分式方程：xx−3=2−◆3−x，发现数字◆印刷不清楚．
（1）他把“◆”猜成5，请你解方程：xx−3=2−53−x；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？
思路点拨：（1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）设原题中“◆”是a，分式方程变形后去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x＝3，代入整式方程计算即可求出a的值．
解：（1）方程整理得：xx−3=2+5x−3，
去分母得：x＝2（x﹣3）+5，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝1；
（2）设原题中“◆”是a，
方程变形得：xx−3=2+ax−3，
去分母得：x＝2（x﹣3）+a，
由分式方程无解，得到x＝3，
把x＝3代入整式方程得：a＝3．
总结升华：此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，注意要检验．
13．（2021秋•虎林市校级期末）已知关于x的方程2x−1−mx(x−1)(x+2)=1x+2．
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值．
思路点拨：（1）把m＝4代入方程，方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣4x＝x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）先方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得出2（x+2）﹣mx＝x﹣1，整理后得出（1﹣m）x＝﹣5，再求出所有情况即可．
解：（1）把m＝4代入方程2x−1−mx(x−1)(x+2)=1x+2得：2x−1−4x(x−1)(x+2)=1x+2，
方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣4x＝x﹣1，
解方程得：x=53，
检验：当x=53时，（x﹣1）（x+2）≠0，
所以x=53是原方程的解，
即原方程的解是x=53；
（2）2x−1−mx(x−1)(x+2)=1x+2，
方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得：2（x+2）﹣mx＝x﹣1①，
整理得：（1﹣m）x＝﹣5②，
有三种情况：
第一种情况：当x﹣1＝0时，方程无解，即此时x＝1，
把x＝1代入①得：6﹣m＝1﹣1，
解得：m＝6；
第二种情况：当x+2＝0时，方程无解，即此时x＝﹣2，
把x＝﹣2代入①得：2m＝﹣2﹣1，
解得：m=−32；
第三种情况：∵（1﹣m）x＝﹣5②，
∴当1﹣m＝0时，方程无解，
即此时m＝1；
所以m＝6或−32或1．
总结升华：本题考查了解分式方程和分式方程的解，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
题型五 分式方程的正数解、负数解问题
14．（2021秋•招远市期中）若关于x的方程xx−3−2=mx−3有正数解，求m的取值范围．
思路点拨：先解方程得x＝6﹣m，再由方程有正数解，可得6﹣m＞0，6﹣m≠3，求出m即可．
解：分式方程两边同时乘以（x﹣3），得
x﹣2（x﹣3）＝m，
解得x＝6﹣m，
∵方程有正数解，
∴6﹣m＞0，
解得m＜6，
∵x≠3，
∴6﹣m≠3，则m≠3，
∴m的取值范围是m＜6且m≠3．
总结升华：本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程增根的讨论是解题的关键．
15．（2021春•乐至县月考）已知关于x的分式方程1x−2+3=k−22−x．
（1）若分式方程的解为x＝4，求k的值；
（2）若分式方程有正数解，求k的取值范围．
思路点拨：（1）将x＝4代入方程，即可求出k的值；
（2）先解分式方程，得x=−k+73，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围．
解：（1）将x＝4代入分式方程1x−2+3=k−22−x，
得12+3=k−2−2，
解方程，得k＝﹣5，
∴k＝﹣5．
（2）解分式方程1x−2+3=k−22−x，
去分母，得1+3（x﹣2）＝﹣（k﹣2），
解得x=−k+73，
∵分式方程有正数解，
∴−k+73＞0且−k+73≠2，
解得k＜7且k≠1，
∴k的取值范围是k＜7且k≠1．
总结升华：本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
16．（2022春•原阳县期中）若关于x的方程xx−3−2=mx−3有非负数解，求m得取值范围．
思路点拨：先去分母把分式方程化成整式方程，再结合题意得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
解：去分母得：x﹣2（x﹣3）＝m，
解得：x＝6﹣m，
∵x≥0且x≠3，
∴6﹣m≥0且6﹣m≠3，
解得：m≤6且m≠3，
∴m得取值范围是m≤6且m≠3．
总结升华：本题考查了分式方程的解，根据题意得出关于m的不等式组是解决问题的关键．
17．（2021春•西区期中）已知关于x的方程xx−3=2−m3−x有负数解，求m的取值范围．
思路点拨：根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解是负数，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
解：xx−3=2−m3−x，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x＝2（x﹣3）+m，
解得x＝6﹣m≠3，
关于x的方程xx−3=2−m3−x有一个负数解，
∴x＝6﹣m＜0，
m＞6，且m≠3．
∴关于x的方程xx−3=2−m3−x有一个负数解，m的取值范围是m＞6．
总结升华：本题考查了分式方程的解，利用了解分式方程的方法，解不等式的方法．
题型六 分式方程整数解问题
18．（2022春•吉安期中）若关于x的不等式组−x2≤−m2+1−2x+1≥4m−1有解，且使得关于y的分式方程1y−2−m−y2−y=2有非负整数解，求所有的整数m的和．
思路点拨：解不等式组，根据不等式组有解确定m的取值范围．解分式方程，用含m的代数式表示出y，根据分式方程有非负整数解求出m，即可得出答案．
解：整理不等式组，得x≥m−2x≤−2m+1，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为m﹣2≤x≤﹣2m+1，
即m﹣2≤﹣2m+1，
解得m≤1．
化简分式方程，得1+m﹣y＝2（y﹣2），
解得y=5+m3，
∵由题意知，分式方程有意义，
∴m≠1，
∴m＜1，即5+m＜6，
∵分式方程有非负整数解，
∴5+m是3的非负整数倍，
∴5+m＝0或3
∴m＝﹣5或﹣2，
∴所有的整数m的和为（﹣5）+（﹣2）＝﹣7．
总结升华：本题考查一元一次不等式组的解法、分式方程的解，解决本题的关键是确定m的取值范围．
19．（2018秋•沈北新区校级月考）若解关于x的分式方程2x−2+mxx2−4=1时，只得到一个负数解，求m的值．
思路点拨：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程只得到一个负数解，得到有一个增根为x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值．
解：去分母得：2x+4+mx＝x2﹣4，即x2﹣（m+2）x﹣8＝0，
由分式方程只得到一个负数解，得到方程有一个增根为x＝2，
把x＝2代入得：4﹣2m﹣4﹣8＝0，
解得：m＝﹣4．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
20．xx−1=3a2x−2−2有非负数解，求a的范围．
思路点拨：分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负数解，确定出a的范围即可．
解：去分母得：2x＝3a﹣4x+4，
移项合并得：6x＝3a+4，
解得：x=3a+46，
根据题意得：3a+46≥0，且3a+46≠1，
解得：a≥−43且a≠23．
总结升华：此题考查了分式方程的解，做题时注意分母为0的情况．
21．（2022春•高邮市期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
（1）判断一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y＝mx+6与y＝x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．
思路点拨：（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断；
（2）根据题意用m表示出x的值，再根据“相伴方程”的定义及m为正整数即可求出m的值．
解：（1）一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”，理由如下：
解一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x，
解得：x=12，
解分式方程2x+12x−1−1=44x2−1，
解得：x=12，
检验：当x=12时，（2x+1）（2x﹣1）＝0，
∴原分式方程无解，
∴一元一次方程3﹣2（1﹣x）＝4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1不是“相似方程”；
（2）由题意，两个方程由相同的整数解，
∴mx+6＝x+4m，
∴（m﹣1）x＝4m﹣6，
①当m﹣1＝0时，方程无解，
②当m﹣1≠0，即m≠1时，x=4m−6m−1，即x＝4−2m−1，
∵x，y均为整数，
∴m﹣1＝1，2，﹣1，﹣2，
又∵m取正整数，
∴m＝2或3．
总结升华：本题主要考查了一元一次方程，分式方程，二元一次方程；按照定义求解方程是解题的关键．
第二部分 专题提优训练
1．（2022春•溧阳市期末）解下列分式方程：
（1）3−x4+x=12；
（2）2x−5x−2=3x−7x−2−3；
（3）x2x2−4−x2−x=2；
（4）3x+3+2xx2−9=1x−3．
思路点拨：各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：6﹣2x＝4+x，
解得：x=23，
检验：把x=23代入得：2（x+4）≠0，
∴分式方程的解为x=23；
（2）去分母得：2x﹣5＝3x﹣7﹣3x+6，
解得：x＝2，
检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，
∴x＝2是增根，原方程无解；
（3）去分母得：x2+x（x+2）＝2x2﹣8，
解得：x＝﹣4，
检验：把x＝﹣4代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4；
（4）去分母得：3x﹣9+2x＝x+3，
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，
∴x＝3是增根，原方程无解．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
2．（2021秋•潍坊期末）解分式方程：
（1）1x−2−3=x−12−x．
（2）3x−1−x+2x2−x=0．
（3）3x−3−1x+3=6x2−9．
思路点拨：各分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：1﹣3（x﹣2）＝（1﹣x），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x﹣3≠0，
所以：x＝3是原方程的根；
（2）去分母得：3x﹣（x+2）＝0，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，x﹣1＝0
所以：x＝1是原方程的增根，
则原方程无解；
（3）去分母得：3（x+3）﹣（x﹣3）＝6，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x+3）（x﹣3）＝0，
所以：x＝﹣3是原方程的增根，
则原方程无解．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．已知关于x的方程2xx−2+ax−2=3．
（1）当a取何值时，此方程的解为x＝3；
（2）当此方程的解是正数时，求a的取值范围．
思路点拨：（1）把x＝3代入方程，解关于a的一元一次方程即可；
（2）去分母得2x+a＝3x﹣6，可解得x＝a+6；由题意可得x＞0即a+6＞0，又由x≠﹣2，即可求出a的取值范围．
解：（1）把x＝3代入方程，得6+a＝3，
解得a＝﹣3；
（2）去分母得，2x+a＝3x﹣6，
解得x＝a+6．
∵x＞0，
∴a+6＞0，
解得a＞﹣6．
∵x≠2，
∴a≠﹣4，
∴a的取值范围是a＞﹣6且a≠﹣4．
总结升华：本题侧重考查分式方程的解，求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
4．（2014春•九龙坡区校级期中）若关于x的分式方程mx−2=1−x2−x−3有增根，那么增根应该是2，此时m＝ ．
思路点拨：增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣2＝0，所以增根是x＝2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
解：方程两边都乘（x﹣2），得
m＝x﹣1﹣3（x﹣2），
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，即增根是x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝1．
故答案为1．
总结升华：本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5．（2022春•永春县期中）若关于x的分式方程1x−2+3=a−xx−2无解，则a的值是 ．
思路点拨：将分式方程去分母化成整式方程后，由于原分式方程无解，说明增根x＝2是整式方程的解，代入即可求出a的值．
解：方程两边都乘以x﹣2得，
1+3（x﹣2）＝a﹣x，
由于原分式方程无解，而原分式方程有增根x＝2，
所以1+0＝a﹣2，
即a＝3，
故答案为：3．
总结升华：本题考查分式方程的解，理解增根的意义是解决问题的关键．
6．（2022春•沭阳县期末）若关于x的分式方程xx−1=a2x−2−2的解是非负数，求a的取值范围 ．
思路点拨：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为非负数确定出a的范围即可．
解：去分母得：2x＝a﹣4x+4，
解得：x=a+46，
由分式方程的解为非负数，得到a+46≥0，且a+46≠1，
解得：a≥﹣4且a≠2，
故答案为：a≥﹣4且a≠2
总结升华：此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，表示出分式方程的解是本题的突破点．
7．（西城区校级期中）阅读下列材料：
在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程ax−1+31−x=1的解为正数，求a的取值范围？
经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a﹣2．由题意可得a﹣2＞0，所以a＞2，问题解决．
小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．
老师说：小强所说完全正确．
请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： ．
完成下列问题：
（1）已知关于x的方程2mx−1x+2=1的解为负数，求m的取值范围；
（2）若关于x的分式方程3−2xx−3+1=nx−2x−3无解．直接写出n的取值范围．
思路点拨：小明考虑问题不全面，没有考虑分式必须有意义；
（1）表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，确定出n的范围即可．
解：小明考虑问题不全面，应为：分式的分母不为0（或分式必须有意义）；
（1）解关于x的分式方程得：x=32m−1，
∵方程有解，且解为负数，
∴2m−1＜032m−1≠−2，
∴m＜12且m≠−14；
（2）分式方程去分母得：3﹣2x+x﹣3＝nx﹣2，
整理得：（n+1）x＝2，
当n+1＝0，方程无解，此时n＝﹣1；
当n+1≠0，即n≠﹣1时，解得：x=2n+1，要使方程无解，则有2n+1=3，即n=−13，
综上，n＝﹣1或n=−13．
故答案为：分式的分母不为0．
总结升华：此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．已知k为非负数，当k为何值时，关于x的方程53x+2k=12(x−k)+13(k+5)的解是非负数？
思路点拨：表示出方程的解，根据解为非负数列出不等式，求出不等式的解集即可确定出k的范围．
解：方程去分母得：10x+12k＝3（x﹣k）+2（k+5），
去括号得：10x+12k＝3x﹣3k+2k+10，
移项合并得：7x＝10﹣13k，
解得：x=10−13k7，
∵方程的解为非负数，
∴10−13k7≥0，
解得：k≤1013，
∵k为非负数，
∴k的范围为0≤k≤1013．
总结升华：此题考查了解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，熟练掌握方程及不等式的解法是解本题的关键．
9．（2022春•安岳县校级月考）若整数a使得关于x的分式方程16x(x−4)+2x=ax−4有正整数解，且使关于y的不等式组12(y+4)−2y−13＞121−y2≤3−a至少有4个整数解，求符合条件的所有整数a的和．
思路点拨：表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有四个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为正整数确定出a的值即可．
解：分式方程去分母得：16+2（x﹣4）＝ax，即（2﹣a）x＝﹣8，
由分式方程有正整数解，得到2﹣a≠0，
解得：x=−82−a＞0，得a＞2，
不等式组整理得：y＜11y≥2a−5，即2a﹣5≤x＜11，
由不等式组至少有4个整数解，得到2a﹣5≤7，
解得，a≤6，
由x为正整数，且−82−a≠0且≠4，得到2﹣a＝﹣1，﹣2，﹣4，
解得：a＝3或4或6，
∵分式方程中x＝4增根，a≠4，
∴a＝3或6，
∵a≤6，
∴a＝3或6，
3+6＝9，
则符合条件的所有整数a的和为9．
故答案为：9．
总结升华：此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．