2022-2023学年河南省平顶山市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省平顶山市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．数列0，，4，，…的一个通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将已知数列各项变形，得数列，，，，…，根据各项的特征可得该数列的一个通项．

【详解】数列0，，4，，…，即数列，，，，…，

所以该数列的一个通项公式为，

故选：B.

2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ）

A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2

【答案】C

【分析】根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选：C

3．若曲线在处的切线垂直于直线，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义可求出结果.

【详解】的定义域为，

，

依题意得，解得.

故选：D

4．若圆关于直线对称，则（    ）

A．-1 B．1 C．3 D．-3

【答案】B

【分析】由题设易知圆心在直线上，代入求参数值即可.

【详解】若圆关于直线对称，

∴圆心在直线上，故，解得.

故选：B.

5．双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（    ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】A

【分析】由双曲线方程求出渐近线方程和焦点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果.

【详解】依题意得，，，

所以，，，

所以渐近线方程为，右焦点为，

所以点到渐近线的距离为.

故选：A

6．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插人原节目单中，且3个新节目互不相邻，那么不同插法的种数为（    ）

A．105 B．210 C．420 D．840

【答案】B

【分析】根据题意使用插空法，将3个新节目插入原来6个节目形成的7个空中，列式求解即可.

【详解】原来6个节目形成7个空，3个新节目插入到7个空中，共有种插法.

故选：B.

7．记等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．6 B．7 C．9 D．10

【答案】D

【分析】根据推出，再根据等比数列的求和公式可求出结果.

【详解】设公比为，

若，则不合题意，故.

所以，所以，

所以.

故选：D.

8．若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】关键函数在区间上单调递增，由在上恒成立求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

因为函数在区间上单调递增，

所以在上恒成立；

即在上恒成立；

即在上恒成立；

所以，

故选：C

二、多选题

9．“冬吃萝卜夏吃姜，不劳医生开药方.”鲁山县张良镇生产的黄姜，有“姜中之王”的美誉，自汉朝起便为历代宫廷贡品，闻名天下.某黄姜种植户统计了某种有机肥料的施肥量x（单位：吨）与姜的产量y（单位：吨）的一组数据，由表中数据，得到回归直线方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．姜的产量与这种有机肥的施肥量正相关

C．回归直线过点

D．当施肥量为1.8吨时，预计姜的产量约为8.48吨

【答案】ABC

【分析】由表中数据可得，由回归直线过样本中心，可判断C；进而求得，可判断A；由系数可判断B；在回归方程中令，得可判断D．

【详解】由表中数据可得，

所以回归直线过点，故C正确；

，故A正确；

因为系数，所以姜的产量与这种有机肥的施肥量正相关，故B正确；

在回归方程中令，得，所以预计姜的产量约为9.48吨，故D错误．

故选：ABC.

10．一个口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每次从中随机取出一个球，若取到红球，则往口袋里再放入一个白球，若取到白球，则往口袋里再放入一个红球，取出的球不放回.像这样取两次球，设事件为“第i次取到红球”，事件为“第j次取到白球”，事件C为“两次取到的球颜色相同”，则（    ）

A．与相互独立 B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据独立事件的概念判断A；根据条件概率的概念判断B；是第一次取到白球且第二次取到红球的概率，由此求解判断C；事件包含“两次都取到红球”和“两次都取到白球”两种情况，由此求解判断D．

【详解】对于A，，

则，所以与不相互独立，故A错误；

对于B，是指在第一次取出红球的条件下，第二次取出白球的概率，第一次取出红球后，再放入一个白球，袋中变为2个红球和3个白球，此时取出白球的概率为，故B正确；

对于C，是第一次取到白球且第二次取到红球的概率，，故C正确；

对于D，事件包含“两次都取到红球”和“两次都取到白球”两种情况，

，故D正确．

故选：BCD.

11．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的三位数中（    ）

A．奇数比偶数多

B．不同时包含数字1和5的数有36个

C．十位上的数字比个位和百位都大的数有20个

D．能被3整除的数有18个

【答案】AC

【分析】利用排列组合知识计算三位数的总个数，奇数及偶数的个数，可判断A；求得同时包含数字1和5的数的个数，由此计算可判断B；每选3个数可组成2个十位上的数字比个位和百位都大的数，由此计算可判断C：要使组成的数能被3整除，则选出的数的组合只能是123，234，345，135四种，由此计算可判断D．

【详解】对于A，一共能组成的三位数有个，其中奇数有个，则偶数有24个，故A正确；

对于B，同时包含数字1和5的数有个，故不同时包含数字1和5的数有个，故B错误；

对于C，每选3个数可组成2个十位上的数字比个位和百位都大的数，所以十位上的数字比个位和百位，都大的数有个，故C正确：

对于D，要使组成的数能被3整除，则选出的数的组合只能是123，234，345，135四种，所以能被3整除的数有个，故D错误．

故选：AC.

12．已知抛物线的焦点为F，定点和动点A，B都在抛物线C上，且（其中O为坐标原点）的面积为4，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．抛物线的标准方程为

C．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为

D．若，则弦AB的中点N的横坐标的最小值为3

【答案】BD

【分析】对于A，B，由条件列式求出；对于C，设点，利用相关点法求轨迹方程；对于D，利用焦半径公式求解.

【详解】对于A，B，点在抛物线上，，即，

的面积为4，，解得，

，抛物线的标准方程为，故A错误，B正确；

对于C，设点，，

则，

又是抛物线上任意一点，，即，故C错误；

对于D，设，弦AB的中点，

则，

，当且仅当A，B，F三点共线时取等号，

弦AB的中点的横坐标的最小值为3，故D正确．

故选：BD.

三、填空题

13．的展开式中的系数为      .

【答案】7

【分析】利用二项展开式的通项求解.

【详解】二项展开式的通项为，

令，得，所以的系数为.

故答案为：7.

14．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为      .

【答案】

【分析】设第层有和球，根据题意求出和，再根据和可得答案.

【详解】设第层有和球，则，，，，，

所以当时，

，

当时，也适合上式，

故，

所以这层三角垛的球数之和为

，

因为，所以单调递增，

当时，，剩余球数为个，

当时，，

所以剩余球数的最小值为个.

故答案为：.

15．在如图所示的几何体中，为正方形且边长为2，平面平面ABF，E为AB的中点，且，，则点D到平面ACF的距离为      .

【答案】/

【分析】证明出线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式进行求解.

【详解】因为，平面⊥平面ABF，交线为，且平面，

所以⊥平面，

因为为中点，⊥，由三线合一得，

又，所以为等腰直角三角形，

因为为正方形且边长为2，故，

取中点，连接，则两两垂直，

以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

设平面ACF的法向量为，

则，

令得，故，

所以点D到平面ACF的距离为.

故答案为：

16．函数的值域为      .

【答案】

【分析】化简，设，易知是的周期，利用导数研究在上的单调性，求得值域．

【详解】，

设，

由，

易知是的周期，考虑在上的单调性．

求导得 ，

令，得或，

在上，可得或或或，

当或时，，则，所以为增函数；

当时，．则，所以为减函数，

又，

所以，而，

所以．

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求的图象在点处的切线方程；

(2)求证：当时，.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义可求出结果；

（2）将所证不等式变形为，再构造函数，利用导数证明即可.

【详解】（1），

，，

所以的图象在点处的切线方程为.

（2）当时，要证，即要证，只要证，

设，

，

当时，，当时，，

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以，所以当时，，即.

故原不等式成立.

18．记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知，，.

(1)若，求的通项公式；

(2)若，求.

【答案】(1).

(2)或.

【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式求解可得结果；

（2）根据等差、等比数列的通项公式求出公差和公比，再根据等差数列求和公式可求出结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，

由，得，得，

所以.

（2）由，得，得或，

若，则，

若，则.

综上所述：或.

19．如图所示，直四棱柱中，，，，，E为侧棱的中点.

(1)求证：平面BDE；

(2)求直线与平面BDE所成的角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，可得，则，即可证得结论；

（2）求出平面BDE的法向量，利用向量夹角公式求解.

【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则．

，

可得，所以，

又因为平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE；

（2），，，

设平面BDE的法向量为，

则取，可得．

所以，

故直线与平面BDE所成的角的正弦值为．

20．某市阅读研究小组为了解该市中学生阅读时间与语文成绩的关系，在参加市中学生语文综合能力竞赛的各校学生中随机抽取了500人进行调查，并按学生语文成绩是否达到75分及周平均阅读时间是否低于10小时分类，将调查结果整理成列联表.已知样本中语文成绩不低于75分的人数占样本总数的30%，周平均阅读时间少于10小时的人数占样本总数的一半，而语文成绩不低于75分且周平均阅读时间不少于10小时的有100人.

(1)完成列联表，根据的独立性检验，能否认为语文成绩与阅读时间有关？

(2)先从成绩不低于75分的样本中按不同阅读时间的人数比例，用分层随机抽样的方法抽取9人进一步做问卷调查，然后从这9人中再随机抽取3人进行访谈，记这3人中周平均阅读时间不少于10小时的人数为X，求X的分布列与数学期望.

附：.

【答案】(1)列联表见解析，根据的独立性检验，能认为语文成绩与阅读时间有关.

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）根据已知条件计算可得列联表，根据公式计算，结合临界值表可得答案；

（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义可知，可能取的值为，分别求出对应的概率，再结合数学期望的公式，即可求解.

【详解】（1）依题意得样本中语文成绩不低于75分的人数为（人），低于75分的人数为（人），

周平均阅读时间少于10小时的人数为（人），不少于10小时的人数为（人），

又语文成绩不低于75分且周平均阅读时间不少于10小时的有100人，

所以样本中语文成绩不低于75分的人且周平均阅读时间少于10小时的有（人），

样本中语文成绩低于75分的人且周平均阅读时间少于10小时的有人，

样本中语文成绩低于75分的人且周平均阅读时间不少于10小时的有（人），

所以列联表如下：

零假设：语文成绩与阅读时间无关，

，

根据的独立性检验可知，能认为语文成绩与阅读时间有关.

（2）依题意，成绩不低于75分的样本中，周平均阅读时间少于10小时的人数和不少于10小时的人数比是，

按照分层抽样抽取人，周平均阅读时间少于10小时的有人，不少于10小时的有人，

从这9人中再随机抽取3人进行访谈，则可能取的值为，

，，

，，

的分布列为：

.

21．已知椭圆经过点，且离心率为.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解，

（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解.

【详解】（1）由题意可知：，又，解得，

所以椭圆方程为

（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，

直线的方程为：，

联立直线与椭圆方程：，

设，

则，

，

将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.

22．已知函数.

(1)若，求的最小值；

(2)若的图象与直线在区间上有两个不同交点，求a的取值范围.

参考数据：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导由函数的单调性即可求解最值，

（2）分类讨论的单调性，构造函数即可求解不等式.

【详解】（1）当时，，则，

令,则，令,则，所以在时单调递增，在时单调递减，

故当时，取极小值也是最小值，故，

（2），

当时，恒成立，此时在单调递增，所以的图象与直线在区间上至多有1个交点，不符合题意，故舍去，

当时，令则，所以当时单调递减，当时单调递增，

要使的图象与直线在区间上有两个不同的交点，则在上不单调，故需满足，

故在单调递减，在单调递增，，

所以即，化简得

记，则，

令，故当单调递增，当单调递减，所以，

故对任意的，恒成立，故，

综上可得：

【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．