2022-2023学年江西省龙南中学高二下学期6月期末考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省龙南中学高二下学期6月期末考试数学试题

一、单选题

1．已知，，则可表示不同的值的个数为（　　）

A．8 B．12

C．10 D．9

【答案】D

【分析】第一步先从集合中取一个值，得到对应的情况数，第二步再从集合中取一个值，得到对应的情况数，两次的情况数相乘并分析结果，由此可知可表示不同的值的个数.

【详解】因为从集合中任取一个值共有种情况，从集合中任取一个值共有种情况，

故可表示个不同的乘法计算，且经检验计算结果均不相同，

所以可表示不同的值有个．

故选：D.

2．已知为等差数列，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求.

【详解】设等差数列的公差为，则，

故，故，

故选：A.

3．直线l的方向向量为，，是平行于平面内两个不共线向量，下列关系中能推出的是（    ）

A． B．

C． D．以上均不能

【答案】D

【分析】根据A、B、C，只能推得或，即可得出答案.

【详解】对于A项，若，则或，故A项错误；

对于B项，若，则或，故B项错误；

对于C项，若，则或，故C项错误；

故选：D.

4．坐标轴与圆的交点个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】先求出圆心和半径，再分别求出圆心到两坐标轴的距离与半径比较可得结论.

【详解】圆，即圆，

所以圆，半径，

因为圆心到轴的距离为1，且，

所以圆与轴相交，即与轴有两个交点，

因为圆心到轴的距离为2，且等于半径，

所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点，

综上坐标轴与圆有3个交点，

故选：C

5．抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（    ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据题意，结合抛物线的定义，即可求解.

【详解】由抛物线的准线方程为，焦点，

因为抛物线上一点的纵坐标为2，

根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.

故选：B.

6．已知棱长为的正方体中，点P满足，其中，．当平面时，的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量结合线面平行求出的关系，再借助二次函数求出向量模的最小值作答.

【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，于是，

即有，向量是平面的一个法向量，

，则，而，

于是，因为平面，则，

即，化简得，即，

因此，当且仅当时取等号，

所以的最小值为.

故选：C

7．设，则的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解：由，构造和，利用其单调性比较.

【详解】解：由，

令，则，

所以在上递增，则，即，

则，即；

令，则，

所以在上递增，则，即，

则，即，

故选：C

8．已知函数，则对于方程．下列说法错误的是（    ）

A．若，则该方程无解

B．若，则该方程有一个实数根

C．若，则该方程有两个实数根

D．若，则该方程有四个实数根

【答案】C

【分析】先画出的图象，令后方程可转化为一元二次方程，根据的取值情况结合的图象进行判断即可.

【详解】函数的定义域为，

当时，，

时，，单调递减，

且此时当趋近于0时，趋近于，故，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

则时，，

而时，，

故可得的图象如图所示：

令，则方程化为，

对于A，时，，即方程无实根，

故无实根，从而方程无实根，故A正确；

对于B，时，方程即为，

即，所以，则，由的图象可知，

此方程只有一个实根为，故B正确；

对于C，由得，此为关于的对勾函数，

在时单调递增，在时单调递减，

图象如图所示：

时或，由函数的图象可知，

当时，方程有两个实根，

不妨设，则有，，

则此时没有实根，有两个或三个实根，故C错误；

对于D，时，方程有两个实根，

不妨设，则有，，

则此时有一个实根，有三个实根，故D正确.

故选：C

【点睛】思路点睛：对于复合函数的方程问题，常通过换元法转化，逐层考虑方程的根的情况进行求解.

二、多选题

9．设数列、都是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】取，，可判断A选项；利用等比数列的定义可判断BD选项；取可判断C选项.

【详解】设等比数列、的公比分别为、，其中，，

对任意的，，，

对于A选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，

但对任意的，，

故数列不是等比数列，A不满足条件；

对于B选项，，即数列为等边数列，B满足条件；

对于C选项，当时，，此时，不是等比数列，C不满足条件；

对于D选项，，故为等比数列，D满足条件.

故选：BD.

10．已知是的前n项和，，，则（    ）

A． B．

C． D．是以3为周期的周期数列

【答案】ABD

【分析】根据递推公式求出数列的前几项，即可得出D项；根据周期性，即可判断A、C项；求出的值，结合周期性，即可得出B项.

【详解】由已知可得，，，，，，

所以，是以3为周期的周期数列.

对于A项，因为，所以，故A项正确；

对于B项，因为，所以，故B项正确；

对于C项，因为的周期为3，

所以，，，

所以，，故C项错误；

对于D项，由解析可知，是以3为周期的周期数列，故D项正确.

故选：ABD.

11．已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可.

【详解】因为等比数列的公比为，，

，

则，，即，

所以，，

所以，，故A正确，B正确；

所以，

，故C正确，D错误．

故选：ABC．

12．已知定义域为的函数的导函数为，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】构造函数，利用函数单调性比较大小.

【详解】令，则，所以函数在上单调递增.

因为，所以，即，所以，，故A错误.

因为，当且仅当时，等号成立，所以，

所以，即，所以，故B正确.

令，则.

当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以，所以，

所以，即，故C正确.

因为，所以，所以，所以，

所以，即，故D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根据条件构造函数，判断单调性，比较自变量的大小，可得函数值的大小.

三、填空题

13．函数在处的导数为        ．

【答案】

【分析】先用幂函数的求导公式求出导函数，再令即可求出答案

【详解】因为，

所以.

故答案为：

14．在正项等比数列中，，则数列的前10项和为      .

【答案】10

【分析】根据等比数列的性质得到，然后直接对数列求和，结合对数运算法则计算即可.

【详解】由等比数列的性质，得，

所以数列的前10项和为.

故答案为：10

15．已知函数，则的极小值为      ．

【答案】/-0.5

【分析】根据函数的导数与单调性、极值的关系求解.

【详解】函数的定义域为，

，

令，即，得，

令，即，得，

故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

故当时，函数取得极小值，极小值为．

故答案为: .

16．将数列中的项排成下表：

，

，，，

，，，，，，，

…

已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为      .

【答案】1344

【分析】根据所满足的条件，求出数列，由在表中的位置，得，所以每行等差数列公差，即可求第6行所有项的和．

【详解】解：∵(且)，

∴，即，

∴数列的通项公式为，（且），

观察表中各行规律可知，第n行的最后一项是数列的第项，

 ，∴在表中第8行第3列，

∵，且，∴公差；

∴第6行共有32个元素，则第6行所有项的和为

故答案为：1344．

【点睛】思路点睛：由的前项和满足，构造法求数列的通项公式，观察数列的规律，找到在表中的位置，结合的通项公式可求得表中每一行的公差，继而可求第6行所有项的和．

四、解答题

17．已知圆

(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；

(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，

（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.

【详解】（1）圆

化为标准方程为，

所以圆C的圆心为，半径为

①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．

②若直线的斜率存在，设直线的方程为即

由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，

所以，即，

解得，所以直线方程为

综上，所求直线的方程为或

（2）依题意，设

又已知圆C的圆心为，半径为2，

由两圆外切，可知，

所以，

解得或所以或，

所以所求圆D的方程为或

【点睛】本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于中档题．

先求出圆心和半径，然后分成直线斜率存在或不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径列方程可求得直线的方程．

设出圆D圆心坐标，利用两圆外切，连心线等于两圆半径的和列方程，可求得a的值，从而求得圆D的方程．

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用与的关系变形给定的递推公式，构造常数列求出数列的通项，再利用等差数列定义推理作答.

（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求和作答.

【详解】（1）数列中，，当时，，

两式相减得，即，则，

于是，因此数列是常数列，则，

从而，即，

所以数列是以1为首项，为公差的等差数列.

（2）由（1）知，，

所以.

19．如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．

(1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标；

(2)求的余弦值．

【答案】(1)，；坐标系见解析

(2)．

【分析】（1）根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可;

（2）根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得.

【详解】（1）因为，平面，所以平面．

又平面，平面，所以，．

又，所以，所以直线，，两两垂直，

以E为坐标原点，以，，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．

易得，，，

所以点D、G的坐标分别为， ．

（2）因为，所以，

，，

在中，，

即的余弦值为．

20．一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为，它们之间相互不影响，当系统中有不少于的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常工作.

(1)当时，求一天内制冰厂不亏本的概率；

(2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考：

方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元.

方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为元.请从期望损失最小的角度判断如何决策？

【答案】(1)；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据独立事件概率公式可得每台设备能正常工作的概率，然后根据对立事件概率公式可得一天内制冰厂不亏本的概率；

（2）根据条件分别计算不采取措施，采用方案1，采用方案2制冰厂的总损失的期望，然后比较即得.

【详解】（1）当时，每台设备能正常工作的概率为：，

所以一天内制冰厂不亏本的概率为；

（2）若不采取措施，设总损失为，当前每台设备能正常工作的概率为0.6，

故元；

设方案1、方案2的总损失分别为，，

采用方案1，更换3台设备的部分零件，使得每台设备能正常工作的概率为0.85，

故元；

采用方案2，对设备进行维护，使得每台设备能正常工作的概率为0.75，

故元，

又，且，

因此，从期望损失最小的角度，当时，可以选择方案1或2；

当时，选择方案2；

当时，采取方案1.

21．已知数列的前项和为，，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，的前项和为，若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的定义以及的关系求解；

（2）利用错位相减法可求得，在根据题意得即可求解.

【详解】（1）由，得，又，

所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，

∴，即，

∴当时，

，

又不满足上式，所以.

（2）由（1）知，∴，

∴，①

，②

①−②得：，

整理得，

又因为对任意的正整数，恒成立，所以，

∵，

∴在上单调递增，，

由，可得，

所以实数的取值范围是.

22．已知函数．

(1)若函数在时取得极值，求的值；

(2)在第一问的条件下，求证：函数有最小值；

(3)当时，过点与曲线相切的直线有几条，并说明理由注：不用求出具体的切线方程，只需说明切线条数的理由

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)有条，理由见解析

【分析】（1）求定义域，求导，根据为极值点得到方程，求出的值；

（2）在（1）的基础上，确定函数的极小值，结合函数特征，确定其也是最小值；

（3）设出切点，根据斜率列出方程，得到，将公切线条数转化为一元三次方程的根的个数，结合零点存在性定理求出答案.

【详解】（1）已知，函数定义域为R，

可得，

若函数在时取得极值，

此时，

解得，

当时，，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以是极大值点，满足条件，

综上所述，；

（2）由知，，，

函数在处取得极小值，且，

而，

当时，恒成立，

故在处取得极小值，也是最小值，最小值为；

（3）当时，，

此时点不在函数的图象上，

不妨设过的切线的切点为，

可得，

因为，

所以，

又，

整理得，

要求过点与曲线相切的直线有几条，

即求关于的一元三次方程的实数根的个数问题，

不妨设，

因为，

所以在，，内各有一个实数根，

又因为在实数范围内最多有三个根，

则有三个不相同的实数根，

所以过点与曲线相切的直线有条．

【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.