2022-2023学年陕西省西安市西咸新区高二下学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市西咸新区高二下学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.

【详解】由题意，，，

根据交集的运算可知，.

故选：A

2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先写出复数，再得到其共轭复数.

【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以，

所以.

故选：A

3．已知向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量的共线的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由向量，可得，

因为，可得，解得．

故选：C.

4．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】D

【分析】根据抛物线焦半径公式直接计算即可.

【详解】点在C：上，设，

而抛物线的焦点坐标为，故，

则.

故选：D

5．设是等比数列，且，，则（    ）

A．8 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】根据条件，求首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，则

，解得，，

所以.

故选：A.

6．已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.

【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：

A选项中，B选项中，

C选项中，D选项中，

排除选项CD，

对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，

对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，

故选：B.

7．如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（    ）

A．24 B．26 C．28 D．30

【答案】D

【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.

【详解】如图所示，在长方体中，，，

点为所在棱上靠近点的三等分点，为所在棱的中点，

则三视图所对应的几何体为长方体去掉长方体之后所得的几何体，

该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，

其表面积为：.

故选：D.

8．某学校举办作文比赛，共3个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对3个主题编号，列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概型概率公式求解作答.

【详解】用1，2，3表示3个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下：

共有9个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有，共3个，

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有6个，概率.

故选：C

9．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则（    ）

A．，，，的平均数等于，，…，的平均数

B．，，，的中位数等于，，…，的中位数

C．，，，的标准差不小于，，…，的标准差

D．，，，的极差大于，，…，的极差

【答案】B

【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.

【详解】对于选项A：设的平均数为，的平均数为，

则，

因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，

例如：，可得；

例如，可得；

例如，可得；故A错误；

对于选项B：不妨设，

可知的中位数等于的中位数均为，故B正确；

对于选项C：因为是最小值，是最大值，

则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差，

例如：，则平均数，

标准差，

，则平均数，

标准差，

显然，即；故C错误；

对于选项D：不妨设，

则，当且仅当时，等号成立，故D错误；

故选：B.

10．设，为两个平面，则的充要条件是

A．内有无数条直线与平行

B．内有两条相交直线与平行

C．，平行于同一条直线

D．，垂直于同一平面

【答案】B

【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．

【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．

【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．

11．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答.

【详解】圆的圆心，半径，

由双曲线的离心率为，得，解得，

于是双曲线的渐近线方程为，即，

当渐近线为时，点到此直线距离，即直线与已知圆相离，不符合要求，

当渐近线为时，点到此直线距离，则直线与已知圆相交，

所以弦长.

故选：D

12．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出，由题意在上有解，再转化为求新函数的最小值．

【详解】由已知在上有解，

即在上有解，

设，则在上恒成立，因此在上是增函数，

，

所以，

故选：D．

二、填空题

13．已知等差数列的前项和为，若，则        ．

【答案】

【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得.

【详解】因为，所以，

所以.

故答案为：

14．若为偶函数，则实数          ．

【答案】

【解析】利用偶函数的定义求解即可．

【详解】，定义域为

由可得

恒成立

即，解得

故答案为：

15．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为              ．

【答案】8

【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．

【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，

在直线中表示直线的纵截距，直线向上平移时，增大，

由得，即，

向上平移直线，当它过点时，为最大值．

故答案为：8.

16．若函数在区间只有一个极值点，则实数的取值范围为      .

【答案】

【分析】求导，在区间上只有一个极值点，等价于在只有一个零点，且，分离参数，即与只有一个交点，由数形结合求得参数范围.

【详解】解：，则，

若在区间上只有一个极值点，

则在只有一个零点，,

所以只有一个解，又因为

作出函数的图像，

由数形结合知，若使函数与在上只有一个交点，只需，即

故答案为：.

三、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，．

(1)求角B的大小；

(2)若，，求△ABC的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角后，再由同角关系求解；

（2）由余弦定理求得，再由三角形面积公式计算．

【详解】（1）∵，

∴．

∵，

∴，可得，

∵，

∴．

（2）∵，，，

∴，即，

∴，

∴．

18．如图，已知多面体的底面是边长为3的正方形，底面，，且．

(1)证明：平面；

(2)求四棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【分析】（1）由线面垂直的判定证明；

（2）求出直角梯形的面积，以为四棱锥的高求体积.

【详解】（1）∵底面，底面，

∴．

又，，平面，

∴平面．

（2）由题意易知四边形为直角梯形，

∴．

∴．

19．推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取500名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：

(1)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？

(2)从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，再从这5人中随机抽取3人组成一个环保宣传队，求抽取的3人恰好是两男一女的概率，

附：，其中．

临界值表：

【答案】(1)表格见解析，有

(2)

【分析】（1）根据题意即可完成列联表，根据公式求出，再根据临界值表即可得出结论；

（2）分别求出抽到女性和男性的人数，再根据古典概型利用列举法即可得出答案.

【详解】（1）解：由题意得列联表如下：

计算得，

因为，

所以有90%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关；

（2）解：由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人，

记抽到的男性为a，b，c，抽到的女性为d，e，则基本事件分别为、、、、、、、、、，共10种，

抽取的3人恰好是两男一女共有6种，

所以抽取的3人恰好是两男一女的概率是．

20．已知椭圆的左，右焦点分别为，，垂直于x轴的直线与该椭圆交于P，Q两点，且．

(1)求该椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；

(2)求的面积及弦长的值．

【答案】(1)长轴长为10，短轴长为6，焦点坐标为，离心率

(2)9；．

【分析】（1）由椭圆的方程可得答案；

（2）由、椭圆定义、三角形的面积公式计算可得答案.

【详解】（1）由椭圆的方程，可得，，

∴该椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦点坐标为，离心率；

（2）∵，

∴，

即，

∴，即．

∴的面积为，

设点，则的面积为，可得，

∴．

21．已知函数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)当时，求函数的最小值；

(3)证明：

【答案】(1)

(2)

(3)证明详见解析

【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程.

（2）利用导数研究在区间上的单调性，由此求得在区间上的最小值.

（3）结合（2）的结论证得不等式成立.

【详解】（1）.

所以，，

所以在点处切线的方程为，

即.

（2）当时，，，

令，则.

当时，，所以在单调递减.

所以.

所以，函数在上单调递减.

函数在上单调递减.

所以，即函数的最小值为.

（3）由（2）可知在上单调递减.

又因为，

所以.

所以，即

22．已知曲线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线相交于，两点，求，两点间的距离．

【答案】(1)，

(2)．

【分析】（1）根据消去参数得到曲线的普通方程，再由，将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求出圆心到直线的距离，即可求出弦长.

【详解】（1）由于曲线的参数方程为（为参数），

则消去参数，可得．

由于直线的极坐标方程为，且，，

则直线的直角坐标方程为．

（2）由（1）可知，圆的圆心为，半径为3，

则圆心到直线的距离为，

所以．

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若的最小值为，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分类讨论求解不等式即可；

（2）根据题意得到，从而得到，结合“1”妙用，利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）由题知：，即

所以，

，

.

综上：，

所以的解集为.

（2），

当且仅当时，等号成立，所以.

所以.

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

所以的最小值为.