2022-2023学年辽宁省县级重点高中联合体高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省县级重点高中联合体高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可得答案.

【详解】由否定的定义可得，命题“，”的否定是，.

故选：A

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先解一元二次不等式，再求交集.

【详解】因为，所以．

故选：C

3．若函数是奇函数，则（    ）

A．0 B．1 C．－1 D．

【答案】C

【分析】由奇函数性质求得，再检验．

【详解】的定义域是，

由题意，，

，则，是奇函数，

故选：C．

4．已知，，且，则的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】D

【分析】利用“乘1法”与基本不等式即可得出．

【详解】，

当且仅当，时，等号成立．

故选：D.

5．已知函数在R上为减函数，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数单调性，结合分段函数单调性分析求解.

【详解】由题意可得，解得，

所以的取值范围是.

故选：C.

6．已知，则必有（    ）

A． B．且

C． D．且

【答案】D

【分析】由，得，，再根据作差法变形两两判断即可.

【详解】因为，所以，

所以

，所以，

，所以，

符号不能确定，所以的大小不能确定

所以且.

故选：D.

7．已知数列满足，且（），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用题给条件求得（），列出关于的方程，进而求得的值.

【详解】

（），

，解得.

故选：A

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据的放缩得到；通过作差法比较和，构造，利用 ，即即可得到答案.

【详解】对于和，因为，所以，即．

对于和，，．

令函数，在上单调递增，

因为，所以，

即，所以，即，

故．

故选：B

【点睛】方法点睛：本题考查构造函数比较大小问题.比较大小的常见方法有：

（1）利用作差法或者作商法与特殊值比较；

（2）构造相关函数，利用导数研究其单调性进而比较函数值；

（3）利用中间量进行放缩比较.

二、多选题

9．下列四个命题中是真命题的有（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．“x为正方体”是“x为长方体”的充分不必要条件

C．“”是“”的必要不充分条件

D．“”是””的充要条件

【答案】BCD

【分析】由结合充分必要条件的定义判断A；由正方形和长方形的关系判断B；由不等式的性质判断C；由对数的运算结合充分必要条件的定义判断D.

【详解】对于A，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误．

对于B，x为正方体，一定能得出x为长方体，反之不成立，所以“x为正方体”是“x为长方体”的充分不必要条件，B正确．

对于C，若，则，则未必成立，反之成立，所以“”是“”的必要不充分条件，C正确．

对于D，若，则，则，，反之亦成立，D正确．

故选：BCD

10．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函为，与函数，为“同族函数”．下列函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据“同族函数”存在不同区间能取到相同值域，结合各项函数的性质判断是否满足条件即可.

【详解】由题设，“同族函数”存在不同区间能取到相同值域，显然不符合，

对于关于对称，必存在不同区间能取到相同值域，满足题设，

对于在两侧各自递增，且值域均为R，满足题设；

对于，在、上对应的值域相同，满足题设.

故选：BCD

11．已知函数，若过点恰能作2条曲线的切线，则的值可以为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】BC

【分析】设切点坐标，写出切线方程，代入点，则得到的方程有两解，再转化为两个函数图像有两个交点解决问题.

【详解】设切点为，

切线的方程为.

代入点，可得，即.

因为切线过点恰能作2条曲线的切线，所以方程有2解.

令函数.

当或时，；当时，.

所以在和上单调递增，在上单调递减.

所以的极大值为，的极小值为，

所以或，解得或.

故选：BC.

12．是定义在R上的函数，为奇函数，为偶函数，，则（    ）

A． B．

C．4是的一个周期 D．在上至少有25零点

【答案】ACD

【分析】对于A，由为奇函数结合分析判断，对于B，由为奇函数，可得，从而可求出的值，对于C，根据为奇函数，为偶函数，分析判断，对于D，由函数的周期性和对称性分析判断.

【详解】对于A，因为为奇函数，所以，的图象关于点对称，

又，所以，A正确．

对于B，由，得，

所以，B错误．

对于C，由为偶函数，得，

所以，，

故，4是的周期，C正确．

对于D，由可得，

因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，

所以，，

所以在上至少有一个零点，

因为4是的周期，所以在上必有零点0，4，8…，96，共25个，即在上至少有25零点，D正确．

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性和对称性综合问题，解题的关键是根据为奇函数，可得的图象关于点对称，根据为偶函数，可得的图象关于直线对称，考查分析问题的能力，属于较难题

三、填空题

13．已知，则的最小值为      ．

【答案】4

【分析】由于可得，而已知，代入可求得的最小值.

【详解】

，

当且仅当，即时，等号成立．

14．记为等比数列的前n项和，已知，，则      ．

【答案】4

【分析】根据等比数列前项和的性质结合题意直接求解

【详解】因为为等比数列的前n项和，，，

所以由等比数列的性质可得，，成等比数列，

所以．

故答案为：4

15．某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过      年．（参考数据：取，）

【答案】12

【分析】由于林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，那么假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为，由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，可令，解不等式，再计算取精确值即可.

【详解】假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为．

由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍

则可得，得．

因为，

所以，故至少需要经过12年．

故答案为：12.

16．已知函数，则的零点个数为      ．

【答案】3

【分析】解法一：讨论，，结合导数得出的零点个数；解法二：画出与的图像，结合图像与得出的零点个数.

【详解】解法一：因为，所以．

当时，单调递增，且，

，所以在上有1个零点．

当时，．当时，，单调递减，

当时，，单调递增，，．

令函数，．当时，，单调递增，

，所以，所以在上有2个零点，

综上，有3个零点．

解法二：的零点个数，即函数与的图像的交点个数．

若，则，，，

即函数在处的切线方程为，

所以函数与的图像如图所示．

又，所以函数与的图像有3个交点，即有3个零点．

故答案为：3

四、解答题

17．已知函数．

(1)证明：若，则．

(2)求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由代入可计算，化简即可得证；

（2）由（1）可知，将代入即可求出的值.

【详解】（1）证明：

．

，．

．

（2）由（1）可知，．

又因为，所以．

18．已知函数，且.

(1)求的定义域；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据求得，再根据对数的真数大于零即可得解；

（2）根据对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）由题意可得，

即，所以，故，

从而，解得，

故的定义域为；

（2）由题意可得，，

因为，所以，

即，

则，解得，

故不等式的解集为.

19．已知数列的前n项和为，且，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由的关系结合等差的定义求解即可；

（2）由错位相减法求解即可；

【详解】（1）因为，所以．

又因为，．

所以，，即，，

所以是公差为2的等差数列．

因为，所以．

（2）．

，①

．②

①②得

，所以．

20．民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.

(1)求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式.

(2)当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.

【答案】(1)

(2)当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元

【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，即可结合的表达式求解，

（2）根据二次函数以及不等式求解最值，由分段函数的性质即可求解最大值.

【详解】（1）当时，；      

当时，.  

故

（2）当时，函数为开口向下的二次函数，且对称轴为直线

所以在上单调递增，   

故（万元）；     

当时，，    

当且仅当，即时，等号成立.   

即当时，（万元）.      

因为，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.

21．已知函数对一切实数，都有成立，且．

(1)求的解析式；

(2)若，，，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，结合得出的解析式；

（2）求出，，结合得出a的取值范围.

【详解】（1）解：令，可得，

即．

因为，所以．

（2）因为，所以．

令，因为，所以．

由题意可得，所以解得．

故a的取值范围为．

22．已知函数．

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若是的极大值点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；

（2）对求二次导，讨论，，三种情况，结合极大值的定义得出的取值范围．

【详解】（1）解：若，则，．

，．

故曲线在点处的切线方程为．

（2），．

因为是的极大值点，所以，，当时，，当时，．

令函数，，．

若，即，则存在，使得当时，，

即在上单调递增，从而，不符合题意．

若，即，．

令函数，，所以是增函数，

当时，，即当时，，，所以在上单调递增，不符合题意．

若，即，则存在，使得当时，．

所以在上单调递减．

又因为，所以当时，，当时，，

即在上单调递增，在上单调递减，符合题意．

综上，a的取值范围为．

【点睛】关键点睛：在解决第一问时，关键在于利用导数得出切线的斜率，进而由点斜式写出方程.