2020-2021学年江苏省常州市北郊高级中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省常州市北郊高级中学高二（上）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省常州市北郊高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在等差数列中，，则的前9项和　　
A．36 B．48 C．56 D．72
2．（5分）已知直线，．若，则的值为　　
A． B． C．1 D．1或
3．（5分）已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是　　
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
4．（5分）在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最小值为　　
A． B． C． D．
5．（5分）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要　　
A．3233万元 B．4706万元 C．4808万元 D．4938万元
6．（5分）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为　　

A． B． C． D．
7．（5分）若不等式对任意，恒成立，则的最大值等于　　
A．10 B．9 C．8 D．7
8．（5分）我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左、右、上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是　　

A．
B．
C．轴，且
D．四边形的一个内角为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错或不选的得0分．
9．（5分）下列叙述中正确的是　　
A．若是的必要不充分条件，则
B．若，，，则“”是“”的必要不充分条件
C．若，使不等式成立，则
D．“”是“”的充分不必要条件
10．（5分）直线与曲线恰有一个交点，则实数可取下列哪些值　　
A． B． C．1 D．
11．（5分）设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是　　
A．若，则既是等差数列又是等比数列
B．若，，则是等差数列
C．若，则是等比数列
D．若是等差数列，则，，也成等差数列
12．（5分）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　

A．当时，为四边形
B．当时，为等腰梯形
C．当时，与的交点满足
D．当时，为六边形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分（14题第一问2分，第二问3分），共20分.
13．（5分）直线的倾斜角是　　．
14．（5分）具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的渐近线方程是　　，若双曲线还经过点，，则双曲线的心率为　　．
15．（5分）侧棱长为1，底面边长为的正三棱锥的外接球的体积为　　．
16．（5分）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．则当广告牌的面积最小时，的值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知等差数列的各项均为正数，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

19．（12分）知椭圆的右焦点为，且右焦点到左准线的距离为10．
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
20．（12分）设数列的前项和为，，_______．给出下列三个条件：
条件①：数列为等比数列，数列也为等比数列；
条件②：点，在直线上；
条件③：．
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若中去掉的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的前30项和．
21．（12分）已知椭圆的左焦点是抛物线的焦点，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过坐标原点的直线交椭圆于，两点，若在第一象限，轴，连结并延长交椭圆于点．证明：是直角三角形．

22．（12分）如图，在三棱台中，平面平面，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．


2020-2021学年江苏省常州市北郊高级中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）在等差数列中，，则的前9项和　　
A．36 B．48 C．56 D．72
【分析】根据等差数列的性质和求和公式即可求出．
【解答】解：在等差数列中，，
，．
前9项和，
故选：．
【点评】本题考查等差数列的定义和性质，前项和公式的应用，求出，是解题的关键．
2．（5分）已知直线，．若，则的值为　　
A． B． C．1 D．1或
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得的值．
【解答】解：直线，，若，
，求得，
故选：．
【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．
3．（5分）已知圆的圆心到直线的距离为，则圆与圆的位置关系是　　
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【分析】求得圆的圆心和半径，由直线和圆的距离公式，可得，求得圆的圆心和半径，计算，与两圆的半径之差比较可得结论．
【解答】解：圆的圆心为，半径，，
由圆的圆心到直线的距离为，
可得，解得，
可得圆的圆心为，半径为2，
而圆的圆心为，半径为，
由，
可得两圆的位置关系为内切．
故选：．
【点评】本题考查圆的方程和运用，以及两圆的位置关系的判断，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．
4．（5分）在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】变为，整理得，对任意实数成立，令，解出的范围即可求出．
【解答】解：若不等式对任意实数恒成立，
则对任意实数恒成立，
，对任意实数成立，
，
，解得，
故的最小值是，
故选：．
【点评】本题考查利用恒成立的关系构建关于参数的不等式及一元二次不等式的解法．
5．（5分）某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1709.9万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要　　
A．3233万元 B．4706万元 C．4808万元 D．4938万元
【分析】设每个实验室的装修费为，每个实验室的设备费从第一到第十实验室依次构成有穷等比数列，其公比为，由题设求得首项与公比，进而求得，再根据求得的取值范围，即可得到结果．
【解答】解：设每个实验室的装修费为，每个实验室的设备费从第一到第十实验室依次构成有穷等比数列，其公比为，
由题设可得：，即，解得：，
，且，
由可得：，
研究所改建这十个实验室投入的总费用，
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列的性质及基本量的计算、数列在实际问题中的应用，属于基础题．
6．（5分）如图，在正方体中，异面直线与所成的角为　　

A． B． C． D．
【分析】连结，，由，得是异面直线与所成的角，由此能求出异面直线与所成的角．
【解答】解：连结，，
在正方体中，
，
是异面直线与所成的角，
，
，
异面直线与所成的角为．
故选：．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是基础题．
7．（5分）若不等式对任意，恒成立，则的最大值等于　　
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】，，不等式恒成立，可得，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：，，不等式恒成立，
，
，当且仅当时取等号．
的最大值等于9．
故选：．
【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．
8．（5分）我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左、右、上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是　　

A．
B．
C．轴，且
D．四边形的一个内角为
【分析】由椭圆方程求得顶点与焦点坐标，再由椭圆的基本性质求得椭圆的离心率判断；利用勾股定理结合隐含条件求得椭圆离心率判断；由斜率相等列式求得椭圆离心率判断；由条件可得，再结合隐含条件求得椭圆离心率判断．
【解答】解：由椭圆方程，
得，，，，，，
对于，若，则，即，得，不合题意；
对于，由，得，
，得，即，解得或（舍，
故符合条件；
对于，轴，且，，
，，得，又，
，即，不合题意；
对于，由四边形的一个内角为，得，即，
，即，得，不合题意．
故选：．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错或不选的得0分．
9．（5分）下列叙述中正确的是　　
A．若是的必要不充分条件，则
B．若，，，则“”是“”的必要不充分条件
C．若，使不等式成立，则
D．“”是“”的充分不必要条件
【分析】直接利用不等式的性质，充分条件和必要条件，函数的性质的应用，函数的单调性的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于：若是的必要不充分条件，所以或，故，故错误；
对于：由“”整理出“”，但是由“”得不出“”，则“”是“”的必要不充分条件，故正确；
对于，使不等式成立，故，即当时，由于，函数在时，函数在区间上取得最小值，在上单调递减，在，上单调递增，所以在时，函数取得最大值为，故，故错误；
对于：当时，成立，当时，，则或，故“”是“”的充分不必要条件，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，充分条件和必要条件，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10．（5分）直线与曲线恰有一个交点，则实数可取下列哪些值　　
A． B． C．1 D．
【分析】曲线表示以原点为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线与曲线曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围，然后判断选项．
【解答】解：曲线即，表示以原点为圆心、半径等于1的半圆（位于轴及轴右侧的部分），
如图：当直线经过点时，求得；
当直线经过点时，求得；
当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得，求得（舍去），或，
数形结合可得当直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值范围为，，
则实数可取；1
故选：．

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
11．（5分）设数列的前项和为，关于数列，下列四个命题中正确的是　　
A．若，则既是等差数列又是等比数列
B．若，，则是等差数列
C．若，则是等比数列
D．若是等差数列，则，，也成等差数列
【分析】只有时，既是等差数列又是等比数列；由，不能判断是等差数列；由，利用前项和与等比数列的定义，推出是等比数列；是等差数列时，根据前项和与等差数列的定义，得出，，成等差数．
【解答】解：当时，既是等差数列又是等比数列，否则不成立，错误；
如，时，，不是等差数列，错误；
当时，，
，
，
为常数，
是等比数列，正确；
当是等差数列时，，
，
，
，
，
，
即，，成等差数，正确；
故选：．
【点评】本题考查了等差与等比数列的定义与性质的应用问题，是综合性题目．
12．（5分）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　

A．当时，为四边形
B．当时，为等腰梯形
C．当时，与的交点满足
D．当时，为六边形
【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
【解答】解：如图
当时，即为中点，此时可得，，
故可得截面为等腰梯形，故正确；
由上图当点向移动时，满足，只需在上取点满足，
即可得截面为四边形，故正确；
当时，如图，

延长至，使，连接交于，连接交于，连接，
可证，由，可得，故可得，故正确；
由可知当时，只需点上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的，显然为五边形，故错误；
故选：．
【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分（14题第一问2分，第二问3分），共20分.
13．（5分）直线的倾斜角是　　．
【分析】利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．
【解答】解：因为直线的斜率为：，
所以，
所以直线的倾斜角为：．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．
14．（5分）具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的渐近线方程是　　，若双曲线还经过点，，则双曲线的心率为　　．
【分析】求出双曲线的渐近线方程即可得到双曲线的渐近线方程，设双曲线的方程为，求出双曲线的方程，即可求出离心率．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，则双曲线的渐近线方程是，
设双曲线的方程为，
，
解得，
，
，
，，
，
故答案为：，2．
【点评】本题考查了双曲线的方程以及性质，属于基础题．
15．（5分）侧棱长为1，底面边长为的正三棱锥的外接球的体积为　　．
【分析】由正三棱锥可得底面三角形的外接圆的半径，再由外接球的半径与底面外接圆的半径和棱锥的高之间的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．
【解答】解：过顶点作底面的垂线交于，由正三棱锥可得为底面的外接圆的圆心，
三棱锥的外接球的球心在直线上，连接，，则为外接球的半径），
因为为正三角形，且 为，所以的外接圆的半径，
在中，，
在中，，
即，解得，
所以该棱锥的的外接球的体积，
故答案为：．

【点评】本题考查正三棱锥的棱长与外接球的半径的关系，及球的体积公式，属于中档题．
16．（5分）如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，设广告牌的高为．则当广告牌的面积最小时，的值为　7　．

【分析】设广告牌的宽为，则，整理即可得到关于的关系式，再写出广告牌面积，然后利用基本不等式求最值，则答案可求．
【解答】解：设广告牌的宽为，则，
则，，
广告牌的面积
，
当且仅当，即时等号成立．
当广告牌的面积最小时，的值为7，
故答案为：7．
【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知等差数列的各项均为正数，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【分析】（Ⅰ）由题意知，从而可得公差，所以；
（Ⅱ）将列项为，求和即得的值．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列公差为，由题意知，
，，成等比数列，
，
，即，
解得或（舍去），
所以；
（Ⅱ）因为，
所以数列的前项和．
【点评】本题考查数列的通项公式及求前项和，解题时要认真审题，仔细解答，采用裂项相消法是解题的关键，属中档题．
18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积．

【分析】（1）取的中点，连接，．由三角形中位线定理可得，且，得到四边形为平行四边形，进一步得到．由线面平行的判定得到平面；
（2）由已知求解直角三角形得到，求得底面积，再由等体积法求三棱锥的体积．
【解答】（1）证明：取的中点，连接，，
，，分别是，，的中点，
，且，，
且，且，
四边形为平行四边形，得，
又平面，平面，平面；
（2）解：，，，．
三棱锥的体积．

【点评】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查棱锥体积的求法，灵活运用中点推出线线平行是解答该题的关键，是中档题．
19．（12分）知椭圆的右焦点为，且右焦点到左准线的距离为10．
（1）求椭圆的方程；
（2）为坐标原点，过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求的面积．
【分析】（1）依题意有，解得，再求得，即可求解方程．
（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式可得可得，再求点到直线的距离，即可求解．
【解答】解：（1）因为椭圆的右焦点为，且右焦点到左准线的距离为10．
所以，解得，
，
故椭圆方程为：．
（2）过点且斜率为1的直线方程为：，
联立，整理可得：．
，．
，
点到直线的距离，
的面积．
【点评】本题考查了椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
20．（12分）设数列的前项和为，，_______．给出下列三个条件：
条件①：数列为等比数列，数列也为等比数列；
条件②：点，在直线上；
条件③：．
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（1）求数列的通项公式；
（2）设，若中去掉的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求的前30项和．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
（2）利用关系式的应用和数列的关系式求出数列的和．
【解答】解：选择条件①：数列为等比数列，数列也为等比数列；
所以，即，
由于，
所以．
则．
选择条件②：点，在直线上；
所以，当时，，
故两式相减得：，整理得（常数），
由于，所以．
条件③：．①，
当时，条件③：．②，
①②得：，
整理得（常数）
由于，
所以．
则．
（2）由（1）得：，
所以，
故，
则．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，数列的求和，等差数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
21．（12分）已知椭圆的左焦点是抛物线的焦点，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过坐标原点的直线交椭圆于，两点，若在第一象限，轴，连结并延长交椭圆于点．证明：是直角三角形．

【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，可得值，再由点到直线的距离公式求得，由隐含条件求得，则椭圆方程可求；
（2）设，，，，，，可得．．即可得，．从而证得是直角三角形．
【解答】解：（1）因为椭圆的左焦点是抛物线的焦点
所以椭圆的焦点在轴上，且，
因为以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切，所以，
由，可得．
椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，，，，，，
可得，，
则．
，，．
，
，
．
是直角三角形．
【点评】本题考查了椭圆方程、性质，考查了运算能力、转化思想，属于中档题．
22．（12分）如图，在三棱台中，平面平面，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）题根据已知条件，作，根据面面垂直，可得，进一步根据直角三角形的知识可判断出是直角三角形，且，则，从而可证出面，最后根据棱台的定义有，根据平行线的性质可得；
（Ⅱ）题先可设，根据解直角三角形可得，，，，，然后找到与面的夹角即为，根据棱台的特点可知与面所成角与与面的夹角相等，通过计算的正弦值，即可得到与面所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：作，且交于点，
面面，面，，
在中，，
，，
，即是直角三角形，且，
，面，面，，
在三棱台中，，．

（Ⅱ）设，则，，
在中，，，
在中，，
作于，，面，面，
，是直角三角形，且，
设与面所成角为，则即为与面的夹角，
且，
在中，，
，
．
【点评】本题主要考查空间直线互相垂直的判定和性质，以及直线与平面所成角的几何计算问题，考查了空间想象能力和思维能力，平面与空间互相转化是能力，几何计算能力，以及逻辑推理能力，本题属综合性较强的中档题．
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日期：2021/2/24 20:23:20；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394