2022-2023学年陕西省榆林市高二下学期过程性评价质量检测（期末）数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省榆林市高二下学期过程性评价质量检测（期末）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集的定义计算可得.

【详解】因为，，

所以.

故选：D

2．已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（    ）

A．2 B．1 C．-1 D．-2

【答案】A

【分析】根据复数的乘法及复数的实部概念求解.

【详解】由，

所以复数的实部为2.

故选：A

3．已知向量，若与共线，则实数的值为（    ）

A． B． C．3 D．1

【答案】C

【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求的值.

【详解】因为与共线，

所以，

所以，

故选：C.

4．已知数据是某市个普通职工的年收入（单位：元），若去掉一个最高年收入和一个最低年收入，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是（    ）

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差

【答案】B

【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解即可.

【详解】由中位数的定义知，去掉最高与最低后，新数据与原数据相比，中位数一定不变.

故选：B.

5．把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位长度，得到的图象，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据图象的伸缩与平移变换直接可得解.

【详解】由图象的变换知，当函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到，图象向右平移个单位长度得到，

所以.

故选：A

6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】根据题意转化为点到准线的距离为，结合抛物线的定义，即可求解.

【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，

因为点在上，且到直线的距离为，

可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，

根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，

所以.

故选：B

7．设等比数列的前项和为，已知，则（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】D

【分析】由求出公比，由求出.

【详解】设等比数列公比为，则有，解得，

，则有，得.

故选：D

8．圆上的点到直线的最大距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.

【详解】圆化为标准方程得，

圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为

所以圆上的点到直线的最大距离为.

故选:C.

9．如图，在长方体中，四边形是边长为1的正方形，，则该长方体的外接球表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出长方体的体对角线，即可求得外接球半径，即可求得答案.

【详解】由题意可知长方体的体对角线长为,

故该长方体的外接球的半径为，

该长方体的外接球表面积为，

故选：D

10．设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（    ）

A． B．

C．是两条异面直线 D．

【答案】B

【分析】ACD可举出反例，D选项，可根据面面平行得到线面平行.

【详解】ACD选项，如图1和图2，，，则或是两条异面直线，故ACD错误.

B选项，，，根据面面平行的性质可知，故B正确；

故选：B

11．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用独立事件及互斥事件的概率求法求解该问题被解答的概率，再利用条件概率计算公式求解即可.

【详解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，

则，，故，

所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：.

故选：D

12．已知函数的图象与轴有且仅有两个交点，则实数的值是（    ）

A． B． C．-1 D．0

【答案】A

【分析】根据函数的导数判断函数的单调性，利用函数单调性结合交点个数列方程求解.

【详解】，

，

当时，，单调递增，至多与轴有一个交点，故不符合题意；

当时，由可得，

所以或时，，单调递减；

当时，，单调递增.

所以函数的图象与轴有且仅有两个交点，

则需要或，如图，

因为，

所以，

解得.

故选：A

二、填空题

13．在等差数列中，，则          .

【答案】30

【分析】根据等差数列的下标和性质运算求解.

【详解】数列为等差数列，则，

可得.

故答案为：30.

14．若函数为奇函数，则实数          .

【答案】

【分析】根据函数为奇函数，由，恒成立求解.

【详解】因为函数为奇函数，

所以，恒成立，

即，

解得，

故答案为：

15．若实数满足约束条件则的最小值是          .

【答案】-6

【分析】作出不等式组对应的平面区域，通过平行直线,利用数形结合即可得到结论．

【详解】约束条件表示的平面区域如图所示，

由得

当直线平移到点时，直线在轴上的截距最大，

此时目标函数有最小值，且最小值为-6.

故答案为：-6.

16．已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为          .

【答案】/2.25

【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可.

【详解】设，

则

两式相减得，

由线段的中点坐标为，

即，

.

故答案为：

三、解答题

17．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点.

(1)求证：平面；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据中位线的性质证明线线平行即可证明线面平行；

（2）根据结合锥体体积公式求解即可.

【详解】（1）是与的交点，是的中点，

又是棱的中点，，

又平面平面，

平面.

（2）.

18．某学校共有1000名学生参加“一带一路”知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采用分层随机抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布在450分~950分之间，将分数不低于750分的学生称为“高分选手”，已知样本中“高分选手”有25人，其中女生有10人.

(1)试完成下面列联表；

(2)判断是否有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关？

参考公式：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关

【分析】（1）根据题意，直接列出列联表即可；

（2）计算，根据临界值作出结论.

【详解】（1）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人，得出以下列联表：

（2），

有的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关.

19．在中，角的对边分别是，满足.

(1)求；

(2)若，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，即可得答案；

（2）利用余弦定理可推出，利用三角形面积公式即可求得答案.

【详解】（1），

，

又，

，

.

（2）由（1）可知，

根据余弦定理，即，

即，即，

又，则，即，

的面积.

20．已知函数.

(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；

(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由、求导得，由导数的几何意义即可得到结果；

（2）根据题意，求导得，由函数在区间上是单调递减，列出不等式，即可得到结果.

【详解】（1）由，得，

曲线在点处的切线与轴平行，

，解得.

（2）在区间上是减函数，

，则在区间上恒成立，

当时，，

实数的取值范围是.

21．已知椭圆的焦距为2，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可求解；

（2）联立方程组，根据，求得，且，得到，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.

【详解】（1）解：由椭圆的焦距为，离心率为，

可得，解得，所以椭圆的方程为.

（2）解：联立方程组，整理得，

由，解得.

设，则，

所以，

因为，

所以，

解得，即实数的值为.

22．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.

(1)求曲线的极坐标方程；

(2)设射线与曲线交于点，与直线交于点，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，再转换为极坐标方程即可；

（2）设点的极坐标为，设点的极坐标为，将射线的在极坐标方程分别代入曲线、直线的极坐标方程，求出、，进而可得的值.

【详解】（1）由曲线C的参数方程（为参数），

消去参数可得，即，

根据

可得曲线的极坐标方程为.

（2）设点的极坐标为，点的极坐标为，

将代入曲线的极坐标方程可得，

又，解得.

将代入直线的极坐标方程可得，解得，

.

23．设函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将函数写成分段函数，分区间讨论化简不等式求不等式的解集；

（2）讨论的正负，结合绝对值三角不等式证明，利用（1）证明，由此完成证明．

【详解】（1）

又，

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，无解.

不等式的解集为.

（2）若，

则；

若，则.

，

又由（1）易知，

成立.