2022-2023学年广东省珠海市斗门区第一中学高二下学期6月阶段考数学试题含答案

2022-2023学年广东省珠海市斗门区第一中学高二下学期6月阶段考数学试题

一、单选题

1．在数列中，，，若，则（    ）

A．508 B．507 C．506 D．505

【答案】C

【分析】由题意可得到数列是等差数列，求得其通项公式，即可求得答案.

【详解】由题意可得，，即，

故数列为等差数列，则 ，

故令 ，

故选：C

2．某单位订阅了30份《光明日报》发给3个部门，每个部门至少发放9份报纸，问一共有多少种不同的发放方法（    ）

A．7 B．9

C．10 D．12

【答案】C

【分析】先给每个部门发8份《光明日报》，将剩余6份《光明日报》分给3个部门，每个部门至少一份，用挡板法即可.

【详解】根据题意，先给每个部门发8份《光明日报》，将剩余6份《光明日报》分给3个部门，每个部门至少一份即可.将6份《光明日报》看成6个元素，排成一排，中间有5个空位，在其中任选2个，插入挡板，可以将6份《光明日报》分为3组，对应分给3个部门即可，则有种不同的发放方法.

故选:C.

3．第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日在北京召开，3月6日各代表团分组审议政府工作报告．某媒体4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者A被安排到甲组的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据分组分配问题，利用排列组合计算个数，由古典概型的概率公式即可求解.

【详解】4名记者到甲、乙、丙3个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有种不同情况，

记者A被安排到甲组有种，所求概率为，

故选:B．

4．对于二项式，四位同学作出了四种判断：

①在展开式中没有常数项；        ②在展开式中存在常数项；

③在展开式中没有x的一次项；    ④在展开式中存在的一次项

上述判断中正确的是（    ）

A．①③ B．②③ C．②④ D．①④

【答案】D

【分析】根据展开式的通项公式即可作出判断.

【详解】根据二项式定理得

因为，所以为，故在展开式中没有常数项，①正确、②错误；

当时，展开式中的x为一次项，③错误，④正确.

故选：D.

5．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为0.85，第二车间的合格率为0.88，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为（    ）

A．0.6 B．0.85 C．0.868 D．0.88

【答案】C

【分析】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，则提出的一台是第车间生产的产品，根据全概率公式即可求出答案．

【详解】设从成品仓库中随机提一台产品是合格品，

则提出的一台是第车间生产的产品，

则，

由题意可得，，

，，

由全概率公式可得,

故选：C

6．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.

【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

7．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先分别确定每段的单调性，然后结合可得答案.

【详解】当时，有，即；当时，有，

又，即，综上，有，

故选：C．

8．已知函数，若，使得成立，则实数k的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将问题转化为在上能成立，利用导数求的最值，求k的范围，即知参数的最大值.

【详解】由题设，使成立，

令且，则，

∴当时，则递增；当时，则递减；

∴，故即可.

故选：D.

二、多选题

9．近期,某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的A、B、C、D四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（    ）

A．若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.

B．若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法.

C．若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法.

D．若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，则共有84种不同的安排方法.

【答案】ABD

【分析】对于A，直接用全排列公式求解即可；

对于B，先选一个区无人去，然后将四名医生分成3组，再全排，最后用分步乘法计数原理求解即可；

对于C，使用间接法求解即可得解；

对于D，使用隔板法求解可得结果.

【详解】对于A，若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.故A正确；

对于B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法.故B正确；

对于C，若甲不去A区,乙不去B区，且每区均有人去，则共有种不同的安排方法.故C不正确；

对于D，若该医院又计划向这四个区捐赠18箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放3箱，先每个区发2箱，然后使用3块隔板将剩下的10箱隔成4份，且隔板不相邻、不在两端，则共有种不同的安排方法.故D正确.

故选：ABD.

10．下列命题中，正确的命题的序号为（    ）

A．已知随机变量服从二项分布，若，则

B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变

C．设随机变量服从正态分布，若，则

D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，则当时概率最大

【答案】BCD

【分析】由二项分布的均值与方差公式计算判断选项A，由方差的性质判断选项B，由正态分布的对称性判断选项C，由二项分布的概率公式列不等式组求解后判断选项D．

【详解】对于A，，解得，A错误；

对于B，方差反映的是数据与均值的偏移程度，因此每个数据都加上同一个常数后，每个新数据与新均值的偏移不变，方差恒不变，B正确；

对于C，服从正态分布，，C正确；

对于D，，则，

由，解得，所以．D正确．

故选：BCD．

11．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ）

A．2次传球后球在丙手上的概率是

B．3次传球后球在乙手上的概率是

C．3次传球后球在甲手上的概率是

D．n次传球后球在甲手上的概率是

【答案】ACD

【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.

【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A正确；

第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；

3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；

n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，

令，则于是得，

故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.

故选：ACD

12．关于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．且，若，则

C．，使得恒成立

D．函数有且只有1个零点

【答案】ABD

【分析】对于A，根据导数与原函数单调性的关系直接判断；

对于B，显然是的极小值点，则时，有，易知，

然后根据，利用导数法判断其符号，

再利用在上的单调性判断；

对于C，由恒成立，转化恒成立，令，利用导数法求解判断；

对于D，设，利用导数法结合零点存在定理判断.

【详解】对于A，对于函数，其定义域为，由于，

由可得，当时，，当时，，则选项A正确

对于B，由A知，是的极小值点，可知若时，，易知，

则

，

令，则，则，

则在上单调递减，，故，

又在上单调递增，则，故，选项B正确，

对于C，若恒成立，则，令，则，

令，则，

当时，，当时，，所以，即，

所以在上递减，无最小值，

所以不存在正实数k，使得恒成立，故C错误；

对于D，设，则，

可知在上单调递减，又，

所以方程有且仅有一个根，即函数有且只有1个零点，选项D正确.

故选:ABD

【点睛】方法点睛：对于研究函数的零点和方程根的相关问题，利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决．这类问题求解的通法是

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

(2)求导数，得单调区间和极值点；

(3)画出函数草图；

(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图像与x轴的交点情况进而求解．

三、填空题

13．函数的图象在处的切线方程为         ．

【答案】

【分析】求得切点坐标为，切线的斜率，由点斜式即可得切线方程.

【详解】解：因为，，

所以切点坐标为，

又因为，

所以，

所以切线的斜率，

所以切线方程为：，即.

故答案为：

14．若随机变量，则       .（附：若随机变量，则，）

【答案】0.84135

【分析】根据正态分布的对称性，结合原则求解即可

【详解】因为，所以.

故答案为：

15．已知，则的值等于      .

【答案】

【分析】分别令和，再将两个等式相加可求得的值.

【详解】令，则；

令，则，上述两式相加得，故

故答案为：.

16．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛．其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，，且，则     ．

【答案】

【分析】先利用题给条件求得数列是首项为1公差为的等差数列，进而求得的值.

【详解】，则；由，可得

则由，可得

则，又，则数列是首项为1公差为的等差数列，

则，则

故答案为：

四、解答题

17．已知数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由等差中项的性质得是等差数列，由等差数列的基本量求得通项公式；

（2）裂项相消法求得和，可得证结论．

【详解】（1）由，得数列为等差数列．

设等差数列的首项为，公差为d．

∵，

∴，

∴，

∴．

（2），

∴

．

∴当时，．

18．一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个.若从中不放回地取球，每次取1个球，在第一次取出黑球的条件下，第二次取出白球的概率为.

(1)求白球和黑球各有多少个；

(2)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率；

(3)若不放回地从袋中随机摸出2个球，用表示摸出的黑球个数，求的分布列和期望.

【答案】(1)白球有4个，黑球有6个

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）设袋中有黑球x个，则白球有10-x个，利用条件概率求解；

（2）由（1）得到摸出黑球的概率是，然后利用独立重复试验求解；

（3）的可能取值为0,1,2，求得其相应概率，列出分布列，再求期望.

【详解】（1）解：设袋中由黑球x个，则白球有10-x个，

设取出黑球为事件A，取出白球的事件为B，

则，

解得，

所以白球有4个，黑球有6个；

（2）由（1）知摸出黑球的概率是，

则有放回地从袋中随机摸出3个球，

恰好摸到2个黑球的概率为；

（3）的可能取值为0,1,2，

则，，

，

的分布列为：

.

19．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)讨论函数在上的单调性.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)答案见解析

【分析】（1）求得，结合导数的符号，得到函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解；

（2）由（1）知，得到在上单调递减，在上单调递增，分和，两种情况讨论，即可求解.

【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，且，

令，可得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值；

（2）解：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，

当时，对于任意的，，此时函数的减区间为；

当时，由，可得；由，可得，

此时函数的减区间为，增区间为，

综上所述，当时，函数的减区间为；

当时，函数的减区间为，增区间为.

20．人类命运共同体的提法将中国梦融入世界梦，充分展现了中国的大国担当.在第75届联合国大会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标"），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为.

(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；

(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

依据小概率值的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；

①参考数据：；

②参考公式：（i）线性回归方程：，其中；

（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强.

③参考临界值表：

【答案】(1)，与线性相关较强

(2)认为购买电动汽车与车主性别有关

【分析】(1)利用相关系数的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可；

(2)直接利用独立性检验公式求出，根据零点假设定理判断购买电动汽车与车主性别是否有关；

【详解】（1）相关系数为

故与线性相关较强.

（2）零假设为：购头电动汽车与车主性别相互独立，

即购买电动汽车与车主性别无关.

所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，

即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于.

21．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识竞赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市共青团史知识竞赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为，，，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；

(2)求这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励1000元；

方案二：只参加了初赛的选手奖励300元，参加了决赛的选手奖励1000元．

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

【答案】(1)；

(2)；

(3)品牌商选择方案二更好.

【分析】（1）根据给定条件，求出3人都没通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式计算作答.

（2）求出甲、乙、丙都通过决赛的概率，再借助对立事件的概率公式计算作答.

（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的分布列，求出其期望，比较大小作答.

【详解】（1）3人都没通过初赛的概率为，

所以这三人中至少有1人通过初赛的概率．

（2）设事件B表示“甲参加市共青团史知识竞赛”，事件C表示“乙参加市共青团史知识竞赛”，事件D表示“丙参加市共青团史知识竞赛”，

则，，3人都不能参加市共青团史知识竞赛的事件为，

所以这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率．

（3）方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，

所以元，

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为900，1600，2300，3000，

，，

，，

所以Z的分布列为：

则，

因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．

22．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数m的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；

（2）求出函数的导函数，即可得到方程两根为，列出韦达定理，即可表示出，设，则，令，，利用导数说明函数的单调性，再结合的范围求出的方程，从而求出的范围，即可得解.

【详解】（1）因为，

所以，所以切线斜率为，

又，切点为，

所以曲线在处的切线方程为

（2）∵，

∴，

若，则恒成立，而，

所以两根为，

∴，，

，

∵，

设，则，

令，，

则，

∴在上单调递减；

∵，

∴，

∵

，

∴，

∴，

∴，

∴当时，，

∴，即实数的最大值为

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．