2022-2023学年河南省安阳市高一上学期1月期末数学试题含解析

2022-2023学年河南省安阳市高一上学期1月期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出补集，进而求出交集.

【详解】由题意可得或，则.

故选：A

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.

【详解】命题“，”的否定是“，”．

故选：B

3．为了得到函数的图像，只需将的图像（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】C

【分析】利用诱导公式化简两个函数的表达式为同名函数，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位即可得解．

【详解】因为，所以只需将的图像上的所有点向左平移个单位长度即可得到函数的图像．

故选：C

4．若，，且，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】B

【分析】由，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．

【详解】因为，

所以，

当且仅当，时，等号成立，故的最小值为1．

故选：B．

5．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解.

【详解】，函数有意义，则有，得或，

设，则当时，u关于x单调递减，当时，u关于x单调递增，

又因为函数在定义域内单调递增，由复合函数单调性知可知的单调递减区间为．

故选：A

6．若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由诱导公式求出，由同角三角函数关系结合的范围得到，得到正切值，进而利用二倍角公式求出答案.

【详解】由题意得，

又，所以，

所以，

故．

故选：D

7．已知函数是指数函数，函数，则与在同一坐标系中的图像可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据指数函数和二次函数的性质，判断图像的形状.

【详解】当时，为增函数，的图像的对称轴为直线，A选项错误，C选项正确；

当时，为减函数，的图像的对称轴为直线，B选项错误，D选项错误．

故选：C

8．已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作函数的大致图像（实线），平移直线，数形结合得出实数k的取值范围.

【详解】如图，作函数的大致图像（实线），平移直线，由可得，，，故当时，直线与曲线相切；当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；当时，直线经过点，且与的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当时，的图像与直线有3个不同的交点．

故选：D

二、多选题

9．下列判断正确的是（    ）

A．“x为偶数”是“x为整数”的充分条件

B．“”是“”的必要条件

C．“”是“”的充分条件

D．“”是“”的充要条件

【答案】ACD

【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合命题中对应的知识点进行判断.

【详解】对于A，因为偶数是整数中的一部分，故“x为偶数”是“x为整数”的充分条件，A选项正确；

对于B，若，推不出，故“”不是“”的必要条件，B选项错误；

对于C，若，因为，所以，即“”，故“”是“”的充分条件，C选项正确；

对于D，等价于，易知函数在上单调递增，当时有，即；反过来若，则，有，所以“”是“”的充要条件，D选项正确．

故选：ACD

10．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据题意求出角三角函数值，然后利用诱导公式、三角恒等变换分析即可.

【详解】设，则，

所以有，，

所以，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D正确．

故选：BD.

11．已知函数的最小正周期为，则（    ）

A．的图像关于直线对称 B．在上单调递增

C．在内有4个零点 D．在上的值域为

【答案】AD

【分析】利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，再利用正弦型函数的性质解决选项中的相关问题.

【详解】，

因为的最小正周期为，所以，得到.

对于A，令，得函数对称轴方程为，当时，，A选项正确；

对于B，令，得函数单调递增区间为，所以在上单调递增，又，故B选项错误；

对于C，令，得，得，若，则x可取，，，即此时函数有3个零点，C选项错误；

对于D，由，得，，所以，D选项正确．

故选：AD

12．已知函数，其中，若的最大值为M，最小值为N，则当a的值变化时（    ）

A．为定值 B．为定值 C． D．

【答案】BC

【分析】对函数变形得到，其中判断出为奇函数，故，A错误；，B正确；由基本不等式求出，C正确；，D错误.

【详解】，令，定义域为，

，

故为奇函数，，

，与a有关，不是定值，故A错误；

因为，故C正确；

为定值，故B正确；

，故D错误．

故选：BC

三、填空题

13．已知函数，则________．

【答案】6

【分析】根据对数函数单调性确定的范围，即可根据分段函数的求值得出答案.

【详解】根据对数函数单调性可得：，

，

故答案为：6.

14．已知函数，若，则实数________．

【答案】2

【分析】根据奇函数定义以及函数的单调性得到方程，求出.

【详解】易知为奇函数，且在R上单调递增，

由，可得，所以，解得：．

故答案为：2

15．已知函数的最大值是，则的最小值为________．

【答案】##

【分析】由两角差的正弦公式和辅助角公式化简函数解析式，利用最大值求.

【详解】

，

其中，

所以，得，由，则的最小值为．

故答案为：

16．若当（）时，函数是单调函数，且值域为．则称区间为函数的“域同区间”若函数存在域同区间，则实数m的取值范围为________．

【答案】

【分析】根据已知域同区间的定义，分函数在区间上单调递减和单调递增两种情况分类，列出方程组讨论结果，即可得到答案．

【详解】若，则在上单调递减，所以

得，所以，，

则，又因为，所以，

则有，所以，

当时，在上单调递增，所以

则关于x的方程有两个不同的非负根，所以解得，

综上可知.

故答案为：

四、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用配凑角的形式利用正切的两角和公式展开求出即可；

（2）利用同角三角函数关系式中的，将弦化切，将正切值代入计算即可.

【详解】（1）因为，

所以，    

解得．

（2）因为，    

将代入上式，

得.

18．已知2与是函数（）的两个零点．

(1)求的值；

(2)求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把零点代入函数，求出，得到函数解析式，可求的值；

（2）把（1）中的结果代入不等式，利用分类讨论解高次不等式.

【详解】（1）因为2与是函数的两个零点，

所以，

解得，，所，    

所以．

（2）由（1）得，

所以，即．    

若，则，得，所以；    

若，则，得或，所以．    

综上可得原不等式的解集为．

19．已知函数．

(1)指出在上的单调性，并根据单调性的定义证明；

(2)设；；，，试比较a，b，c，d四个数的大小，并说明理由．

【答案】(1)在上单调递减，证明见解析

(2)，理由见解析

【分析】（1）利用定义法判断并证明函数的单调性；

（2）利用函数的单调性，结合指数对数的运算，比较算式的大小.

【详解】（1）在上单调递减．    

证明：任取，

因为，所以，，，

所以，    

所以在上单调递减．

（2）当时，，，所以；

当时，，．    

因为，所以．    

因为，由（1）知在上单调递减，

所以，即．    

因为，所以．    

综上可得：

20．已知函数（，，）的部分图象如图所示．

(1)求的解析式以及单调递增区间；

(2)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，递增区间为，

(2)

【分析】（1）根据图象得到函数中，最小正周期，进而得到，再代入特殊点的坐标求出，得到解析式及递增区间；

（2）得到平移后的解析式，转化为与的图象在上有两个不同的交点，结合函数的单调性，且，，得到a的取值范围．

【详解】（1）设的最小正周期为T．

由题图得，，

因为，所以，解得．

所以，

将，即代入解析式得：，

结合图象可，，

，，又，

∴．

∴．

令，，解得，，

∴的单调递增区间为，．

（2）将的图象向右平移单位长度得到的图象，

再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），

得到函数的图象．

∵方程在上有两个不等实根，与的图象在上有两个不同的交点．

∵函数在上单调递减，在上单调递增，

且，，

∴，

即a的取值范围是．

21．如图所示，某游乐场的摩天轮最高点距离地面85 m，转轮的直径为80 m，摩天轮的一侧不远处有一排楼房（阴影部分）．摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动，游客在座舱转到最低点时进入座舱，转动后距离地面的高度为，转一周需要40 min．

(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数的解析式；

(2)游客甲进入座舱后观赏周围风景，发现10：14时刚好可以看到楼房顶部，到10：42时水平视线刚好再次被楼房遮挡，求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度．

参考数据：

【答案】(1)，

(2)10：08，估计楼房的高度为21 m

【分析】（1）设出函数模型，利用已知条件求出待定系数，可得函数解析式；

（2）结合图形和已知数据可知进入座舱的时刻到楼房高度需要6min，可得楼房的高度相当于，求值即可.

【详解】（1）根据题意设，其中，    

因为摩天轮的最高点距离地面85 m，所以，

转轮的直径为80 m，即半径为40 m，所以，，    

转一周需要40 min，即，所以，    

因为时，，得，即，取．

所以，．    

（其他等价的解析式同样给分）

（2）如图所示．

由条件知，甲从点A转到点C经过的时间为28 min，所以从A点转到最高点B需要的时间为14 min，又易知甲从最低点转到最高点需要的时间为20 min，故甲从最低点转到A点需要的时间为（min），所以甲进入座舱的时刻为10：08 ，   

楼房的高度为，

根据参考数据可得，

所以，即估计楼房的高度为21 m．

22．已知函数对于任意实数x，y，恒有，且当时，，．

(1)求在区间上的最大值和最小值；

(2)若在区间上不存在实数x，满足，求实数a的取值范围．

【答案】(1)最大值和最小值分别为6和

(2)

【分析】（1）通过赋值法证明函数为奇函数且单调递增，可求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）利用（1）中的结论，不等式等价于，在区间上无解，即在区间上恒成立，利用二次函数性质求解.

【详解】（1）由题可知函数的定义域为，令，得，解得，

令，得，所以，所以为奇函数．．    

任取，且，则，

因为当时，，所以，即．

因为为奇函数，所以，则，即，

所以在上单调递增．    

所以在上的最大值为，最小值为．

因为，令，得．    

因为为奇函数，所以．

所以在上的最大值为6，最小值为．

（2）由（1）知为奇函数，所以．

由得，即，    

又在上单调递增，所以，即．    

因为不存在，使得，所以，．    

因为抛物线开口向上，所以，解得，

所以a的取值范围是．