2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合.

【详解】解，得，则，

又因为，所以.

故选：C.

2．已知函数若，则实数的值为（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【分析】分和讨论即可.

【详解】当时，，解得；

当时，，解得.

故选：D.

3．如图，函数的图象在点处的切线是，则（    ）

A． B． C．2 D．1

【答案】D

【分析】求出切线方程，由导数的几何意义得，由切线方程得，从而可得结论．

【详解】由题可得函数的图象在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，

则切线，

，，.

故选：D．

4．已知随机变量，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二项分布的期望和方差公式，结合二项分布的定义即可求解.

【详解】由，，得，，

解得，，

所以.

故选：A.

5．已知函数满足性质：①在定义域上有；②，恒有，则函数可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可结合选项逐一求解.

【详解】由①，得，即函数是奇函数.由②，得，即函数在上单调递增.

A选项：是正比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意；

B选项：是奇函数.当时，.因为在上单调递增，所以在上单调递增，符合题意；

C选项：是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意；

D选项：是反比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意.

故选：B.

6．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，的值为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质即可求解，，进而可求.

【详解】在等差数列中，由，得，则.

又，由于，所以，所以当时，取得最小值.

故选：B.

7．下列说法正确的是（    ）

A．已知，则“”是“”的充分不必要条件

B．若不等式的解集为，则

C．若，则

D．函数的最小值是

【答案】C

【分析】根据充分不必要条件的判断可求解A，根据一元二次不等式与一元二次方程的解之间的关系可判断B，根据不等式的性质可判断C，根据基本不等式可判断D.

【详解】A选项：由得，解得，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误；

B选项：由题意得关于的方程的根为和2，所以，B错误；

C选项：因为，所以，，，所以，所以，C正确；

D选项：因为，当且仅当时等号成立，此时无实数解，所以的最小值不是，D错误.

故选：C.

8．设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.

【详解】设，

，即，

，

在上单调递减，又，

不等式，

即，，

原不等式的解集为.

故选：D

【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】应用导数的乘除法运算律判断B,C,D选项，应用复合函数求导判断A选项.

【详解】A选项：，A正确；

B选项：，B错误；

C选项：，C错误；

D选项：，D正确.

故选：AD.

10．已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】BCD

【分析】根据以及二次函数的性质可得是的最小值点，即可结合选项逐一求解.

【详解】因为满足关于的方程，所以，所以在处取得最小值.

由A选项，得在处取得最大值，A选项为假命题；

由B选项，得在处取得最小值，B选项为真命题；

C选项，当时，，C选项为真命题；

D选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题.

故选：BCD.

11．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，若函数和之间存在“隔离直线”，则实数的取值可以是（    ）

A．-5 B．0 C．4 D．7

【答案】CD

【分析】根据隔离直线的定义，即可将问题转化为和对任意的恒成立，求解最值即可求解.

【详解】若函数和之间存在隔离直线，

则对任意的，，即，

而，当时等号成立，

所以；

对任意的，，则.

因为，当且仅当时，等号成立，所以，

所以，所以实数的取值可以是4或7.

故选：CD.

12．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（    ）

A．m＝3 B．

C． D．

【答案】ACD

【解析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出，列式即可求出，从而求出通项，

再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．

【详解】∵a11＝2，a13＝a61+1，∴2m2＝2+5m+1，解得m＝3或m（舍去），

∴aij＝ai1•3j﹣1＝[2+（i﹣1）×m]•3j﹣1＝（3i﹣1）•3j﹣1，

∴a67＝17×36，

∴S＝(a11+a12+a13+……+a1n)+(a21+a22+a23+……+a2n)+……+(an1＋an2＋an3＋……＋ann)

（3n﹣1）•

n（3n+1）（3n﹣1）

故选：ACD.

【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前项和公式的应用，属于中档题．

三、填空题

13．已知某品种小麦的穗粒数服从正态分布，且，则该品种小麦的穗粒数超过粒的概率为           .

【答案】/

【分析】随机变量服从，根据正态曲线的对称性进行求解.

【详解】由题可得该品种小麦的穗粒数超过42粒的概率

.

故答案为：.

14．方程的解集为      .

【答案】

【分析】根据题意，化简方程为，进而求得方程的解.

【详解】由方程，

所以或或，故该方程的解集为.

故答案为：.

15．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为      cm．

【答案】

【分析】写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值.

【详解】设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，，于是，递减；，递增，是极小值点，于是在，只可能使得最大.

故答案为：

16．已知函数与的定义域均为，，且为偶函数，则           ．

【答案】248

【分析】由抽象函数变形为和，再利用奇数项和偶数项的关系求和.

【详解】①

因为是偶函数，所以，

用替换x，得，条件化为②，

所以，①+②得，在②中用替换x，得③，则①-③得，

则，，

在①中令，可得，所以．

在中令，得，

又，所以，再由知．

所以．

故答案为：248

四、解答题

17．已知数列的前项和为，，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由条件可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得到结果；

（2）根据题意，由等差数列的前项和公式，即可得到结果.

【详解】（1）由，解得.

因为，

所以.

又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以，

所以.

（2）由（1）得，所以，

所以，

所以.

18．玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”求：

(1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率；

(2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据全概率公式即可求解，

（2）由贝叶斯公式即可求解.

【详解】（1）由题设可知，，，，且，，，

所以

.

即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.

（2）因为，

所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是.

19．已知函数，其中为常数，函数是其导函数，且满足，.

(1)求函数的解析式；

(2)若函数在某点处的切线过点，求该切线的一般式方程

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出，列方程组即可求解；

（2）先判断出点不是切点，可设切点为，由导数的几何意义和过两点的斜率公式，列方程即可求解.

【详解】（1）由，得，

所以

解得，

所以函数的解析式为.

（2）因为，

所以点不在函数的图象上，即其不是切点，则设切点为.

，则该切线的斜率为.

又因为该切线过点，

所以，解得或.

当时，，此时切线方程为；

当时，，此时切线方程为，即.

综上所述，该切线的一般式方程为或.

20．已知等差数列的首项为，公差为2.数列满足

(1)求取得最小值时的值；

(2)若，证明：.

【答案】(1)2；

(2)证明见解析.

【分析】（1）利用累加法结合等差数列的求和公式即得；

（2）利用裂项求和法结合条件即得.

【详解】（1）由，得，

累加可得：，

所以，

显然取最小值时，的值为2.

（2）若，则，即，

所以

显然时，，

可得.

21．旅游承载着人们对美好生活的向往.随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代.某旅游景区为吸引旅客，提供了A，B两条路线方案.该景区为进一步了解旅客对这两条路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：

(1)根据以上数据，在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关吗?

(2)某人计划到该景区旅游，预先在网上了解了对这两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价“好”或“一般”的可能性以前面统计的占比为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条路线?请用计算说明理由.

附：，其中.

【答案】(1)可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关

(2)这个人会选择A路线，理由见解析

【分析】（1）利用独立性检验求解即可；

（2）X、Y的可能取值为6,9,12,15，分别求出概率，求出期望即可.

【详解】（1）由题意，得，，，，，

所以，，，，

所以.

因为50>10.828，

所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，可以认为对A，B两条路线的选择与性别有关.

（2）A路线的好评率为，评价为一般为，

B路线的好评率为，评价为一般为，

设A路线和B路线累计分数分别为，，

则，的可能取值都为6，9，12，15，

则，

，

，

，

所以.

，

，

，

，

所以.

因为，所以这个人会选择A路线.

22．已知函数.

(1)若，讨论函数的单调性和极值情况；

(2)若，求证：当时，；

(3)若，求证：当时，.

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）求出的导数，判断导数取值范围进而确定的单调性，进而可求极值；

（2）求出二次导数，判断出单调递增，代入求出在的取值范围，以此找出的最小值即可；

（3）在（2）的基础上讨论的取值范围，将a进行分类讨论，判断出的单调区间，找出最小值即可.

【详解】（1），则.

令，则.

当时，；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以在处取得极小值.

（2）证明：当时，因为，

令，则，

故在单调递增.

当时，，

故在单调递增，则.

（3）证明：由（2）可知在上单调递增，.

①当时，，

故在单调递增，

所以；

②当时，.

因为，

故存在使得（*）.

又因为在单调递增，

所以当时，；

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故.

由（*）得，代入上式，

得.

因为，令，

所以，.

当时，，

所以在上单调递增，

所以，

所以，则，

所以当时，，即得证.

【点睛】方法点睛：函数零点与参数的变换.

在此题中，当函数的导数存在零点时，函数最小值会随着参数的变化而变化，此时函数中存在两个变量，不易判断出函数的最小值.解决此问题的方法为假设函数最小值点，也就是假设导函数的零点，在导函数中代入零点构造方程即可将参数用零点表示出来，再代回原式即可得到只有一个变量的函数解析式.