2022-2023学年湖南省永州市道县七年级（上）期末数学试卷（A卷）（含解析）

2022-2023学年湖南省永州市道县七年级（上）期末数学试卷（A卷）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为了解某市各县区人口数占全市人口数的百分比，最适合使用的统计图是(    )

A. 折线统计图 B. 条形统计图 C. 扇形统计图 D. 复式条形图

3.  下列方程中，解是的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，数轴上两点，所对应的实数分别为，，则的结果可能是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  为了解我县七年级学生某次数学调研测试成绩情况，从名学生中随机抽取了名学生的数学成绩进行分析，下列说法正确的是(    )

A. 我县学生是总体 B. 样本容量是
C. 抽取的 名学生是总体的一个样本 D. 每一名学生是个体

6.  假设拧不紧的水龙头每秒滴下滴水，每滴水约毫升，那么经过小时，滴下的水的体积是(    )

A. 毫升 B. 毫升 C. 毫升 D. 毫升

7.  正方体六个面上分别写有数字、、、、、，三个同学从不同的角度观察的结果如图所示，若记的对面的数字为，的对面的数字为，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一种商品售价为元，由于购买的人多，商家便提价销售，但提价后，商品滞销，商家只好再降价，使商品恢复到原价，那么(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若，，均为整数且满足方程，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知为直线上一点，平分，，，则的度数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  道县图书馆有图书约册，数据用科学记数法可表示为______ ．

12.  如果是方程的根，那么的值是          ．

13.  已知，利用等式性质可求得 ______ ．

14.  某项建筑工程，由甲工程队承包需要天完成，由乙工程队承包需要天完成，则甲乙两工程队合作承包，完成工程的一半需要的天数为______天．

15.  直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则______用含的代数式表示．

16.  探究：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都会被它吸进去，无独有偶，数字中也有类似的黑洞，满足某种条件的数，通过一种运算，都能被它吸进去，无一能逃脱它的魔掌譬如，任意找一个的倍数的数，先把构成这个数的每一个数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新的数的每一个数字再立方、求和，，重复运算下去，就能得到一个固定的数，我们称它为数字“黑洞”，此时 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
我们把称为二阶行列式，且．
如：．
计算：；
若，求的值．

19.  本小题分
已知，．
化简．
当，，求的值．

20.  本小题分
如图，直线、相交于点，平分，，，垂足为，求：
求的度数．
求的度数．

21.  本小题分
为了解全县七年级学生的体育成绩和课外锻炼时间的情况，现从全县七年级学生体育测试成绩中随机抽取名学生的体育测试成绩作为样本，体育成绩分为四个等级：优秀、良好、及格、不及格，制成如图所示的扇形统计图．

试求扇形统计图中体育成绩“良好”所对应扇形圆心角的度数；
统计样本中体育成绩为“优秀”和“良好”的学生课外体育锻炼时间如下表所示，请将表格填写完整记学生课外体育锻炼时间为小时；
若全县七年级学生中有人的体育测试成绩为“优秀”或“良好”，请估计这些学生中课外体育锻炼时间不少于小时的学生人数．

22.  本小题分
年“双十一”期间，很多国货品牌受到人们的青睐，销量大幅增长某平台的体育用品旗舰店实行优惠销售，规定如下：对原价元件的某款运动速干衣和元双的某款运动棉袜开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案：买一件运动速干衣送一双运动棉袜；
方案：运动速干衣和运动棉袜均按折付款．
某户外俱乐部准备购买运动速干衣件，运动棉袜双．
若该户外俱乐部按方案购买，需付款        元用含的式子表示；若该户外俱乐部按方案购买，需付款        元用含的式子表示；
若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算；
当购买运动棉袜多少双时两种方案付款相同．

23.  本小题分
对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点称这样的操作为点的“升级”，对数轴上的点，，，进行“升级”操作得到的点分别为，，，．
当，时，
若点表示的数为，则它的对应点表示的数为______ 若点表示的数是，则点表示的数为______ ；
数轴上的点表示的数为，若线段，求点表示的数；
若线段，请直接写出的值，不需证明．

24.  本小题分
阅读：数学学习中，“算两次”是建立相等关系的一种重要思想，例如：
一条直线上有，，个点，它们可以确定多少条线段呢？
方法一：从左至右，不重不漏的数以为端点的线段、、共条；以为端点的线段、、共条；以为端点的线段、、共条；以为端点的线段是条以上累加起来即可．
方法二：每个点都能和除它以外的个点形成线段，共可形成条线段，但所有线段都数了两遍．
根据上述两种方法计算线段的总条数，各写出一个用表示的表达式．
方法一：______ ；
方法二：______ ．
运用：
试猜想，，之间的关系．
计算：．
拓展：七年级一班有名班干部，现要随机选派人参加某志愿者活动，共有______ 种不同的选派方案填数字

25.  本小题分
学习千万条，思考第一条．请你用本学期所学知识探究以下问题：
Ⅰ已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在内部作射线．

如图，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向；
如图，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数．
Ⅱ已知点、、不在同一条直线上，，，平分，平分，用含，的式子表示的大小．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
直接利用只有符号不同的两个数叫做互为相反数，即可得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握定义是解题关键．

2.【答案】 

【解析】解：为了解某市各县区人口数占全市人口数的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图．
故选：．
条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别；用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势；直方图在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．
本题考查统计图的选择及频数率分布直方图，应充分掌握各种统计图条形统计图、扇形统计图及折线统计图的优缺点以及频数率分布直方图中各量的意义．

3.【答案】 

【解析】解：、当时，左边，右边，左边右边，不是方程的解；
B、当时，左边，右边，左边右边，不是方程的解；
C、当时，左边，右边，左边右边，是方程的解；
D、当时，左边，右边，左边右边，不是方程的解；
故选：．
根据方程的解满足方程，可得答案．
本题考查了一元一次方程的解，将解代入方程验证是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
，
的结果可能是：．
故选：．
根据，在数轴上的位置可确定和的取值范围，相加之后可得的范围．
本题主要考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置确定出字母的取值范围是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：全县七年级名学生的数学成绩是总体，此选项错误；
B.样本容量是，此选项正确；
C.抽取的 名学生的数学成绩是总体的一个样本，此选项错误；
D.每一名学生的数学成绩是个体，此选项错误；
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

6.【答案】 

【解析】解：小时秒，
滴下的水的体积毫升．
故选：．
先将小时换算成秒，先求出其滴下的水滴数，再求出滴下的水的体积．
本题考查了有理数的乘法运算，注意结果运用科学记数法比较简便．

7.【答案】 

【解析】解：从个小立方体上的数可知，
与写有数字的面相邻的面上数字是，，，，
所以数字面对数字，
同理，立方体面上数字对．
故立方体面上数字对．
则，，
那么．
故选：．
由图一和图二可看出的对面的数字是；再由图二和图三可看出的对面的数字是，从而的对面的数字是．
本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解题的关键是按照相邻和所给图形得到相对面的数字．

8.【答案】 

【解析】解：设降价，
，
．
故选：．
降价，根据一种商品售价为元，由于购买的人多，商家便提价销售，但提价后，商品滞销，商家只好再降价，使商品恢复到原价，可列方程求解．
本题考查一元一次方程的应用，关键是根据提价后又降价，然后回到原价列方程求解．

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得到或，
，
当或时，
．
故选：．
根据题意得到或，解方程然后代入求解即可．
此题考查了绝对值，整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握．

10.【答案】 

【解析】【分析】
设，则、，根据角之间的等量关系求出、、的大小，然后解得即可．
本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．
【解答】
解：设，则，
因为，
所以，
所以．
因为平分，
所以．
因为，
由题意有，解得，
则，
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．解题关键是正确确定的值以及的值．

12.【答案】 

【解析】解：把代入中，
得：，
解得：．
故填：．
虽然是关于的方程，但是含有两个未知数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值．
本题含有一个未知的系数．根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据等式的性质，等式的两边同时减去，可得，再把等式的两边同时除以即可．
本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：

天
故答案是：．
把这项工程看成单位“”，甲工程队做需要天完成，那么甲队每天完成这项工程的，乙工程队做需要天完成，乙队每天完成这项工程的，它们的和就是合作的工作效率，用除以合作的工作效率，即可求出需要的时间．
考查了列代数式，解决本题关键是把工作总量看成单位“”，再根据工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系求解．

15.【答案】或 

【解析】解：由题意，需讨论以下两种情况：
如图．

，
．
．
如图．

，
．
与是对顶角，
．
．
综上：或．
故答案为：或．
由题意可能为锐角，也可能为钝角，故需讨论这两种情况．
本题主要考查垂直的定义以及角的和差关系，熟练掌握垂直的定义以及角的和差关系是解决本题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：用验证，
第一次运算：，
第二次运算：，
第三次运算：，
第四次运算：，
所以，
故答案为：．
根据题意用验证即可．
本题考查通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求正确分析题意，找到规律，并进行推导．

17.【答案】解：原式


． 

【解析】根据有理数的混合运算法则和绝对值求解即可．
本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．

18.【答案】解：由题意得：

；
，
，即，
解得：． 

【解析】按照定义的新运算，进行计算即可解答；
按照定义的新运算可得，然后按照解一元一次方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．

19.【答案】解：


；
当，时，
． 

【解析】，去括号合并同类项化简即可；
把，代入化简的代数式中求值即可．
本题考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．

20.【答案】解：直线和相交于点，
，
平分，
；
，
，
由知，
． 

【解析】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
由，再由平分，得出，
由，得，由即可求解．

21.【答案】解：由题意可得：
样本扇形图中体育成绩“良好”所对扇形圆心角的度数为：；
体育成绩“优秀”和“良好”的学生有：人，
范围内的人数为：人；
填表如图所示，
 

由题意可得：人，
答：估计课外体育锻炼时间不少于小时的学生人数为人． 

【解析】直接利用扇形统计图得出体育成绩“良好”所占百分比，进而求出所对扇形圆心角的度数；
首先求出体育成绩“优秀”和“良好”的学生数，再利用表格中数据求出答案；
直接利用“优秀”和“良好”学生所占比例得出学生中课外体育锻炼时间不少于小时的学生人数．
此题主要考查了扇形统计图以及利用样本估计总体，正确利用扇形统计图和表格中数据得出正确信息是解题关键．

22.【答案】   

【解析】解：按方案购买，需付款：，
即需要付款元；
按方案购买，需付款：，
即需要付款元．
故答案是：，；
当时，
方案：元．
方案：元．
因为，所以按方案购买较为合算；

根据题意，得．
解得．
答：当购买运动棉袜双时，两种方案付款相同．
根据两种不同的优惠方案列出代数式即可；
将分别代入所列代数式计算比较即可；
根据“两种方案付款相同”列出方程并解答．
本题考查了一元一次方程的应用，列代数式和代数式求值，解决本题的关键是根据题意准确列出代数式．

23.【答案】   

【解析】解：点表示的数为，
，
它的对应点表示的数为，
设点表示的数为，
点表示的数是，
，
解得：．
故答案为：，．
设点表示的数为，则表示的数为，
，
，
解得：或．
故答案为：或．
设点表示的数为，点表示的数为，
则点表示的数为：，点表示的数为：，
，
，
解得：．
若线段，．
由，即可得出对应点表示的数为，设点表示的数为，，解得；
设点表示的数为，则表示的数为，由，解得或；
设点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则，解得．
本题考查了新概念“升级”、数轴、两点间的距离、绝对值、一元一次方程等知识；熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键．

24.【答案】    

【解析】解：把不同端点的线段相加可得总条数；
由点和线段的规律可得线段的总条数；
故答案为：；；
，
，，之间的关系是；




；
由题意可得，共有．
故答案为：．
由不同的计算方法求解即可；
利用整式的乘法求解即可；
首先根据平方差公式展开，然后利用总结的规律求解即可；
由方法一求解即可．
本题考查了列代数式，平方差公式等知识，灵活运用这些性质是解题的关键．

25.【答案】解：，
射线表示的方向为北偏东；

，平分，
，
，
，
，
，


；

如图：

，

平分，平分，
，，
，
如图，

；
如图，

，
为或或． 

【解析】根据代入数据计算，即得出射线表示的方向；
根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；
画出图形，根据角平分线的定义分类解答即可．
此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系．