2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期5月质量检测数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高二下学期5月质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，再结合交集的定义可求.

【详解】因为，，所以．

故选：C.

2．已知集合，且M，N都是全集U的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据韦恩图可得阴影部分表示，进而即得.

【详解】由韦恩图可知阴影部分表示，

∵，

∴．

故选：C.

3．已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据交集结果分析运算.

【详解】若，则或，解得或，

所以实数的取值范围为.

故选：C.

4．命题“若，则”的逆否命题是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】利用逆否命题的定义求解.

【详解】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.

故选：D

5．复数是纯虚数的充分不必要条件是（    ）

A．且 B． C．且 D．

【答案】C

【分析】运用纯虚数的定义，结合充分条件，、与必要条件的定义即可求得结果.

【详解】因为复数是纯虚数的充要条件是且，

又因为且是且的充分不必要条件，

所以且是复数为纯虚数的充分不必要条件.

故选：C.

6．已知复数z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】由复数的运算求出复数z，再由复数几何意义即可解答.

【详解】由题意，

所以，则复数z在复平面内对应的点，为第四象限内的点.

故选：D

7．对于命题，，若是假命题，是假命题，则下列判断正确的是（　　）

A．，都是真命题 B．，都是假命题

C．是真命题，q是假命题 D．是假命题，是真命题

【答案】D

【分析】根据命题的真值表即可判断．

【详解】因为是假命题，

所以命题，中至少有一个为假命题，

又因为是假命题，

所以，都是假命题，

所以为真命题，

故选：D．

8．已知．若p为假命题，则a的取值范围为(   )

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据命题为假，则命题的否定为真，转化为恒成立问题，列不等式求参.

【详解】因为p为假命题，所以，为真命题，

故当时，恒成立．

因为当时，的最小值为，

所以，即a的取值范围为．

故选：A.

9．设均为非零实数，则直线和在同一坐标系下的图形可能是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】假设每个选项中的一次函数图象正确，可得的正负，由此可确定二次函数的开口方向和对称轴位置，可排除得到最终结果.

【详解】对于A，若图象正确，则，，

开口方向向上，对称轴为，与图象符合，A正确；

对于B，若图象正确，则，，

开口方向向下，与图象不符，B错误；

对于C，若图象正确，则，，

开口方向向上，与图象不符，C错误；

对于D，若图象正确，则，，

开口方向向上，与图象不符，D错误.

故选：A.

10．下列各对函数中，是相同函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】根据相同函数的定义逐一判断即可.

【详解】对于A，由函数，得，解得，

所以函数的定义域为，

由函数，得，解得，

所以函数的定义域为，

所以与不是相同函数；

对于B，由函数，得，解得，

所以函数的定义域为，

由函数，得，解得或，

所以函数的定义域为，

所以与不是相同函数；

对于C，函数的定义域为，

函数的定义域为，

所以与不是相同函数；

对于D，函数，定义域为，

函数，定义域为，

所以与是相同函数.

故选：D.

11．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.

【详解】当时，函数在上单调递增，合乎题意；

当时，则二次函数图象的对称轴方程为，

若函数在上单调递增，则，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选：B.

12．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将极坐标转化为直角坐标，即可得出圆心的直角坐标，在转化为极坐标即可得出答案.

【详解】圆即，，

则其直角坐标方程为：，即，

圆心的直角坐标为，则圆心的极坐标为，

故选：A.

二、填空题

13．集合的非空真子集的个数是      ．

【答案】

【分析】首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根据含有个元素的集合有个非空真子集计算可得.

【详解】由，即，解得，

所以，

即集合含有个元素，故集合的非空真子集有个.

故答案为：

14．命题“，”的否定是      .

【答案】，

【分析】利用全称命题的否定形式变换即可.

【详解】由全称命题的否定形式可得：“，”的否定是

“，”.

故答案为：，.

15．已知是虚数单位，若复数满足，则          .

【答案】

【分析】先根据复数的除法算出，然后用模长公式进行求解.

【详解】由题意，，于是.

故答案为：

16．执行下面的程序框图，若输入的，，则输出的为       .

【答案】

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案.

【详解】输入，，则第一次循环：，，

不符合判断框条件，继续循环；

第二次循环：，，不符合判断框条件，继续循环；

第三次循环：，，不符合判断框条件，继续循环；

第四次循环：，，

此时满足判断框条件，退出循环，输出.

故答案为：

三、解答题

17．解下面不等式

（1）；

（2）

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）利用绝对值的几何意义即可求解.

（2）利用一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】（1）由知，故有

，即解集为

（2）知

令解得

如图所示，得解集为或，

18．已知集合，，且．

(1)若都有，求的取值范围；

(2)若且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；

（2）依题意可得，由得到，则只需，即可求出参数的取值范围.

【详解】（1）∵都有，∴，

又由题知，所以，

解得，故的取值范围是.

（2）由于且，则，

因为，所以，所以，

当时，一定有，

要想满足，则要满足，解得，

故时，，故的取值范围是.

19．设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．

(1)若，且为真，求实数x的取值范围；

(2)若，且p是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法分别求出两个命题为真时的范围，再根据为真，可得为真或为真，即可得解；

（2）由p是的充分不必要条件，得对应的集合是对应集合的子集，进而可得答案.

【详解】（1）当时，p：，即，

由，得，

若为真，即，

所以实数x的取值范围；

（2）若，p：，即；

q：，：或，

且p是的充分不必要条件，则或，

即或，

故实数m的取值范围为．

20．已知，，为正数，函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若的最小值为，且，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论去绝对值，即可得出答案；

（2）解法一：根据绝对值三角不等式可得.根据基本不等式可得，进而推得，即可证明；解法二：根据绝对值三角不等式可得.然后根据柯西不等式即可得出，进而得出证明.

【详解】（1）由已知可得，.

当时，不等式可化为，即，解得，所以；

当时，不等式可化为，该不等式恒成立，所以；

当时，不等式可化为，解得，所以.

综上所述，不等式的解集为.

（2）解法一：

∵，当且仅当时，等号成立，

∴，∴.

∵，，，

∴，

∴，

∴，当且仅当时，等号成立，

∴.

解法二：

∵，当且仅当时，等号成立，

∴，

∴.

由柯西不等式得：，即

，当且仅当时，等号成立，

∴.

21．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的直角坐标方程和的普通方程；

(2)求曲线上的点到直线距离的最小值．

【答案】(1)曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程

(2)

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标转化公式求直角坐标方程，消参可得直线普通方程；

（2）根据抛物线方程设出点的坐标，由点到直线距离公式配方后求最值.

【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，

所以，

所以．

由消去得．

故曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程．

（2）设曲线上任意一点，

则到直线的距离为．

所以当时，．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求线段AB的长度．

【答案】(1)曲线；曲线

(2)

【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，进而化为极坐标方程即可；

（2）直线过原点，所以化为极坐标方程后与曲线，的极坐标方程联立，利用的几何意义求解即可.

【详解】（1）曲线（为参数），消去参数得，

将代入，得曲线的极坐标方程为，

由得，∴，

∴曲线的直角坐标方程为；

（2）易知直线l的极坐标方程为，代入曲线，的极坐标方程

得，，

∴．

23．已知函数的最小值是．

(1)求的值；

(2)已知，，且，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由绝对值的定义去绝对值，判断的单调性，即可求出的最小值；

（2）由（1）可得，利用基本不等式即可证明.

【详解】（1）由题知

易知：当时，单调递减；当时，单调递增，

所以，即的最小值为，即

（2）由（1）可得，

又由于．

∵

故当且仅当等式成立.