2022-2023学年广西北海市高二下学期期末质量检测卷数学试题含答案

2022-2023学年广西北海市高二下学期期末质量检测卷数学试题

一、单选题

1．用列举法可将集合表示为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】列举出集合中的元素，结合集合的列举法，即可求解.

【详解】.

集合表示为.

故选：D.

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定形式得到答案.

【详解】根据存在量词命题的否定形式可知，

命题“”的否定为“”.

故选：B.

3．已知是等差数列的前项和，且，则（    ）

A．30 B．60 C．90 D．180

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质结合已知条件可求得，再利用等差数列的求和公式可求得结果.

【详解】由，解得，

所以，

故选：C.

4．已知实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】由已知可得代入中化简配方可求得其最小值.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当时，等号成立.

故选：.

5．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】借助中间值及指数函数与对数函数的单调性可以比较大小.

【详解】

故选：A.

6．函数的部分图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性以及时的函数值为正值，利用排除法即可得出答案.

【详解】因为，又函数的定义域为，故为奇函数，排除AC；

根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，排除D.

故选：B

7．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先判断当时不符合题意，再根据递推式子得到当时，必有，从而令，则或，进而得到答案.

【详解】因为当时，，

当时，对任意，因此不可能；

当时，，

同理当时，，

以此类推，当时，必有.

当时，令，则或，

因为当恒成立，

所以

故选：B

8．已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可.

【详解】当时，，且，

则二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，

所以在上有唯一零点，

因为有3个零点，所以在上有2个零点，

即与的图象有2个交点，

如图当直线与曲线相切时设切点为，所以解得，

由图可知，时，与的图象有2个交点，

所以实数的取值范围是.

故选：C.

二、多选题

9．已知偶函数在上单调递减，若，则满足的的值可能为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】CD

【分析】根据给定条件，利用偶函数及单调性，列出不等式求解作答.

【详解】因为偶函数在上单调递减，且，

则，因此，即，解得，

所以的值可能为1，2，选项AB不满足，CD满足.

故选：CD

10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在处取得极大值

D．在处取得极大值

【答案】AC

【分析】由的图象得出在对应区间上的符号，从而得出的单调性，从而可得出答案.

【详解】由的图象可知：

当时，，单调递减，故A正确；

当时，，单调递减；当时，，单调递增，故B错误；

当时，，单调递增；当时，，单调递减；

所以在处取得极大值，故C正确；

由于在上单调递增，所以在没有取得极大值，故D错误.

故选：AC.

11．下列说法中，正确的有（    ）

A．已知，则数列是递减数列

B．数列的通项，若为单调递增数列，则

C．已知正项等比数列，则有

D．已知等差数列的前项和为，则

【答案】ABD

【分析】由，可判定A；恒成立，可判定B；根据，，得到，可判定C；由构成等差数列，列出方程求得，可判定D.

【详解】对于A中，由，可得，所以数列是递减数列，所以正确；

对于B中，若数列的通项，

则恒成立，

所以，所以B正确；

对于C中，正项递增的等比数列，

若，可得，

此时，所以C不正确；

对于D中，等差数列的前项和为且，

根据构成等差数列，即构成等差数列，

可得，解得，所以D正确.

故选：ABD.

12．已知且，函数，则（    ）

A．若，则有且仅有1个零点

B．若，则在区间上单调递减

C．若有两个零点，则

D．若，则存在，使得当时，有

【答案】ABD

【分析】对于AC选项，构造函数，结合单调性和最值判断解的个数，对于B选项，结合零点存在性定理判断函数单调性，对于D选项，由对分析可知，存在，使得当时，不等式恒成立，即可判断.

【详解】对于A：时，.

则，即，

令时，，

在上，单调递增，在上，单调递减.

，所以此时有1个零点，所以A正确；

对于B：，

令为增函数，

，

因为，所以，则，所以，

所以在存在，使在上，在上，

所以在递减，在递增，且，

因为，所以，所以，

所以在上，所以在上递减，所以B正确；

对于C：时，有，

令时，，

在上，单调递增，在上，单调递减.

，

当时，，有两个零点，

当时，，有两个零点，

所以C项错误；

对于D：因为，由对分析可知，存在，

使得当时，不等式恒成立，即，

则对于恒成立，所以D项正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：（1）利用导数研究函数的单调性、零点等问题，往往要先构造函数，再利用导数研究函数的有关性质，例如本题涉及指数函数和幂函数常常构造形如形式的函数；（2）对于方程无法直接求根时，往往需要二次求导.

三、双空题

13．设等比数列的公比为，其前和为，且，则          ，          .

【答案】     16     31

【分析】根据已知条件结合等比数列的通项公式求出公比，然后利用等比数列的通项公式与求和公式可求得结果.

【详解】由，又因为，所以；

所以.

故答案为：16，31

四、填空题

14．是以2为周期的函数，若时，，则          .

【答案】3

【分析】直接根据函数的周期性求解即可.

【详解】因为是以2为周期的函数，若时，，所以.

故答案为：3.

15．已知函数在上存在极值点，则实数的取值范围是          .

【答案】

【分析】计算，然后转化为有解，可得的范围，最后进行检验可得结果.

【详解】，

由题意在上有解，则，

当时，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，当时，取极小值，即函数在上存在极值点.

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

16．设，若，则的最大值为          .

【答案】

【分析】由已知可解得，根据换底公式可得，根据基本不等式得出，然后根据对数运算性质即可得出答案.

【详解】因为，所以，

又，

所以.

因为，根据基本不等式有，

当且仅当，即时等号成立，

所以.

则，

所以的最大值为.

故答案为：.

五、解答题

17．已知函数，满足条件.

(1)求的解析式；

(2)用单调性的定义证明在上单调递增，并求在上的最值.

【答案】(1)

(2)证明见解析，.

【分析】（1）根据，代入得到方程组，解得即可；

（2）利用定义法证明，再根据单调性求出函数的最值.

【详解】（1）因为，且，

所以解得

所以；

（2）由，

设任意的且，

则

因为且，所以，

所以，则在上单调递增，

所以.

18．设等比数列的前项和为，公比，.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和为.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用基本量法，即可求解.

（2）利用分组求和即可求解.

【详解】（1）解：，解得，

；

（2）                         

.

19．中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦.2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十六号航天员乘组与神舟十五号航天员乘组太空在轨轮换．已知火箭起飞质量（单位：）是箭体质量（单位：）和燃料质量（单位：）之和．在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，其中为常数，且当燃料质量为时，火箭的最大速度为．已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为.

(1)求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；

(2)“第一宇宙速度”是指物体在环绕地球做匀速圆周运动所需达到的速度，也称为“航天器最小发射速度”．请问当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到（第一宇宙速度）？

【答案】(1)

(2)燃料质量至少是箭体质量的倍

【分析】（1）有题意可得，求得的值，即可得该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；

（2）设且，根据（1）中关系式，代入即可解得的值，从而得答案.

【详解】（1）因为火箭的最大速度（单位：）和的函数关系是，

又时，时，，

所以解得，

所以；

（2）设且，则，又，

所以时，可得，

即，解得，

故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到.

20．已知函数.

(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若，使得，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，将问题转化为，从而利用反比例函数的单调性即可得解；

（2）将问题转化为能成立问题，构造函数研究得的最值，从而得解.

【详解】（1）因为，所以，

因为在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立，

所以，易知在上单调递减，故，

所以.

（2）因为，使得，所以能成立，

则能成立，又，故能成立，

令，则，，

令，则恒成立，

所以在上单调递减，注意到，

所以当时，，则在单调递增；

当时，，则在单调递减；

所以，

故，即实数a的取值范围为.

【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转换上的区别：

恒成立问题：

（1）恒成立；恒成立．

（2）恒成立；恒成立．

（3）恒成立；恒成立；

（4），，．

有解问题：

（1）有解；有解．

（2）有解；有解．

（3）有解；有解．

21．已知函数的首项，且满足.

(1)求证：为等比数列，并求；

(2)对于实数，表示不超过的最大整数，求的值.

【答案】(1)证明见解析，

(2)610

【分析】（1）根据条件，得出，再利用等比数列的通项公式求出，进而求出结果.

（2）分组求和得出.根据错位相减法求，得出，即可得出，然后根据，即可得出答案.

【详解】（1）因为，

所以，

又因为，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，整理得到，

所以.

（2）因为，

所以

.

设，所以，

所以

所以，

所以.

因为，所以，

所以.

22．已知函数.

(1)若在处取得极值，求的极值；

(2)讨论的单调性.

【答案】(1)极小值为，极大值为；

(2)答案见解析

【分析】（1）由可求得实数a的值，进而可求极值；

（2）求得，对a、的符号进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间.

【详解】（1）因为，

所以，解得，

若，则，

所以，

令，解得；令，解得或；

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

此时在处取得极值，所以符合题意，

且，所以的极小值为，极大值为.

（2）由（1）可知：，

（i）当时，，

令，解得；令，解得；

所以在上单调递减，在上单调递增；

（ⅱ）当时，则有：

①若，即时，可知在上恒成立，所以在上单调递增；

②若，即时，

令，解得或；

令，解得；

所以在，上单调递增，在上单调递减；

（ⅲ）当时，则有：

①若，即时，则在上恒成立，所以在上单调递减；

②若，即时，

令，解得；

令，解得或；

所以在，上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减；

当时，在，上单调递减，在上单调递增.

【点睛】方法点睛：引起分类讨论的主要原因归纳一下主要由以下五种：

1.由数学概念引起的分类讨论；

2.由数学运算引起的分类讨论；

3.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；

4.由图形的不确定性引起的分类讨论；

5.由参数的变化引起的分类讨论.含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要用不同的求解或证明方法.