2022-2023学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，分析可知，由集合的包含关系可得出实数的取值范围.

【详解】解不等式，即，解得，即，

因为，且，则，所以，.

故选：B.

2．“ ”的一个充分条件是（    ）

A． B．  C． D．

【答案】D

【分析】解不等式直接证明，或举特例判断.

【详解】根据得为任意实数，所以A错；

由，得，当且时，有；当且时，有，不满足题意，所以B错；

因为满足，也满足，不满足题意，所以C错；

因为，所以，所以能推出，满足题意，D 正确.

故选： D.

3．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对数函数的单调性判断，根据指数函数的单调性可判断，可得答案.

【详解】由题意知，，

所以，

故选：D.

4．函数在上的图象的大致形状是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析函数的奇偶性以及在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，

，

所以，函数为偶函数，排除CD选项，

且当时，，，则，排除B选项.

故选：A.

5．质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“”（p是素数）型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“”（p是素数）形式的素数称为梅森素数．已知第12个梅森素数为，第14个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）参考数据：

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】近似化简，结合对数运算求得正确答案.

【详解】，令，两边同时取常用对数得，

∴，∴，结合选项知与最接近的数为.

故选：C.

6．若为奇函数，则实数a，b的值分别为（    ）

A．e，1 B．，1 C．e， D．，

【答案】C

【分析】由和是方程的两个根得出的值，再由奇函数的定义得出的值.

【详解】，

当时，，所以和是方程的两个根，

所以，即，

因为，所以，

即，即.

故选：C

7．已知实数a，b满足，，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】结合已知条件转化为相同的形式，然后构造函数，通过研究函数的单调性可得，进而结合对数的运算即可化简求得结果.

【详解】因为，所以，即，

又因为，即，

构造函数，则恒成立，

故在上单调递增，即存在唯一的实数，使得，

所以，所以，即，所以，

故选：C.

8．已知函数，，若有6个零点，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果.

【详解】由题可得函数图象，当或时，有两个解；

当时，有4个解；当时，有3个解；

当时，有1个解；

因为最多有两个解.

因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，.

则存在下列几种情况：

①有2个解，有4个解，即或，，显然，

则此时应满足，即 ，解得，

②有3个解，有3个解，设即，，

则应满足，无解，舍去，

综上所述，的取值范围为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：解决复合函数零点个数问题的时候，常用数形结合分析，分析各种情况后，往往会用到零点的存在性定理或根的分布情况来确定参数的取值范围.

二、多选题

9．（多选题）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据等比数列的公比，可知，A正确；由于不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系；根据题意可知等差数列的公差为负，所以可判断出C不正确，D正确．

【详解】对A，等比数列的公比，和异号， ，故A正确；

对B，因为不确定和的正负，所以不能确定和的大小关系，故B不正确；

对C D ，和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确.

故选：AD.

10．下面命题正确的是（    ）

A．不等式的解集为

B．不等式的解集为

C．不等式在时恒成立，则实数m的取值范围为

D．函数在区间内仅有一个零点，则实数m的取值范围为

【答案】ACD

【分析】解含参数的不等式判断AB；分离参数构造函数求出最小值判断C；利用二次函数零点分布求出m的范围判断D作答.

【详解】对于A，不等式化为，

解得，则原不等式的解集为，A正确；

对于B，不等式化为，解得，

不等式的解集为，B错误；

对于C，不等式在时恒成立，当时，成立，，

，恒成立，在上单调递增，

，当且仅当时取等号，因此，则，

所以实数m的取值范围为，C正确；

对于D，函数在区间内仅有一个零点，

则当在上有等根时，，解得，

当在上只有1个根时，，解得，

或或，解得，于是，

所以实数m的取值范围为，D正确.

故选：ACD

11．函数和有相同的最大值b，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进行求解即可.

【详解】对于AB，，

当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；

当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，

由，

当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即；

当时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，函数有最小值，没有最大值，不符合题意，

于是有，，因此选项AB正确，

对于CD，两个函数图像如下图所示：

由数形结合思想可知：当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，

不妨设，

且，

由，又，

又当时，单调递增，所以，

又，又，

又当时，单调递减，所以，

，

，于是有，即，

因为，所以选项C错误，D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式是解题的关键.

12．已知函数，下列选项正确的是（    ）

A．当有三个零点时，的取值范围为

B．是偶函数

C．设的极大值为，极小值为，若，则

D．若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为

【答案】ABD

【分析】由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用导数求出函数的极大值和极小值，结合求出的值，可判断C选项；设切点横坐标为，利用导数的几何意义可得出方程有三个不等的实根，可知，直线与函数的图象有三个交点，数形结合可判断D选项.

【详解】对于A选项，令可得，

令，则直线与函数的图象有三个交点，

，令，可得，列表如下：

如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对；

对于B选项，，该函数的定义域为，

，

故函数是偶函数，B对；

对于C选项，，令，可得，列表如下：

所以，，，

所以，，解得，C错；

对于D选项，设切点坐标为，则，

所以，曲线在处的切线方程为，

将点的坐标代入切线方程得，整理可得，

令，其中，则，

令，可得或，列表如下：

若过点可以作图象的三条切线，

则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：

由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

三、填空题

13．已知，，且，则的最小值是           .

【答案】/4.5

【分析】利用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.

【详解】由，，则，

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值是.

故答案为：

14．已知，若与的值域相同，则实数a的取值范围是      .

【答案】

【分析】利用导数得出函数的值域，进而由题设条件得出实数a的取值范围.

【详解】，

当时，；当时，；

即函数在上单调递减，在上单调递增，

，即，

因为与的值域相同，所以.

故答案为：

15．若为奇函数，则的表达式可以为      .

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义探讨函数的特性，再求出解析式作答.

【详解】函数中，必有，即或，

而函数是奇函数，即恒成立，

因此对定义域内任意实数有成立，即成立，

于是函数图象关于点对称，取，

所以的表达式可以为.

故答案为：

16．已知定义在上的函数满足，且关于对称，当时，.若，则      .

【答案】

【分析】推导出函数为偶函数，结合已知条件推导出函数是周期为的周期函数，由已知可得出，求出、的值，结合函数的周期性和奇偶性可求得的值.

【详解】因为函数关于对称，则，即，

所以，，即函数为上的偶函数，

又因为，则，

即，所以，。则，

所以，函数是周期为的周期函数，

又因为当时，，

则，①

在等式中，令可得，即，②

联立①②可得，，故当时，，

所以，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数，若曲线在处的切线方程为．

(1)求，的值；

(2)求函数在上的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；

（2）判断函数在上单调性，进而可得最值.

【详解】（1）由已知可得．

又，

所以．

（2）由（1）可知，，

令，解得或，

所以在和上单调递增，在上单调递减．

又，，

所以函数在上的最小值为．

18．已知数列的前项和，数列满足，.

(1)求数列、的通项公式.

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先利用求出，再利用累加法求出；

（2）先利用（1）结果求出，再利用等差数列求和公式进行求和即可．

【详解】（1）∵，∴，

∴，

当时，，

∴，

∵，

∴，…，，

以上各式相加得：

，

，

又符合上式，∴；

（2）由题意得，

时，,

当时，，

∴.

19．已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.

(1)求时的解析式；

(2)求函数的值域.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用奇函数性质求的解析式；

（2）由（1）得，应用基本不等式、函数单调性求在对应区间上的值域，即可得答案.

【详解】（1）令，则，故，而，

所以，则.

（2）由（1）知：，

当，，当且仅当时等号成立，此时；

当，单调递增，则；

综上，函数值域为.

20．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下表

(1)根据上表数据，从①，②，③，④中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；

(2)记你所选取的函数，若对任意，不等式恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)选择，该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元

(2).

【分析】（1）从题表的单调性入手，选出，再用待定系数法求解；

（2）不等式变形为在上恒成立，只需，分与两种情况，求出相应的函数最小值，列出不等式，求出实数k的取值范围.

【详解】（1）由题表知，随着时间的增大，的值随的增大，先减小后增大，而所给的函数，和在上显然都是单调函数，不满足题意，故选择．

把，，分别代入，得，

解得，

∴，．

又，

∴当且仅当时，即当时，y有最小值，且．

故当该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元；

（2）原不等式可以整理为：，，

因为对，都有不等式恒成立，

则．

（i）当时，，

当且仅当时，即当时， ．

∴，

解得，不符合假设条件，舍去．

（ii）当时，在单调递增，故，

只需．

整理得：，

∴（舍去），

综上，实数k的取值范围是．

21．已知函数，.

(1)若的定义域为，值域为R，求a的值：

(2)在条件（1）下，当，时，总满足，求c的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由定义为，可得恒成立；由值域为可得，能取到内任意实数，即可得的值；

（2）根据函数的单调性可求解

【详解】（1）因为的定义域为，

所以且，恒成立，

又因为值域为，所以能取到内任意实数，

故；

（2）因为，所以，

所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所以在,上单调递减，

，

则题目可转化为： 恒成立，即，

因此，故

故的取值范围为

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.

【答案】(1)结论见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答.

（2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答.

【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，

若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，

若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；

所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）由，两边取对数得，即，

由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

，而，时，恒成立，

因此当时，存在且，满足，

若，则成立；

若，则，记，，

则，

即有函数在上单调递增，，即，

于是，

而，，，函数在上单调递增，因此，即，

又，则有，则，

所以.

【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.