2022-2023学年广西百色市高二下学期期末教学质量调研数学试题含答案

2022-2023学年广西百色市高二下学期期末教学质量调研数学试题

一、单选题

1．五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是

A．54 B．5×4×3×2 C．45 D．5×4

【答案】C

【详解】由乘法原理可得：不同的选择种数是 .

2．设f(x)是可导函数，且，则（    ）

A．2 B． C．-1 D．-2

【答案】B

【分析】由已知及导数的定义求即可.

【详解】由题设，.

故选：B

3．若随机变量服从两点分布，其中，则以下正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质可判断.

【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则，

故，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确.

故选：D.

4．对具有线性相关关系的变量，有观测数据，已知它们之间的线性回归方程是，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，再由线性回归直线通过样本中心点即可求出.

【详解】由题意，，因为线性回归直线通过样本中心点，将代入可得，所以.

故选：A.

【点睛】本题主要考查线性回归直线通过样本中心点这一知识点的应用，属常规考题.

5．设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案.

【详解】由函数的图象，知

当时，是单调递减的，所以；

当时，先递减，后递增，最后递减，所以先负后正，最后为负．

故选：B．

6．甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，记事件：甲和乙选择的景点不同，事件：甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑，则条件概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用古典概型的概率公式求出和，在利用条件概率的公式求解.

【详解】由已知条件得,,

所以,

故选：C.

7．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】D

【详解】4项工作分成3组,可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：种．

故选D.

8．是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在上的单调递增求解.

【详解】解：令，

则，

因为，

所以，

则在上递增，

又是偶函数，且是定义在R上的奇函数，

所以是定义在R上的奇函数，

则在上单调递增，

所以，即，故A错误；

，即，故B错误；

，即，故C正确；

，即，故错误，

故选：C

二、多选题

9．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0实数的直线上，则（    ）

A．解释变量和响应变量是函数关系 B．相关系数

C．残差平方和为0 D．决定系数

【答案】ACD

【分析】根据散点图得这两个变量线性相关，由此可判断各选项．

【详解】样本点都落在一条斜率为非0实数的直线上，这条直线就是回归直线，它们的相关关系是一次函数，相关指数，相关系数满足，残差的平方和为0．故B错误.

故选：B．

10．若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（    ）

A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的排法总数共有120种

C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D．男女生相间排法总数为72种

【答案】AD

【分析】利用排列组合以及分步计数原理用捆绑法和插空法求解.

【详解】选项A，3男3女排成一排共计有种不同的排法，故A正确；

选项B，先将男生甲排在两端有种排法，再将剩余的人排列有种排法，

根据分步计数原理可知男生甲排在两端的排法总数有种，故B错误；

选项C，现将甲乙捆绑看成一体的排法有种，再将剩余的4人与捆绑元素排列的排法有种，

根据分步计数原理可知男生甲、乙相邻的排法总数为种排法，故C错误；

选项D，现将男生排列有种排法，将3个女生排入形成的4个间隔，要求男女生相间，则中间的2个间隔必须排人，即要么排前3个间隔要么排后3个间隔，有种排法，根据分步计数原理可知男女生相间排法总数有种，故D正确；

故选：AD.

11．已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ）

（参考数据：①；②；③）

A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分

B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多

C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人

D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为

【答案】BD

【分析】根据正态分布中的意义判断AB选项，根据计算对应的概率求出人数判断C，由独立重复试验计算至少有2人的分数超过90分的概率判断D.

【详解】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为，故A错误；

对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，故B正确；

对于C，时，，

故这次考试分数高于120分的约有人，故C错误；

对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知，

由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，故D正确.

故选：BD

12．已知函数，若，其中，则（    ）

A． B．

C． D．的取值范围为

【答案】BCD

【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B．

【详解】因为，所以，

令，解得或，

当时，或，所以单调递增区间为和；

当时，，所以单调递减区间为，

的图象如右图所示，

设，则，，故A错误；

又，所以，

即，

对照系数得，故选项C正确；

，故选项D正确；

因为，所以，解得，故选项B正确．

故选：BCD．

【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．

三、填空题

13．设曲线在处的切线方程为             ；

【答案】

【分析】求得切点坐标，求得切线的斜率，再利用直线的点斜式方程得到答案．

【详解】时，，所以切点为

由题意可得，所以切线的斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为．

故答案为：．

14．的展开式中含项的系数为             ；

【答案】

【分析】利用二项展开式的通项公式求解.

【详解】由，

令，则含项的系数为，

故答案为：.

15．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为           ．

【答案】

【分析】首先排好4个1,，即可产生5个空，再利用插空法求出2个0相邻与2个0不相邻的排法，再利用古典概型的概率公式计算可得；

【详解】解：将4个1和2个0随机排成一行，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为

故答案为：

16．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是             ．

【答案】

【分析】利用导数法，作出函数的大致图象，令，或，由没有解，得到的解的个数与方程解的个数相等求解.

【详解】解：当时，，所以，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

且，，，

当时，，当时，，

当时，与一次函数相比，函数增长更快，

从而，

当时，，所以，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

且，，

当时，，当时，，

当时，与对数函数相比，一次函数增长更快，

从而

当，且时，，

根据以上信息，可作出函数的大致图象：

令，

得或，由图象可得没有解，

所以方程的解的个数与方程解的个数相等，

而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，

由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点．

故答案为：

四、解答题

17．已知，N，若的展开式

中， ．

(1)求的值；

(2)求的值．

在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在上面（横线处）问题中，解决上面两个问题（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）利用二项式系数的性质分别求解；

（2）利用赋值法求项的系数和.

【详解】（1）在二项式的展开式中，

若选填①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即；

若选填②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，即；

若选填③，所有二项式系数的和为，则，即．故；

（2）由（1）知，于是中，取，得；

取，得

∴所求

18．某校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：

(1)依据的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关联？

(2)据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．

附：，其中．

【答案】(1)认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关

(2)

【分析】（1）假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，求得，再根据小概率值判断；

（2）设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，

“任意调查一人，此人患近视”，易得，，，，再由全概率公式求解.

【详解】（1）解：零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．

，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．

（2）设“长时间使用电子产品的学生”，“非长时间使用电子产品的学生”，

“任意调查一人，此人患近视”，

则，，，，

根据全概率公式有：

，

所以.

19．已知函数在处有极值，且曲线在点处的切线与直线平行.

（1）求；

（2）求函数在区间上的最值.

【答案】（1）；（2）最小值为－2，最大值为1.

【分析】（1）求出函数的导数，根据极值点的概念及导数的几何意义列出方程组求解a、b即可得解；（2）利用导数判断函数在区间上的单调性从而求出最值.

【详解】（1）函数的导函数为，

由题意得，解得，

∴.

（2）由（1）得，

当时，由，得或；

由，得，

函数在，上单调递增，在上单调递减，

∴函数在处取得极大值，在处取极小值，

∴，，，，

∴函数在区间上的最小值为－2，最大值为1.

【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的性质中的应用，属于中档题.

20．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.

(1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次和销售量的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）

(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：

其中令，.

根据（1）的判断结果及表中数据，求（单位：千件）关于（单位：十万次）的回归方程，并预测当观看人次为万人时的销售量；

参考数据和公式：，

附：对于一组数据、、、，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】(1)更适合；

(2)，预测当观看人次为万人时的销售量约为件.

【分析】（1）根据散点图中散点的分布情况可选择合适的回归模型；

（2）令，则，将表格中的数据代入最小二乘法公式，可求得、的值，进而可得出关于的回归方程，将代入回归方程可得出销售量.

【详解】（1）解：由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，所以选择回归方程更适合.

（2）解：令，则，

因为，，

所以，

又因为，，所以，

所以与的线性回归方程为，

故关于的回归方程为.

令，代入回归方程可得（千件）

所以预测观看人次为万人时的销售量约为件.

21．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.

(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；

(2)设甲公司答对题数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差；

(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，数学期望为，方差为；

(3)甲公司竞标成功的可能性更大.

【分析】（1）将甲乙共答对2道题的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用相互独立事件的概率，结合古典概率求解作答.

（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列，求出期望和方差作答.

（3）求出乙公司答对题数的期望和方差，与甲公司的比对作答.

【详解】（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题” 的事件为，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，

则有，

所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.

（2）设甲公司答对题数为，则的取值分别为，

，

则的分布列为：

期望，方差.

（3）设乙公司答对题数为，则的取值分别为，

，

，

则的分布列为：

期望，

方差，

显然，

所以甲公司竞标成功的可能性更大.

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数有两个相异零点，，求证：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）讨论，，结合导数研究在其定义域区间上的单调性即可.

（2）令，由，为两个相异零点可得，，应用分析法，证只需证即可，构造，应用导数研究其性质有，结论即得证.

【详解】（1）由题可知的定义域是，，

当时，，所以在上单调递增；

当时，令，解得，

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）因为函数有两个相异零点，，又由于，

故不妨设，且有，，

∴，

要证

，

令，则，所以只要证明，时恒成立，

令，，

，由于已知，

∴恒成立，所以在递增，

∴，

所以时，恒成立，即恒成立，从而证明.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．