2022-2023学年广西壮族自治区钦州市高二下学期期末教学质量监测数学试题含答案

2022-2023学年广西壮族自治区钦州市高二下学期期末教学质量监测数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A．0.5 B．0.35 C．0.25 D．0.17

【答案】C

【分析】根据条件概率公式结合题意直接求解即可.

【详解】因为，

所以．

故选：C

2．已知函数，则（    ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】A

【分析】求导函数，由此可求.

【详解】因为，所以，

解得.

故选：A

3．已知x和y之间的几组数据如下表:

根据表中数据得到y关于x的经验回归方程为，则预测当时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用样本中心点求得，从而进行预测.

【详解】，

所以，故，

当时，.

故选：D

4．设是数列的前项积，则“”是“是等差数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由求出的表达式，结合等差数列的定义可判断充分条件；举特例可判断必要条件，综合可得结论.

【详解】若，则；当时，.

所以，对任意的，，则，此时，数列是等差数列，

故“”能得出“是等差数列”；

若“是等差数列”，不妨设，则，

即“是等差数列”不能得出“”.

所以“”是“是等差数列”的充分不必要条件.

故选：A.

5．已知函数在处取得极值5，则（    ）

A． B． C．3 D．7

【答案】A

【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可．

【详解】函数，

则，

因为在处取极值5，

所以，解得：，

经检验满足题意.

故.

故选：A

6．在等差数列中，，则（      ）

A．4 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【分析】由已知条件可得，然后计算即可.

【详解】设等差的数列的公差为，

因为，所以，

所以，

所以，

故选：B

7．已知P是函数图象上的任意一点，则点P到直线的距离的最小值是（    ）

A． B．5 C．6 D．

【答案】A

【分析】设直线与直线平行，且与函数的图象相切，求出切点坐标，则问题转化为求切点到直线的距离，进而可求解.

【详解】设直线与直线平行，且与函数的图象相切，

设切点为，因为是单调递增函数，

直线的斜率为1，所以，解得，

即切点为，

所以点P到直线的距离的最小值是点到直线的距离，

即为.

故选：A

8．小华分期付款购买了一款5000元的手机，每期付款金额相同，每期为一月，购买后每月付款一次，共付6次，购买手机时不需付款，从下个月这天开始付款.已知月利率为，按复利计算，则小华每期付款金额约为（    ）（参考数据：，，）

A．764元 B．875元 C．883元 D．1050元

【答案】C

【分析】设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，根据已知条件，依次写出，，，，，结合及等比数列的前项和公式即可求解.

【详解】设小华每期付款金额为元，第期付款后欠款为元，

则，

，

，

，

因为，所以，

即，

所以小华每期付款金额约为883元.

故选：C.

二、多选题

9．已知两个随机变量满足，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，由二项分布的期望与方差公式代入计算即可得到，再由期望与方差的性质即可得到.

【详解】由题意可得,，

且，则，

.

故选：ABD

10．已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（    ）

A．有个极值点

B．是的极大值点

C．是的极大值点

D．在上单调递增

【答案】ABD

【分析】根据图象判断出的符号，由此确定正确答案.

【详解】根据函数的图象可知，

在区间，单调递增；

在区间，单调递减.

所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，

是的极小值点，

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

11．一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是（    ）

A．一百零八塔共有12层塔 B．088号塔在第11层

C． D．的值约为53.2

【答案】ABD

【分析】由等差数列的求和公式可判断A；可先求出第12层有19座塔，进而可判断B；由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即可判断C；由等差数列通项公式计算即可判断D.

【详解】设数列1，3，3，5，5，7…为，

由题意，构成等差数列，公差，，

设塔共有层，则，

解得，故A正确；

由于第12层有座塔，，

所以088号塔在11层最后第二个，故B正确；

由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，

所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即有，故C错误；

由C的分析可知，构成等差数列，公差，，

所以，故D正确.

故选：ABD

12．已知定义域为的函数的导函数为，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】构造函数，利用函数单调性比较大小.

【详解】令，则，所以函数在上单调递增.

因为，所以，即，所以，，故A错误.

因为，当且仅当时，等号成立，所以，

所以，即，所以，故B正确.

令，则.

当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以，所以，

所以，即，故C正确.

因为，所以，所以，所以，

所以，即，故D错误.

故选：BC

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是根据条件构造函数，判断单调性，比较自变量的大小，可得函数值的大小.

三、填空题

13．已知变量，且，则          .

【答案】/

【分析】由正态分布曲线的对称性求解即可.

【详解】因为，，所以，

所以.

故答案为：

14．某质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，则该质点在秒时的瞬时速度是           米/秒.

【答案】14

【分析】根据已知条件，结合导数的意义即可求解.

【详解】因为，所以，

当时，（米/秒）.

故答案为：14

15．设等比数列的前项和为，且，，则           .

【答案】60

【分析】根据已知条件及等比数列前n项和公式求得，再求

【详解】因为数列是等比数列，且，，

设首项、公比分别为，显然，，

所以，两式相除得，可得，

所以

故答案为：60

16．五一长假期间，某单位安排这3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率是          .

【答案】/0.4

【分析】根据条件概率公式可求出结果.

【详解】记“在五一长假期间值班2天”，“连续值班”，

则种，种，

所以.

所以已知在五一长假期间值班2天，则连续值班的概率为.

故答案为：.

四、解答题

17．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：

在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.

(1)求的值；

(2)能否有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关？

【答案】(1)

(2)没有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼之间有关联.

【分析】（1）根据题中所给数据比和表中数据直接求解；

（2）补全上述列联表，利用独立性检验求解.

【详解】（1）由题可知

解得.

（2）根据列联表及（1）中数据补全列联表，

经计算得到.

所以没有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼之间有关联.

18．在等差数列中，，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知得，解方程组可求出，从而可求得通项公式；

（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法求解即可

【详解】（1）设数列的公差为，

则，

解得，

故.

（2）由（1）知，

则，

所以.

19．已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)若在上单调递减，求a的取值范围．

【答案】(1)有极小值，无极大值

(2)

【分析】（1）求导，利用导数判断原函数单调性，进而可得极值；

（2）由题意分析可得在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数运算求解.

【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，

若，则，

且，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递减，在上单调递增，

所以有极小值，无极大值.

（2）由（1）可知：，

若在上单调递减，等价于在上恒成立，

整理得，由二次函数可得，解得，

所以a的取值范围为.

20．设数列的前项和为，，且.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与的关系可将题设的递推关系转化为关于的递推关系，从而可求其通项.

（2）利用错位相减法可求.

【详解】（1）因为，

故时，，

两式相减得，

又，，所以，故，满足上式，

故，且，

所以为等比数列，且首项为2，公比为3，从而.

（2），

故，

故，

所以

，

所以.

21．猜歌名游戏根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，节目组准备了两组歌曲的主旋律制成的铃声，随机从两组歌曲中各播放两首歌曲的主旋律制成的铃声，该嘉宾根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.已知该嘉宾猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，猜对组中每首歌曲的歌名的概率均是，且猜对每首歌曲的歌名相互独立.

(1)求该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率；

(2)若嘉宾猜对一首组歌曲的歌名得1分，猜对一首组歌曲的歌名得2分，猜错均得0分，记该嘉宾累计得分为，求的分布列与期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）先计算出该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率和该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率，进而利用对立事件求概率公式求出答案；

（2）求出的所有可能取值及对应的概率，写出分布列，计算出数学期望.

【详解】（1）该嘉宾一首歌曲的歌名都没有猜对的概率；

该嘉宾只猜对一首歌曲的歌名的概率.

故该嘉宾至少猜对2首歌曲的歌名的概率.

（2）由题意可得的所有可能取值分别是0，1，2，3，4，5，6.

没有猜对组中每首歌曲的歌名的概率为，没有猜对组中每首歌曲的歌名的概率是，

，

，

，

，

，

.

的分布列为

故.

22．已知函数．

(1)判断的单调性，并说明理由；

(2)若，证明：．

【答案】(1)在上单调递增，理由见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求出定义域后，对函数求导得，令，再求导，由的正负可得的单调区间，从而可求得，进而可求出其单调区间，

（2）设函数，对函数连续求导两次后可判断在上单调递增，则，所以，再利用的单调性可证得结论.

【详解】（1）定义域为，

由，得，

令，则，

当时，，则在单调递减；

当时，，则在单调递增．

所以，

所以在上单调递增．

（2）证明：因为，在上单调递增，

所以．

设函数，

则．

令，则

所以在上单调递减．

而，所以当时，，则在上单调递增，

所以，即，

所以．

又因为在上单调递增，

所以，即．

【点睛】关键点睛：第（2）问解题的关键是构造函数，，利用导数判断其在上单调递增，再利用和的单调性可证得结论.