江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高二创新部下学期期末考试数学试题

这是一份江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高二创新部下学期期末考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．已知，则m等于（ ）
A．1B．3C．1或3D．1或4
3．从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．若直线与直线垂直，则实数（ ）
A．0B．C．D．1
5．一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且，则（O为坐标原点）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，，则
10．现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
11．如图，四边形为正方形，平面平面，且为正三角形，，为的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．平面
C．直线与所成角的余弦值为
D．二面角大小为
12．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且都在轴的上方，（为坐标原点），记的面积分别为，则（ ）
A．直线的斜率为B．直线的斜率为
C．D．
三、填空题
13．在空间直角坐标系中，，，若，则实数__________.
14．从数字中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有__________个.
15．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为______.
16．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则下列说法正确的是__________.
①线段的最大值是
②③与一定异面
④三棱锥的体积为定值
四、解答题
17．已知点在圆上．
(1)求该圆的圆心坐标及半径长；
(2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长．
18．无论是国际形势还是国内消费状况，2023 年都是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果．某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传．为了解大众传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x(单位：万元)和销售额y(单位：万元)的数据如下：
(1)求y关于x的线性回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时(结果取整数)，销售额能突破100万元；
(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为，若，则称这次宣传策划是高效的，否则为非高效的．从这6家卖场中随机抽取3家，求这3家卖场中至少有1家宣传策划高效的概率．
附：参考数据 回归直线方程中和的最小二乘法的估计公式分别为：
19．已知.
(1)若，求的值；
(2)求的展开式中系数最大的项.
20．某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是，且每个选题正确完成与否互不影响.
(1)分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数的概率分布列（列出分布列表）；
(2)请分析比较甲､乙两位考生的操作能力.
21．如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，是棱上两点（在的上方），且.
(1)若，求证：平面；
(2)当点到平面的距离取得最大值时，求的长.
22．已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为2，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知是直线上的一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与椭圆相切于点，且以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
2022-2023（下）江西省宜丰中学创新部高二期末考试
数学参考答案：
1．D【详解】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，所以，0-3n+3=0，解得.
因为直线的斜率为，由已知可得，直线mx+ny+3=0的斜率为，即.
所以.故选：D.
2．C【详解】由可知:或者,解得:或故选：C
3．A【详解】令事件为甲被选中的情况，事件为乙被选中的情况，故，，
故．故选：．
4．B【详解】直线与直线垂直，则，解得．
5．A【详解】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，
记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，则，，，，
由全概率公式可得，
，因此，.故选：A.
6．C【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，，
则，，则，
所以，异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.
7．B【详解】如图所示：作点关于的对称点，连接，设点，不妨设 ，由题意知，直线l方程为，则，得
所以，得 ，所以．由，当三点共线时取等号，又所以的最小值为
8．D【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形，腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即，
而椭圆的短轴长，即，所以椭圆的离心率
9．ACD【详解】对于A中，由随机变量服从两点分布且，则，故A正确；对于B中，由随机变量的方差，可得，故B错误；对于C中，由变量服从二项分布，则，所以C正确；对于D中，由随机变量服从正态分布，，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以D正确.故选：ACD.
10．ABD【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故错误；对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，正确；对于，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，错误；故选：．
11．ACD【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面，
又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，，，，则，A对；，易知平面的一个法向量为，，故与平面不平行，B错；，，所以，直线与所成角的余弦值为，C对；
设平面的法向量为，，，则，取，则，所以，，由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角为，D对.故选：ACD.
12．BC【详解】设，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义可得，所以，，所以，故A项错误；B项正确；，所以，C正确，D错误，故选：BC.
13．4【详解】由题意得，，即，所以，解得.
14．72【详解】满足数字之和为5的两个数字为，故千位和百位上的数字排列有种情况，再考虑个数，有种选择，最后考虑十位，有6种选择，故这样的偶数共有个.
15．/【详解】双曲线的渐近线的方程为.圆的标准方程为：，故该圆的圆心为，半径为2，
而圆心到渐近线的距离为，故渐近线被该圆截得的弦长为，
整理得到：或，而，故，故离心率为.故答案为：.
16．①④【详解】如图，延长至，使得，则有取的中点，连接，则有，连接并延长交于点，则点为的中点.因为，平面，平面所以平面.
同理可得平面.又，在平面内，且相交于点，所以平面平面.故点在线段上.由图知，，故选项①正确；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，，.
，，.
因为，所以与不垂直，
而点在线段上，所以条件不一定成立，故选项②错误；
如图，连接，，，则有，且，
故四边形为梯形，与为相交直线，故选项③错误；
因为点，分别为，的中点，所以.又平面，平面，所以平面.故线段上的点到平面的距离都相等.又点在线段上，
所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故选项④正确.故答案为：①④.
17．（1）因为点在圆上，所以，解得，
所以该圆的标准方程为，所以该圆的圆心坐标为，半径长为；
（2）直线的方程为，即，则圆心到直线的距离，
所以.
18．（1）
所以 所以 令，解得(万元)．故当宣传费用至少为25万元时，销售额能突破100万元.
（2）由题意知宣传策划是高效的仅有2家，记作a，b，余下的记作A，B，C，D．
所以从中取出3家，基本事件有：abA，abB，abC，abD，aAB，aAC，aAD，aBC，
aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，ABC，ABD，ACD，BCD，共20个，
其中至少含有1家宣传策划是高效的有：abA，abB，abC，abD，aAB，aAC，aAD，
aBC，aBD，aCD，bAB，bAC，bAD，bBC，bBD，bCD，共16个，故所求概率
19．（1）展开式的通项，则展开式含的项为，故，中，令，则，令，则，则.（2）设，，，由，得，即，解得，因为，则当时，有最大值240，因此展开式中最大项为.
20．（1）记考生甲正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有，
且，，
所以，考生甲正确完成选题数的概率分布列如下表：
记考生乙正确完成试题的个数分别为，则的可能取值有，
且，，
所以，考生乙正确完成选题数的概率分布列如下表：
（2），
，
从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为，因此可以判断甲考生的操作能力更强.
21．（1）连接交于，连接，因为为的中点，是正方形，所以；因为，所以，所以，
因为平面平面，所以平面；
（2）在四棱锥中，因为，所以的面积为定值，又点A到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值；要使点到平面的距离最大，则需的面积最小，即到的距离最小；由题知，以A为坐标原点，为轴建立如图空间直角坐标系，则，由于平面，平面，故,而，故为等腰直角三角形，即；设到的距离为，则，，
故到的距离为，
对于二次函数，其图象对称轴为，当时，取到最小值，此时到的距离最小，此时点到平面的距离最大，所以.
22．（1）设椭圆的方程为，由题知，，即，所以焦点，由椭圆的定义得：，
即,故椭圆的标准方程为；
（2）如图所示：
由题易知直线存在斜率，设直线的方程为，
联立，得，
由，得；①
，即切点的坐标为 又的坐标为，以为直径的圆过点，则，
， 则，
化简，得，上式对满足①式任意的成立，则，故存在直线满足题意.卖场
1
2
3
4
5
6
宣传费用
2
3
5
6
8
12
销售额
30
34
40
45
50
60
1
2
3
0
1
2
3