2022-2023学年河南省安阳市滑县高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省安阳市滑县高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式化简集合A，B，再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式，得，即，

解不等式，得，即，

所以.

故选：B

2．已知O为坐标原点，复数，，在复平面内对应的向量分别为，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数与向量的关系结合向量垂直的坐标运算即可解出值，再根据向量的模以及向量除法运算即可得到答案.

【详解】复数在复平面内对应的向量分别为,

则，

故，因为，所以，解得，

则，所以，

所以.

故选：D.

3．已知随机变量，且，则（    ）

附：若，则，.

A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413

【答案】B

【分析】根据正态分布曲线的性质结合3原则即可得到答案.

【详解】因为随机变量,所以正态曲线关于直线对称，

又因为,所以，所以，

所以，

所以.

故选：B.

4．已知数列满足，，，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据给定条件探求数列的性质，再利用性质求解作答.

【详解】数列中，由，得，则有，因此数列是以4为周期的周期数列，

又，，则，

所以.

故选：A

5．入夏以来，雪糕再次成为消费者的喜爱品，雪糕也迅速成为众多网红业态中的一个缩影.某雪糕店有一款高为10cm，下底部直径为4cm，上面开口圆的直径为6cm的圆台状雪糕模具，计划用此模具制作一个雪糕，如图，要求成型后雪糕模具正上方的部分为一个半球形状（底面大小与模具开口大小相同），则成型后雪糕的总体积为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据圆台体积公式和球的体积公式即可.

【详解】圆台状模具的体积为,

半球部分的雪糕体积为,

故成型后雪糕的总体积为.

故选：B.

6．2023年5月份开始，为防范社会风险，更好服务群众，某地公安局推出社区民警“驻村”工作模式，要求民警每周一到周五，把值班地点挪到村子中，该地某派出所计划下周的周一到周五派出本所甲、乙等5名优秀民警轮流“驻村”，每名民警安排1天值班，则甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有（    ）

A．58种 B．60种 C．72种 D．78种

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用不相邻问题列式计算作答.

【详解】排除甲乙外的3人值班有种方法，在4个空隙中取2个空隙插入甲乙有种方法，

所以甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有种.

故选：C

7．函数的大致图象为（    ）

A．   B．  

C．   D．    

【答案】A

【分析】利用导数研究函数的单调性，即可确定.

【详解】恒成立，

所以函数在定义域上单调递减，

且对任意，都有，所以对任意，都有，

所以结合选项可知A满足，

故选：A.

8．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的性质比较的大小关系，再利用作差法比较的大小关系.

【详解】因为，所以，

又因为，且，所以，

所以，即，

因此，

故选:C.

二、多选题

9．2023年“五一”假期之前，“淄博烧烤”话题持续火热，并吸引了全国各地的关注，有网友梳理了淄博烧烤热度不减的原因：第一，城市烟火气的回归，来一场说走就走的烧烤之旅，是老百姓追求美好生活需求的集中释放；第二，淄博市政府出台了一系列“保姆式服务”，包括开通高铁烧烤专列、定制公交专线、绘制烧烤地图等；第三，规范管理，维护市场秩序，确保每一位消费者的合法权益.济南某大型烧烤店效仿淄博成功经验，采取烧烤回馈顾客活动，并利用抖音和美团APP进行了大力宣传，取得了良好效果，下表是该烧烤店统计的从2022年12月到2023年4月，五个月的销售收入.

若y关于x的经验回归方程为，则下列说法错误的是（    ）

附：相关系数，线性回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式为，.

参考数据：，，.

A．该大型烧烤店这5个月的销售收入的方差为42.4

B．销售收入y与月份代码x的样本相关系数约为0.999

C．

D．预测该大型烧烤店5月份的销售收入约为29万元

【答案】CD

【分析】根据方差公式可求解A；利用样本相关系数结合所给数据可求解B；利用最小二乘法求回归直线方程即可求解C,D.

【详解】由题可得

，，

该大型烧烤店这5个月的销售收入的方差为

，A正确；

，

，

所以相关系数，B正确；

，，C错误；

所以回归方程为，令，则，D错误；

故选：CD.

三、单选题

10．在正方体中，下列结论错误的是（    ）

A．若，则直线与平面ABCD所成角的正弦值为

B．直线与所成的角为

C．平面

D．四面体的外接球体积与该四面体的体积之比为

【答案】D

【分析】利用正方体的结构特征，结合线面角、异面直线夹角的定义计算判断AB；利用线面垂直的判断推理判断C；求出正四面体的体积及外接球体积判断D作答.

【详解】设正方体的棱长为2，如图，

对于A，由，得点在线段上，且，

由平面，得为直线与平面所成的角，

在中，，A正确；

对于B，连接，正方体的对角面是矩形，有，

即是异面直线与所成的角，因为为等边三角形，即，

所以直线与所成的角为，B正确；

对于C，由平面，平面，得，而，

平面，则平面，又平面，于是，

同理，平面，所以平面，C正确；

对于D，四面体的外接球即正方体的外接球，外接球的半径为，

因此四面体的外接球体积为，而正方体的体积，

则四面体的体积为，所以，D错误.

故选：D

11．已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2，过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出抛物线方程衣直线方程，再联立并结合抛物线定义求解作答.

【详解】设抛物线C的方程为，因为焦点到准线的距离为2，则，

抛物线C为：，焦点，准线方程为，直线方程为，

由消去y得：，设，则，

所以.

故选：B

12．已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数是偶函数

B．是函数的一个零点

C．函数在上单调递增

D．在上的所有实根之和为

【答案】D

【分析】先将函数利用两角和的余弦公式和辅助角公式整理为，

A选项根据的图像变换和性质可判断A正确；

B选项由可得B正确；

C选项判断为函数的单调增区间的子集可得C正确；

D选项求出在的所有实根可得D错误.

【详解】

A选项：将函数的图象向左平移个单位长度，

得到函数，

故函数是偶函数，A正确；

B选项：

，故B正确；

C选项：因，

令，，

故，，

故函数在，，上单调递增，

当时，可得函数在上单调递增，

故C正确；

D选项：

令，

得，

所以或，，

故或，，

故在上的所有实根为，其和为，

故D错误，

故选：D

四、填空题

13．已知，，，若，则      .

【答案】/

【分析】根据向量坐标的线性运算得，再根据即可求出，则得到，最后根据向量模的坐标运算即可得到答案.

【详解】因为，所以,

又因为，所以 ，解得，则，所以.

故答案为：.

14．已知，，则      .

【答案】

【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再利用二倍角的正弦公式求解作答.

【详解】由，两边平方得，则，

而，则，，于是，

所以.

故答案为：

15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，圆，点P为椭圆C上一点，若的最小值为6，则椭圆的离心率为      .

【答案】/

【分析】利用椭圆的定义和三点一线得，则，解出值，则得到值，则得到离心率.

【详解】由题可知，所以，，

则，

当点在的延长线上时，等号成立，所以，

所以，因为，所以椭圆的离心率为.

故答案为：.

16．已知函数，若在上恒成立，则实数a的最大值为      .

【答案】2

【分析】利用分离参数法得，设，利用导数求得，则得到的最大值.

【详解】当时，恒成立，等价于恒成立，

令，所以，

所以当时，单调递增，

又，所以，所以，

所以实数的最大值为2.

故答案为：2.

五、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，的面积为，求的周长.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简计算作答.

（2）利用（1）的结论，结合余弦定理、三角形面积公式求解作答.

【详解】（1）在中，由，得，

由正弦定理得，即，

整理得，又，有，则，

即有，，，解得，又，

所以.

（2）由（1）知，，由余弦定理得，即，整理得，

又的面积，则，，

因此，所以的周长为.

18．已知正项等比数列的前n项和为，且，，等差数列满足，.

(1)求数列，的通项公式；

(2)已知数列满足，求的前n项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据等差等比数列的基本量的运算求解；

（2）利用错位相减法求和.

【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，

由，，可得，

即，化简得，

即，解得（舍）或，

从而可得，所以；

又因为，，

所以，解得，

所以.

（2），

因为，

即，

所以，

两式相减可得，

，

所以.

19．不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱.某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：

(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；

(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）利用超几何分布和独立事件的概率乘法公式求解；

（2）利用超几何分布概率模型求解.

【详解】（1）设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件；

所以选出的4间均为普通型民宿的概率为.

（2）这10家民宿，其中普通型民宿的房间不低于17间的有4家，

随机变量的可能取值有，

则

分布列如下，

所以.

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，，，，.

(1)证明：平面平面ABCD；

(2)若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为，求直线PD与底面ABCD所成角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)3

【分析】（1）首先利用菱形的性质得，再利用线面垂直的判定证得平面，从而得，最后利用面面垂直的判定即可证明；

（2）建立合适的空间直角坐标系，从而得到两个平面的法向量，利用面面角的空间向量求法得到的长度，再根据线面角的定义即可得到答案.

【详解】（1）四边形是菱形，

是的中点，，

平面，

平面.

平面，

是的中点,，

平面平面，

平面.

平面平面平面.

（2）设菱形的边长为，

根据余弦定理可得,解得.

由（1）可知平面，平面，

又两两垂直，

以为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,

则，

设,则，

设为平面的法向量，

由可得取，则.

平面，所以平面的一个法向量为，

平面与平面的夹角的余弦值为，

，所以 ，

，

平面为直线与底面所成的角，

，

故直线与底面所成角的正切值为3.

21．已知双曲线C的渐近线为，右焦点为，右顶点为A.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当时，求直线l的方程.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用给定的渐近线方程设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.

（2）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的坐标表示，求解作答.

【详解】（1）双曲线的渐近线化为，设双曲线的方程为，

即，又双曲线的右焦点，则，解得，

所以双曲线的标准方程为.

（2）由（1）知，，设直线的方程为，显然，

由消去整理得，显然，，

而，则

，

化简得，即，而，解得，

所以直线的方程为，即.

【点睛】思路点睛：如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.

22．已知函数，，其中e为自然对数的底数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)证明：当时，.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.

（2）等价变形不等式，构造函数，利用导数求出函数最小值结合不等式性质推理作答.

【详解】（1）函数，，求导得，，

所以所求切线的方程为，即.

（2）当时，要证明，即证明，亦即证，

令，则，由，得，由，得，

即函数在上单调递减，在上单调递增，于是，

因此当时，，即恒成立；

令，则，当时，，当时，，

因此在上单调递减，在上单调递增，则，即恒成立，

由于与等号成立的条件不一致，于是恒成立，

所以当时，.

【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.