2023-2024学年福建省泉州市泉州科技中学高二上学期第一次限时训练数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省泉州市泉州科技中学高二上学期第一次限时训练数学试题含答案，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【解析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.
【详解】因为直线的斜率为，所以.
故选：C.
2．直线过点，倾斜角为，则直线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：由直线的倾斜角为，得其斜率为．又过点，∴方程为，即．故选D．
【解析】直线的点斜式方程．
3．设，向量，，且，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【分析】根据空间向量平行与垂直的坐标表示，求得的值，结合向量模的计算公式，即可求解.
【详解】由向量且，
可得，解得，所以，，
则，所以.
故选：C.
4．已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据空间向量的基底性质——基底向量由三个不共面的非零向量构成，即不共线，以此作为判断依据.
【详解】对于A. ,故A错误；
对于B. 不共面，故B正确；
对于C. ,故C错误
对于D. ,故D错误
故选:B
5．如图，直三棱柱中，若，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用向量的平行四边形法则求解即可.
【详解】因为直三棱柱中，若，，，
所以，
故选：C
6．三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与 所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题利用空间向量的线性运算和向量的夹角计算公式求解，首先选择一组基底，那么向量，，然后利用夹角公式计算向量所成角，再利用向量所成角和异面直线所成角间的关系得出答案.
【详解】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，,
设棱长为1，则
,
所以
而
所以
又因为异面直线是锐角，所以异面直线与 所成角的余弦值为，
故选：A.
【点睛】用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比.
7．如图，已知在平行六面体中，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得，进而根据空间向量求模即可.
【详解】由题意可知，因为，
所以，所以．
故选：A．
8．如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出正方体棱长，表达出，判断出在是严格减函数，从而求出最值，得到取值范围.
【详解】设正方体的棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的法向量，则，
取，得，
所以
，
因为，所以在上单调递减，
且，
由复合函数单调性可知单调递增，
所以在是严格减函数，
所以时，取最小值，
时，取最大值．
所以的取值范围是．
故选：C．
【点睛】方法点睛：线面角最值求解，常常用到以下方法：
一是向量法，建立空间直角坐标系，需要引入变量，转化为函数的最值问题进行求解；
二是定义法，常常需要作出辅助线，找到线面角，求出最值，常用知识点有正弦定理，余弦定理，基本不等式等；
二、多选题
9．过点作直线，使得直线和连接点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由题意画出图形，数形结合即能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围.
【详解】由题意，，，
且直线与连接点的线段总有公共点，如下图所示，
所以，即
又因为．故.
故选：AD．
10．下列说法错误的是（ ）
A．直线与直线互相垂直则
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
C．过、两点的所有直线的方程为
D．无论为何值，直线必过定点
【答案】AC
【分析】对于A：取特殊值否定结论；
对于B：分直线经过原点和不经过原点直接求直线方程；
对于C：取特殊值或否定结论；
对于D：用代入法进行验证.
【详解】对于A：当a=0时，直线与直线分别化为：y=1和x=2，互相垂直.故A错误；
对于B：当直线经过原点时，所求直线为：；
当直线不经过原点时，用截距式方程表示：，因为在轴和轴上截距都相等，所以a=b，把（1，1）代入解得：a=b=2，所以所求直线为.故B正确；
对于C：当或时，经过、两点的所有直线的方程不能表示为：.故C错误；
对于D：把代入恒成立，所以无论为何值，直线必过定点.故D正确.
故选：AC
11．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直
B．若直线的方向向量，平面的法向量，则
C．若平面，的法向量分别为，，则
D．若存在实数使则点共面
【答案】AD
【分析】对于A：先计算出，判断出，即可证明与垂直；对于B：判断出，即可得到不成立；对于C：判断出不垂直，即可得到不成立；对于D： 不共线，由平面向量基本定理可以判断；共线时，可以判断共线，则点共面也成立.即可判断.
【详解】对于A：因为直线的方向向量，直线的方向向量，
且，所以，所以与垂直.故A正确；
对于B：因为直线的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正确；
对于C：因为平面，的法向量分别为，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正确；
对于D：若不共线，则可以取为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数使则点共面；
若共线，则存在实数使所以共线，则点共面也成立.
综上所述：点共面.故D正确.
故选：AD
12．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，分别为的中点，则（ ）

A．四面体是鳖臑
B．与所成角的余弦值是
C．点到平面的距离为
D．过点的平面截四棱锥的截面面积为
【答案】ABD
【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，根据鳖臑的定义即可判断A；利用向量法即可判断BC；设过点的平面于线段的交点为，根据共面，可得存在唯一实数对使得，由此求出点的坐标，进而可判断D.
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，
对于A，，
因为，
所以，即，
所以四面体的四个面都为直角三角形，所以四面体是鳖臑，故A正确；
对于B，，
则与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，
设平面的法向量为，则，可取，
则点到平面的距离为，故C错误；
对于D，设过点的平面于线段的交点为，则，
因为共面，则共面，故存在唯一实数对使得，
即，
所以，解得，
所以，则，
因为，所以，
所以过点的平面截四棱锥的截面面积为
，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
三、填空题
13．若直线与直线平行，则 .
【答案】
【分析】根据两条直线平行列方程，由此求得的值.
【详解】依题意可得，解得，当时，两条直线重合，故.
故答案为：
14．已知点A（－2，－5），B（6,6），点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P 的坐标为 .
【答案】（0，－6）或（0,7）
【分析】设点P的坐标为（0，y），由题意可得kAP·kBP＝－1，分别表示出，代入公式，即可求解.
【详解】设点P的坐标为（0，y），因为∠APB＝90°，可得AP⊥BP，
又，
所以kAP·kBP＝－1，即，
解得y＝－6或y＝7.
所以点P的坐标为（0，－6）或（0,7）.
故答案为：（0，－6）或（0,7）.
【点睛】本题考查两直线垂直的应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
15．已知向量（4，﹣5，12），（3，t，），若与的夹角为锐角，则实数t的取值范围为 ．
【答案】（﹣∞，4）
【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数的取值范围．
【详解】解：向量，，，，，，若与的夹角为锐角，
，且与不共线，
即，且 不成立，解得，
则实数的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题．
16．如图，在正方体中，点在线段上运动时，下列命题正确的是 .（将正确答案的序号都填上）

①三棱锥的体积不变
②直线与直线的所成角的取值范围为
③直线与平面所成角的大小不变
④二面角的大小不变
【答案】①②④
【分析】根据三棱锥体积的性质，结合空间向量夹角公式逐一判断即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
①：连接，设该正方体的棱长为，
因为平面，平面，
所以平面，因此点到平面的距离相等，
故，因此本序号说法正确；
②：因为，
所以（或其补角）就是直线与直线的所成的角，
由正方形的性质可知：当与或重合时，
这时直线与直线的所成的角为，
当是中点时，直线与直线的所成的角为，因此本序号说法正确；
③：建立如图所示的空间直角坐标系：
，
设，设
，
，
设平面的法向量为，
所以有，
因为，
设直线与平面所成角为，
显然不是定值，因此本序号说法不正确；
④：设平面的法向量为，
所以有，
因为为定值，
所以二面角的大小不变，因此本序号说法正确，
故答案为：①②④

【点睛】关键点睛：解题本题的关键是利用空间向量夹角公式解决动态问题.
四、解答题
17．已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
【答案】（1）; （2）.
【详解】试题分析：
(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；
(2)利用点斜式可得直线方程为.
试题解析：
（1）， ∴的中点坐标为
，∴的中垂线斜率为
∴由点斜式可得 ∴的中垂线方程为
（2）由点斜式 ∴直线的方程
18．在平行六面体中，，.M为的中点，若.
(1)用基底表示向量；
(2)求向量的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量的运算求得.
（2）先用基底表示向量，然后利用平方的方法求得向量的长度.
【详解】（1）由题意可得
，
故.
（2）由条件得，
，
故
.
19．在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为.
(1)求点和点的坐标；
(2)求边上的高所在的直线的斜截式方程.
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）联立方程组求解即可；（2）由（1）得直线的斜率为即可解决.
【详解】（1）由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，
得，故，
由，
所以所在直线方程为，
所在直线方程为，
由，得
所以点和点的坐标为，.
（2）由（1）知所在直线方程为，
所以直线的斜率为，
因为，
所以直线所在的方程为，即，
所以直线的斜截式方程为.
20．如图所示，在三棱锥中，平面，，．
(1)求证：平面;
(2)求点A到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用坐标证明与平面的两条相交直线垂直；
（2）用点到平面的距离公式直接求出即可．
【详解】（1）因为平面平面，
所以，又，
所以两两垂直，
取中点，连接，由，则为垂直平分线，
则，则，且，，则，
以C为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图所示：
则,
,
因为,
所以,
又因为、平面,
所以平面．
（2）因为平面的法向量为,
所以A到平面的距离．
21．如图，四棱锥的底面为菱形且，底面ABCD，AB=2，，E为PC的中点．
(1)求直线DE与平面PAC所成角的大小；
(2)求二面角平面角的正切值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）建系，利用空间向量求线面夹角；
（2）利用空间向量求二面角.
【详解】（1）连结对角线AC、BD相交于点O，连结DE、OE，
∵分别为的中点，则，，
且平面ABCD，则平面ABCD，
∵底面是菱形ABCD，，AB=2，，则BD=2，，
以O为原点，OA、OB、OE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则有，，，，，
可得，．
∵平面PAC的法向量为，
，
设直线DE与平面PAC所成的角，则，
故直线DE与平面PAC所成的角为.
（2）设二面角的平面角为，
平面ADC的法向量为，
设平面EAD的法向量为，则，
令，则，得到，
∴，
即，则，∴，
故二面角的平面角的正切值是2．
22．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB＝A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的中点，且AA1⊥CM.
(1)证明：MN∥平面ABC；
(2)若AB⊥A1B，求二面角A­-CM­-N的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）取中点，构造平行四边形，由线面平行推出线面平行.
（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系.
【详解】（1）证明：如图
在三棱柱中，连接，取的中点，连接，，
因为三棱柱，所以
因为侧面是矩形，，所以，
又，，所以平面，，
因为，故
因为是的中点，是中点，
所以，且，
又是中点，所以,,
所以四边形是平行四边形，所以，平面
平面，所以平面.
（2）因为，，所以是等腰直角三角形，设，则
，.
在中，，所以.
在中，，所以.
因为，则两两垂直.如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，
设平面的法向量为，
则即，即
取，得，
故平面的一个法向量为.
又因为平面的一个法向量为，
所以.
由图可知二面角为钝二面角，
所以二面角的余弦值为.