2022-2023学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省南昌市第二中学高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合的运算结果建立不等式求解.

【详解】由知，，

即，解得，

故选：B

2．已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析.

【详解】对于A，如果 ，例如 ，则 ，不能推出 ，如果 ，则必定有 ，既不是充分条件也不是必要条件，错误；

对于B，如果 ，根据对数函数的单调性可知 ，但不能推出 ，例如 ，不是充分条件，

如果 ，则 ，是必要条件，即 是 的必要不充分条件，错误；

对于C，如果 ，因为 是单调递增的函数，所以 ，不能推出 ，例如 ，

如果 ，则必有 ，是必要不充分条件，错误；

对于D，如果 ，则必有 ，是充分条件，如果 ，例如 ，则不能推出 ，所以是充分不必有条件，正确.

故选：D.

3．下列函数中为偶函数,且在上单调递减的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据奇偶性定义判断各函数奇偶性，结合指对数函数性质判断单调性.

【详解】定义域为R且既不是偶函数又不是奇函数，A不满足条件；

定义域为且是偶函数，在区间内单调递增，B不满足条件；

定义域为R且是奇函数，C不满足条件；

定义域为R且为偶函数且在上递减，D满足条件.

故选：D

4．函数的图象如图所示，则（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】A

【分析】由图象分析函数奇偶性，特殊位置，及函数定义域即可.

【详解】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数，

所以得：，故C错误；

由图象可知，故D错误；

因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号，，即B错误，A正确.

故选：A

5．已知函数，若（其中），则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数的运算法则以及基本不等式求解.

【详解】，

由，，即，

，当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为.

故选：.

6．我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根x叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据“躺平点”新定义，可解得,，利用零点存在定理可得,即可得出结论.

【详解】根据“躺平点”定义可得，又；

所以，解得；

同理，即；

令，则，即为上的单调递增函数，

又，所以在有唯一零点，即；

易知，即，解得；

因此可得.

故选：B

7．已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则（    ）

A． B． C．0 D．10

【答案】D

【分析】根据题意推得，得到函数的周期为，利用函数的周期性和对称，结合，代入即可求解.

【详解】由为奇函数，可得函数的对称中心为，即

又由，则的对称轴为，即，

所以，即，

又由，所以，即函数的周期为，

则.

故选：D.

8．已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，将问题转化为的值域是的值域的子集，然后分与讨论，即可得到结果.

【详解】设函数在上的值域为，函数在上的值域为，

因为若，，使得成立，所以，

因为，，所以在上的值域为，

因为，

当时，在上单调递减，所以在上的值域为，

因为，所以，解得，又，所以此时不符合题意，

当时，图像是将下方的图像翻折到轴上方，

令得，即，

①当时，即时，在，上单调递减，

，，所以的值域，

又，所以，解得，

②当时，即时，在上单调递减，在

上单调递增，

，或，

所以的值域或，又，所以或，

当时，解得或，又，所以，

当时，解得或，又，所以，所以的取值范围．

③当时，时，在上单调递增，

所以，，所以在上的值域，

又，所以，解得，综上所述，的取值范围为.

故选：C

二、多选题

9．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（    ）

A．的值城为 B．，.

C．为偶函数 D．为周期函数

【答案】BCD

【分析】根据函数，可判断其值域，判断A；讨论x为有理数或无理数，求得，判断B;根据奇偶性定义可判断C；根据周期函数定义判断D.

【详解】由题意函数，则其值域为，A错误；

当x为有理数时，，则，

当x为无理数时，，则，

故，，B正确；

当x为有理数时，为有理数，则，

当x为无理数时，为无理数，则，

故为偶函数，C正确；

对于任何一个非零有理数,若x为有理数，则也为有理数，

则，

若x为无理数，则也为无理数，则，

即任何一个非零有理数都是函数的周期，即为周期函数，D正确，

故选：

10．已知，为正实数，且，则（    ）

A．的最大值为2 B．的最小值为4

C．的最小值为3 D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.

【详解】解：因为，当且仅当时取等号，

解得，即，故的最大值为2，A正确；

由得，

所以，

当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；

，当且仅当，

即时取等号，C错误；

，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．

故选：ABD．

11．已知幂函数，m，n互质），下列关于的结论正确的是（    ）

A．当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数

B．当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数

C．当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数

D．当时，幂函数在上是减函数

【答案】AB

【分析】对每一个选项，利用幂函数的奇偶性或单调性逐一分析判断得解.

【详解】，

当m，n都是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；

当m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数，故B中的结论正确；

当m是奇数，n是偶数时，幂函数在时无意义；故C中的结论错误；

当时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误．

故选AB．

【点睛】本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12．已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】作出分段函数的图象，数形结合确定以及，进而可得，构造函数结合函数的单调性即可得解.

【详解】当时，，

当时，，当时，，

作出函数的图象如下，

则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为，

因为有四个不同的解且，

所以，且，且，，

又因为

所以即，所以，

所以，且，

构造函数，

因为函数在上都是减函数，

所以函数在上单调递减，

所以，即，

所以.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

三、填空题

13．化简：      ．

【答案】

【分析】利用对数的运算性质即可化简求值.

【详解】

．

故答案为：

14．已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第      象限.

【答案】二

【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限.

【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点，

即，此时，

由于由向下平移五个单位得到，且过点，

由此可知不过第二象限，

故答案为：二.

15．定义在上的函数满足是偶函数，且，若，则     

【答案】/

【分析】由已知结合函数的奇偶性及对称性可求出函数的周期，然后结合周期，利用赋值法即可求得结果.

【详解】因为是偶函数，所以，

因为，

所以，

所以，所以，

所以的周期为6，

因为，，所以，

所以，所以，

所以，

故答案为：

16．对于三次函数，给出定义：设是的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设函数，则             .

【答案】－3033

【分析】由题意对已知函数进行二次求导，证明函数关于点中心对称，即，由此可得到结果.

【详解】因为，

所以，

设，则，

令，可得，

又，

所以，即，

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

四、解答题

17．国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》新的国家标准中规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：

该函数模型.根据上述条件，回答以下问题：

(1)前几日，一同学在2023届高考中考出726分的好成绩，周老师听闻后激动的喝下一瓶啤酒.按照试验结果，试计算周老师喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？

(2)中午12点周老师喝完1瓶啤酒后，突然想起来已经跟儿子多多约定好，下午放学6点半准时开车去接他回家，试计算周老师在喝完这1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？他能完成跟多多之间的约定吗？（时间以整小时计）（参考数据：）

【答案】(1)喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；

(2)喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车，所以周老师来得及接多多放学.

【分析】（1）由散点图可知在的范围内能取到最大值，利用正弦函数的性质求出最值即可；

（2）根据题意列出不等式求解即可.

【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，.

此时，

当时，即时，函数取得最大值为，

故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，

（2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时，

由，得，两边取自然对数得，即，

∴，

故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车.能够完成约定.

18．如图，平面ABCD是圆柱OO₁的轴截面，EF是圆柱的母线，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．

(1)求证：GH∥平面ABCD；

(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理可得，最后由线面平行的判定定理证明平面即可；

（2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，再利用向量的夹角公式可得答案．

【详解】（1）由题意知，平面平面，所以平面，

因为，所以平面平面，

因为平面，所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）以点为原点建立如图所示空间直角坐标系，

在中，由，得，

所以，

所以，

设平面的一个法向量为，则

由，得，令，得，

设平面的一个法向量为，则

由，得，令，得，

所以，

所以平面与平面的夹角的正弦值为.

19．在等比数列中，，且，，成等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．

【答案】(1)；

(2)40或37．

【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.

（2）由（1）的结论求出，再分奇偶求和作答.

【详解】（1）设的公比为q，由，得，解得，

由，，成等差数列，得，即，解得，

所以数列的通项公式是．

（2）由（1）知，，，

当k为偶数时，，令，得；

当k为奇数时，，令，得，

所以或37.

20．学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一､二､三､四名.首局中的第一名积3分，第二､三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.假设用户在首局获得第一､二､三､四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为.

(1)设用户首局的得分为，求的分布列；

(2)求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）按照求离散型随机变量分布列的步骤求解即可

（2）方法一，直接按照求离散型随机变量分布列的步骤求解即可；方法二，总得分是第一局和第二局得分之和，所以总得分的期望是第一局得分期望和第二局得分期望之和

【详解】（1）的所有可能取值为，，，

，，

其分布列为

（2）方法一：设总得分为，则的取值为，，，，

则，

，

的分布列为

所以.

方法二：.

设第二局得分为，则的取值为，.

则有，

化简得Y的分布列为

，

四人赛总分期望为

21．已知离心率为的椭圆C：过点，椭圆上有四个动点，与交于点.如图所示.  

(1)求曲线C的方程；

(2)当恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线与的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；

(3)若点的坐标为，求直线的斜率.

【答案】(1)

(2)是定值，定值为

(3)

【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点即可联立方程求解，

（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据斜率公式化简即可求解，

（3）根据向量共线满足的坐标运算，代入椭圆方程中，即可化简求解.

【详解】（1）由题意可知，

所以曲线C方程为

（2）由题意知，，，所以，，所以，

设直线CD的方程为，设，，

联立直线CD与椭圆的方程，整理得，

由，解得，且，

则，，

所以

，

故直线AD与BC的斜率之积是定值，且定值为.

（3）设，，，记（），

得，所以.

又A，D均在椭圆上，所以，化简得，

因为，所以，同理可得，

即直线AB：，

所以AB的斜率为.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22．已知函数 （，为自然对数的底数）．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当时，求证：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，再分，，和四种情况讨论即可得出答案；

（2）方法一：等价于，

当时，则，构造函数，利用导数求出即可得证.

方法二：当时，，令，令，则，构造函数，利用导数证明即可得证.

【详解】（1），

（ⅰ）当时，，所以，，

则在上单调递增，在上单调递减；

（ⅱ）当时，令，得，

①时，，

所以或，，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

②时，，则在上单调递增；

③时，，所以或，，

则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

综上，时，在上单调递增，在上单调递减；

时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

时，在上单调递增；

时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

（2）方法一：等价于，

当时，，

则当时，，则，

令，

令，

因为函数在区间上都是增函数，

所以函数在区间上单调递增 ，

∵，∴存在，使得，

即，

当时，，则在上单调递减，

当时，，则在上单调递增，

∴，

∴，故.

方法二：当时，，

令，

令，则，

令，则，

当时，，当时，，

∴在区间上单调递减，上单调递增，

∴，即，

∴.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.