2022-2023学年江苏省常州市北郊高级中学高二下学期5月阶段调研数学试题含答案

2022-2023学年江苏省常州市北郊高级中学高二下学期5月阶段调研数学试题

一、单选题

1．已知向量，满足，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据平面向量夹角的计算公式计算即可.

【详解】因为，，，

所以.

故选：D.

2．某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ）

A．5 B．10 C．20 D．30

【答案】D

【分析】由正态分布的对称性求出，即可求出的学生人数.

【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布，所以期末考试数学成绩关于对称，

则，所以，

所以的学生人数为：人.

故选：D.

3．下列有关回归分析的说法中不正确的是（    ）

A．回归直线必过点

B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

C．当相关系数时，两个变量正相关

D．如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于

【答案】B

【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB；根据相关系数的性质可判断CD，进而可得正确选项.

【详解】对于A选项，回归直线必过点，A对；

对于B选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B错；

对于C选项，当相关系数时，两个变量正相关，C对；

对于D选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D对.

故选：B.

4．设a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A，若，则a，c的位置关系为平行､相交或异面，故不正确；

对于B，若，则α，γ的位置关系为平行或相交，故不正确；

对于C，若，可得，，过b的一个平面与β的交线m，可得，，则．故正确．

对于D，若，则或，故不正确；

故选：C

5．标有数字的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出，结合条件概率的计算公式依次求解即可.

【详解】由题意得，从6张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：

共36个.

则A事件有：，，，，，共6个，

B事件有：，，，，，共6个，

C事件有：，，，，共5个，

D事件有：，，，，，共6个，

所以，，，，

，

所以，而，故A错误；

，而，故B错误；

，而，故C错误；

，而，故D正确.

故选：D.

6．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.

【详解】以为原点建系，，

，即，故圆的半径为，

∴圆，设中点为，

，

，∴，

故选：D.

7．安排4名小学生参与社区志愿服务活动，有4项工作可以参与，每人参与1项工作，每项工作至多安排2名小学生，则不同的安排方式有（    ）

A．168种 B．180种 C．192种 D．204种

【答案】D

【分析】考虑4名学生的工作方式：每名小学生参与不同的工作，有2名小学生参与相同的工作，4名小学生两两分组分别计算即可

【详解】分3种情况：

①每名小学生参与不同的工作，则有种安排方式；

②有2名小学生参与相同的工作，则有种安排方式；

③4名小学生两两分组，则有种安排方式；

所以总的安排方式有种；

故选:D.

8．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ）

A．2次传球后球在丙手上的概率是 B．3次传球后球在乙手上的概率是

C．3次传球后球在甲手上的概率是 D．n次传球后球在甲手上的概率是

【答案】C

【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.

【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，

它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故A错误；

第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，

甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，

它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，

所以概率为，故B错误；

3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；

次传球后球在甲手上的事件记为，则有，

令，则，

于是得，

故，则，

而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，

数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以即，故D错误.

故选：C

二、多选题

9．已知复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的有（    ）

A．复数z的共轭复数的模为1 B．复数z在复平面内对应的点在第四象限

C．复数z是方程的解 D．

【答案】ABD

【分析】先对复数化简，然后逐个分析判断即可.

【详解】，

对于A，因为，所，所以A正确；

对于B，因为复数z在复平面内对应的点为在第四象限，所以B正确；

对于C，因为，所以，所以C错误；

对于D，因为，，所以，所以D正确，

故选：ABD

10．某学生想在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（    ）

A．若任意选择三门课程，选法总数为

B．若物理和化学至少选一门，选法总数为

C．若物理和历史不能同时选，选法总数为

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为20

【答案】CD

【分析】利用组合的概念可判断A；利用分类考虑，物理和化学只选一门、物理和化学都选，可判断B；利用间接法可判断C；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算可判断D．

【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；

对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，

剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法，由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；

对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；

对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，只选物理不选历史，有种选法，

选化学，不选物理，有种选法，物理与化学都选，不选历史，有种选法

故总数为种，故D正确．

故选：CD.

11．数据的组测量值为，已知，，，．若对的线性回归方程记作，则（     ）

附：线性回归方程中，，，其中、为样本平均值．

A． B．

C．与正相关 D．时，的估计值为

【答案】ABC

【分析】利用题干中的数据求出回归直线方程，可判断各选项的正误.

【详解】由已知的数据可得，，

，

，所以，回归直线方程为，

当时，，

故ABC选项正确，D选项错误.

故选：ABC.

12．如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则下列命题中正确的是（    ）

A．不存在使得

B．当时，三棱柱与三棱锥的体积比值为9

C．当时，异面直线和所成角的余弦值为

D．过P且与直线和直线所成角都是的直线有三条

【答案】AC

【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，由，求得，可判定A正确；由时，分别求得三棱柱和三棱锥的体积，可判定B错误；结合向量，求得，可判定C正确；在平面和平面内，分别作，转化为过点的直线与直线和直线所成的角，结合空间直线的位置关系，可得判定D错误.

【详解】取的中点，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴，以过点平行与的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

对于A中，由，可得，

可得，则，

所以A正确；

对于B中，当时，即点的中点，

可得三棱柱的体积为，

三棱锥的体积为，

所以三棱柱与三棱锥的体积比为，所以B错误；

对于C中，由，

可得，则，

即异面直线和所成角的余弦值为，所以C正确；

对于D中，如图所示，在平面和平面内，分别作，

由异面直线所成角的定义知，过点的直线与直线和直线所成的角，即为过点的直线与直线和直线所成的角，

因为为等边三角形，可得，即直线与所成的角为，

根据空间中直线的位置关系，可得过点的直线与直线和直线所成的角为的直线有四条，所以D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知复数z满足等式，则的最大值为       ．

【答案】6

【分析】设，由题设条件可得的关系式，结合其几何意义可求的最大值.

【详解】设，则即为.

而，

其几何意义为圆的动点到的距离，

故所求的最大值为，

故答案为：6.

14．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为      ．

【答案】/

【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线与所成角的余弦值.

【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，则，，

所以，

又因为异面直线所成角的范围为，

故异面直线与所成角的余弦值为，

故答案为：.

15．一个口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个．现从中任意取出3个小球，若取到红球得2分，取到黄球得3分，取到绿球得4分，记变量ξ为取出的三个小球得分之和，则ξ的数学期望为      ．

【答案】9

【分析】根据题意，的所有可能取值为7，8，9，10，11，然后分别计算其对应的概率，再由期望的计算公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】依题设，ξ的所有可能取值为7，8，9，10，11．

则，，，

，

所以.

故答案为：

16．已知平面向量，对任意实数都有，成立．若，则的最大值是      ．

【答案】/

【分析】根据题意结合向量的几何意义可得如图图形，然后利用向量数量积的运算，结合二次函数分析运算即得.

【详解】如图所示，设，则，

若对任意的实数都有且成立，

即对任意的实数都有且成立，

即成立，所以在以为直径的圆周上，

设圆心为，过点作，交于点，交圆于点，

可得向量在上的射影最长为，此时，

设，且，

则，所以，

所以，

又因为，则，

所以当时，取得最大值，最大值为．

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量，，，且，

(1)若，且，求向量的坐标；

(2)若，求在方向的投影向量（用坐标表示）.

【答案】(1)或.

(2)

【分析】（1）设，由向量垂直、模长的坐标表示列方程求坐标即可；

（2）根据投影向量的定义，应用数量积的坐标表示、方向上的单位向量求在方向的投影向量.

【详解】（1）设，，

由，，则，，可得或，

或.

（2）设与的夹角为，故，

，而，

在上的投影向量为.

18．如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，，M为BC的中点．

(1)求直线BD与平面APM所成角的正弦值；

(2)求D到平面APM的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；

（2）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，

，

，设平面APM的法向量为，

，，于是有，

，

所以直线BD与平面APM所成角的正弦值为；

（2）由（1）可知平面APM的法向量为，，

，D到平面APM的距离为.

19．为提高教育教学质量，越来越多的高中学校采用寄宿制的封闭管理模式．某校对高一新生是否适应寄宿生活做调查，从高一新生中随机抽取了人，其中男生占总人数的，且只有的男生表示自己不适应寄宿生活，女生中不适应寄宿生活的人数占总人数的．学校为了考查学生对寄宿生活适应与否是否与性别有关，构建了如下列联表：

(1)请将列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关；

(2)从男生中以“是否适应寄宿生活”为标准采用分层抽样的方法随机抽取人，再从这中随机抽取人，若所选名学生中的“不适应寄宿生活”人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

附：，其中．

【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联

(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）根据题意求出表中数据，计算卡方值即可判断；

（2）随机变量的取值可以是，，，求出取不同值的概率，即可求出分布列和期望.

【详解】（1）补充列联表如下：

根据列联表中的数据，

，

所以有的把握认为“适应寄宿生活与否”与性别有关联．

（2）抽取的人中，有人不适应寄宿生活，有人适应寄宿生活，

故随机变量的取值可以是，，，

，，，

随机变量的分布列如下：

因此，．

20．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面和平面所成锐二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、勾股定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）取中点为，连接，，

则在等边三角形中，，

又因为，，､面，

所以面，因为面，

所以，又，，

所以，，，

所以，即，

又，､面，

所以面，又因为面，

所以面面；

（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，由（1）知面的法向量为，

设面的法向量为，则，

，

所以面和面的二面角的余弦值为，

所以面和面的二面角为.

21．（1）求证：；

（2）求和：；

（3）求证：当随机变量时，

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析

【分析】（1）由组合数公式证明即可；

（2）由（1）中结论，结合二项式系数的性质求解；

（3）写出的表达式，由（2）中结论，结合二项式定理求解．

【详解】（1），，

所以.

（2）

.

（3）

.

22．某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：

(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率

(2)设n是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为的概率记为，求.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）分析试验过程，分别求出和，利用条件概率的公式直接计算；

（2）分析 “突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：i.进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一；ii.第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一；iii. 前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 分别求概率.即可求出.

【详解】（1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；

所以.

.

所以.

（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为,分为：

i. 记事件D：进行次，均不触发技能二；前面的次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：

ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的次触发技能一，第次未触发技能一.其概率为：

iii. 记事件：前面的次未触发技能二，然后接着的第次触发技能二；前面的触发技能一，第次未触发技能一. 其概率为：

，

则事件彼此互斥，记，

所以

.

所以

【点睛】关键点睛：这道题关键的地方是题意的理解，文字较多，要明白一轮攻击中含多次攻击，每次攻击判断技能的触发，在第二问中需要分多种情况进行讨论，然后用互斥事件的概率计算公式进行求解