[数学][期末]广西壮族自治区钦州市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测试题(解析版)

这是一份[数学][期末]广西壮族自治区钦州市2022-2023学年高一下学期期末教学质量监测试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（ ）
A. 四棱台B. 四棱柱C. 四棱锥D. 五棱锥
【答案】C
【解析】对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；
对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意；
对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意；
对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意.
故选：C.
2. 若是第二象限角，则是（ ）
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】B
【解析】由与的终边关于轴对称，可知若是第二象限角，则是第三象限角，
所以是第二象限角．
故选：B.
3. 已知四边形是平行四边形，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，得，
但由，得，不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知为平面外一点，则下列判断错误的是（ ）
A. 过点只能作一个平面与平行B. 过点可以作无数条直线与平行
C. 过点只能作一个平面与垂直D. 过点只能作一条直线与垂直
【答案】C
【解析】过平面外一点只能作一个平面与平行，故A正确；
平面外一点可以作无数条直线与平行，故B正确；
平面外一点只能作一条直线与垂直，故D正确；
平面外一点可以作无数个平面与垂直，故C错误.
故选：C.
6. （ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】因为，
即，
所以
.
故选：A.
7. 已知一个底面半径为2，高为的圆锥，被一个过该圆锥高的中点且平行于该圆锥底面的平面所截，则截得的圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意可得圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，高为，
故该圆台的体积.
故选：A.
8. 武当山，位于湖北省西北部十堰市境内，其自然风光，以雄为主，兼有险、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰犹如金铸玉瑑的宝柱雄峙苍穹，屹立于群峰之巅.环绕其周围的群山，从四面八方向主峰倾斜，形成独特的“七十二峰朝大顶，二十四涧水长流”的天然奇观，被誉为“自古无双胜境，天下第一仙山”.如图，若点为主峰天柱峰的最高点，为观测点，且在同一水平面上的投影分别为，，，由点测得点的仰角为，米，由点测得点的仰角为且，则两点到水平面的高度差约为（ ）（参考数据：）
A. 684米B. 732米C. 746米D. 750米
【答案】C
【解析】如图，过作交于，过作交于，
如图所示，因为，所以，又，
则，，
则，
又，所以，
由正弦定理，得，
，
即，
又，所以，
所以，
则两点到平面的高度差为
米.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 为奇函数
C. 的单调递减区间为，
D. 最小值为
【答案】AD
【解析】对于A，的最小正周期，A正确；
对于B，，所以为偶函数，B错误；
对于C，令，解得，
所以的单调递减区间为，C错误；
对于D，当，即时，的最小值为，D正确.
故选：AD.
10. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因为角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，
且，所以，所以，
由，可知，所以角为第二象限的角，所以，
所以，所以A错误，B正确；
所以，，所以CD正确.
故选：BCD.
11. 已知的内角的对边分别为，已知，锐角C满足，则（ ）
A. 的面积为B.
C. D.
【答案】BC
【解析】在中，因为，且，
由三角形的面积公式，可得，所以A错误；
由为锐角，且，可得，所以B正确；
由余弦定理得，可得，
所以C正确；
由余弦定理得，所以D不正确.
故选：BC.
12. 已知一个圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，将该圆锥加工打磨成一个球状零件，则（ ）
A. 该圆锥的底面半径为2
B. 该圆锥的高为
C. 该圆锥的表面积为
D. 能制作的零件体积的最大值为
【答案】BCD
【解析】由题意得该圆锥的母线长为4，
设圆锥的底面半径为，高为，
由，得，A错误；
则，B正确；
所以该圆锥的表面积为，C正确；
如图，圆锥内切球的半径等于(轴截面)内切圆的半径，
设的内切圆为圆，其半径为，
由，
得，得，
故能制作的零件体积的最大值为，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则_______.
【答案】
【解析】由题可知，
则.
故答案为：.
14. 已知为边长为1等边三角形，，则_______.
【答案】
【解析】因为，
为边长为1的等边三角形，
所以.
故答案为：.
15. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则_______.若，，则_______.
【答案】
【解析】设的外接圆半径为，则
，
由二倍角的余弦公式可得，
由余弦定理可得，故.
故答案为： .
16. 在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为___.
【答案】
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成的角是相等的，
所以水平面平行于平面A1BD，
又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题、共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，且与的夹角为.
（1）求的值；
（2）求在方向上的投影向量的模.
解：（1）由题可知，，
由数量积公式可知，即，解得.
（2）由（1）可得，
所以在方向上的投影向量的模为.
18. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求.
解：（1）
.
（2）因为，所以，又，
则，所以，
所以
.
19. 如图，在三棱锥中，已知，，且，、分别为、的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
解：（1）证明：因为、分别为、的中点，则，
因为平面，平面，因此，平面.
（2）因为，则异面直线与所成角为或其补角，
因为，，则为等边三角形，且，
因为为的中点，则，且，
易知是边长为的等边三角形，
因为为的中点，则，且，
因为，、分别为、的中点，则，
取线段的中点，连接，
因为，，则，
所以，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
20. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.
解：（1）由图象可知，函数的最小正周期为，则，
所以，，
因为，可得，
因为，则，所以，，解得，
因此，.
（2）将的图象向右平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，
则，
当时，，则，所以，，
因此，在上值域为.
21. 在中，角所对的边分别为，__________．
在①；②这两个条件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答．
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
解：（1）若选择条件①；
由正弦定理，
得，
即，
因为，所以，所以，则．
若选择条件②；
因为，由正弦定理可得，
即，
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以．
（2）由余弦定理，可得，则，
所以，则，
由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，
即取值范围为．
22. 如图，在长方体中，点在平面的射影为．
（1）证明：为的垂心．
（2）若，且点在平面的射影为点，求三棱锥的体积．
解：（1）因为平面，平面，所以，
又点在平面的射影为，即平面，
又平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可证，所以为的垂心.
（2）因为，所以，
记的中点为，则也是的中点，，由（1）知，
由（1）知，又在正方形中，，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
因为平面平面，
过作交于，则平面，
则平面，因为平面，所以与重合，
在四边形中，，
因为点在平面的射影为，点在平面的射影为，
所以，易知相似，
所以，得，同理得，
则，
易知平面，
所以.