2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学菁华校区高二上学期期末数学试题含答案

2022-2023学年河南省许昌市禹州市高级中学菁华校区高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据交集的定义即可得出答案.

【详解】，

.

故选：A.

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先由复数的运算化简，再计算模长.

【详解】，

故选：B

3．甲和乙两人各投篮一次，已知甲投中的概率是0.8，乙投中的概率是0.6，则恰有一人投中的概率为（    ）

A．0.44 B．0.48 C．0.88 D．0.98

【答案】A

【分析】恰有一人投中这个事件是由甲投中乙不中和甲不中乙投中组成，由此可求概率．

【详解】记甲投中为事件，乙投中为事件，恰有一人投中为事件，

由题意，

．

故选：A．

【点睛】本题考查互斥事件和相互独立事件的概率，解题关键是确定恰有一人投中这个事件是由哪些事件组成的．

4．圆与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．外切 C．内切 D．相离

【答案】C

【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解．

【详解】由与圆，

可得圆心，半径，

则，

且，

所以，所以两圆相内切．

故选：C．

5．如图，哈雷彗星围绕太阳运动的轨迹是一个非常扁的椭圆，太阳位于椭圆轨迹的一个焦点上，已知哈雷彗星离太阳最近的距离为，最远的距离为.若太阳的半径忽略不计，则该椭圆轨迹的离心率约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，列出与，列方程组，求出与，得到离心率，可得答案.

【详解】根据图像，设椭圆的长轴为，焦距为，故根据题意，

，，

解得，，

.

故选：C

6．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据共渐近线双曲线系的形式可假设双曲线方程为，代入点的坐标即可求得结果.

【详解】根据渐近线方程可设双曲线方程为：，

双曲线过点，，

双曲线的标准方程为：.

故选：A.

7．已知点，，动点满足，则点的轨迹方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由向量数量积及模长公式,计算即可.

【详解】设,因为,所以

又因为,所以,

即得

可得点的轨迹方程为

故选:.

8．已知方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是

A． B． C． D．且

【答案】C

【分析】根据椭圆焦点在y轴上，列不等式组即可求得k的取值范围．

【详解】由方程的曲线是焦点在轴上的椭圆，，

可知：，解得：，

实数k的取值范围，

故选C．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点位置，考查计算能力，属于基础题．

9．如图所示，在平行六面体中，与的交点为M．设，则下列向量中与相等的向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意用向量去表示，再由，即可得出结果.

【详解】

由图可得，

所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查空间向量的运算，属于中档题.

10．若数列满足，，则数列的前n项和最大时，n的值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】B

【分析】根据等差数列的定义，结合等差数列的通项公式进行求解即可.

【详解】因为，，所以数列是以19为首项，为公差的等差数列，所以．要使的前n项和最大，则需，即，所以，又，所以，

故选：B

11．如图，是正四棱柱被平面所截得的几何体，若，，，则截面与底面所成锐二面角的余弦值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，平面的法向量为，平面的一个法向量为，计算得到答案.

【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，

则，，，设平面的法向量为，

则，取得到，

平面的一个法向量为，，

故截面与底面所成锐二面角的余弦值是，

故选：B

12．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】D

【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理即可求解.

【详解】不妨设在第一象限，由椭圆和双曲线的定义可得：，所以，

在中，由余弦定理可得，

化简得，所以，即，

故选：D

二、填空题

13．若4x=9y=6，则         ．

【答案】2

【分析】先求出＝log64，＝log69，再求的值.

【详解】4x=9y=6，两边取以6为底的对数，得xlog64＝ylog69＝1，

∴＝log64，＝log69，

故＝log64＋log69＝.

故答案为：2

14．已知空间向量满足，，则与的夹角为         ．

【答案】/120°

【分析】根据题设知可构成三角形，利用余弦定理求与的夹角.

【详解】由，即可构成三角形，

所以，

又，故.

故答案为：

15．设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则      ．

【答案】

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】，

由于，

故答案为：

16．过双曲线右焦点作一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于两点，为坐标原点，，的平分线交轴于点，且到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为      ．

【答案】/

【分析】由内切圆的定义可得三角形OAB的内切圆圆心为M，进而得出四边形为正方形，由距离公式得出，最后由直角三角形的边角关系以及离心率公式求解即可.

【详解】双曲线的渐近线如下图所示：

由题意可知三角形OAB的内切圆圆心为M，过点M分别作于点N，

于点T，由知四边形为正方形，

焦点到渐近线的距离为，

得，又，所以，

所以，所以，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．如图，在平面直角坐标系上，有点，，.

(1)证明：是直角三角形；

(2)求的外接圆方程.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由两点之间斜率公式，根据两直线垂直的斜率关系，可得答案；

（2）根据直角三角形外接圆的性质，利用中点坐标公式以及两点之间距离公式，可得答案.

【详解】（1）依题意得，，所以，

所以，即是直角三角形.

（2）取的中点，，

所以的外接圆方程是.

写成一般式：.

18．已知△的内角，，的对边分别为，，，若．

（1）求角．

（2）若，求△的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角．

（2）由余弦定理得求b，再利用三角形面积公式求△的面积．

【详解】（1）由正弦定理，，又，

，即，由，得.

（2）由余弦定理知：，

∴，解得，

.

19．等差数列的各项均为正数，,前n项和为．等比数列 中，，且,．

（1）求数列与的通项公式；

（2）求．

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）由题意,要求数列与的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d，q,然后根据等差数列的前项和公式,代入,,求出d，q即可写出数列与的通项公式．

（2）由（1）可得,即,而要求,故结合的特征可变形为,代入化简即可．

【详解】（1）设等差数列的公差为d，d＞0，的等比为q

则 ,,

依题意有，解得或（舍去）

故,

（2）由（1）可得

∴

∴

=．

【点睛】本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d＞0．第二问考查了求数列的前n项和，关键是要分析数列通项的特征,将等价变形为,然后代入计算，这也是求数列前n项和的一种常用方法--裂项相消法！

20．已知为椭圆（）上一点，，是的焦点，.

(1)若，求椭圆的离心率；

(2)若点的坐标为，求椭圆的标准方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，，，则，利用椭圆定义和勾股定理，从而求出答案；

（2）（法一）设，，求出、、，利用得

，再由求出，利用，从而得到椭圆方程；

（法二）设，，利用椭圆定义和勾股定理得，

可得，由在椭圆上得，结合解得可得答案.

【详解】（1）设，，

依题意，不妨设，则，

所以解得，

即；

（2）（法一）设，，

则，，，

由得，

即，解得，

所以，，

所以，即，，

故椭圆的的方程为；

（法二）设，，

又由得，

即，另一方面，

所以，

由在上得，即，

所以，

又由，解得，

即，，即椭圆的的方程为.

21．如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，平面ABCD，，，M为PC的中点.

(1)求证：平面平面PCD；

(2)若，求四棱锥的体积.

(3)在（2）的条件下，求二面角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，设出，利用平面向量的法向量证明面面垂直；

（2）先利用得到向量垂直，得到值，进而求出四棱锥的体积；

（3）利用平面的法向量求二面角即可.

【详解】（1）解：以点为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图所示），

设，，

则，，，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，则，

令，得；

设平面的一个法向量为，则，

令，得；

因为，所以，

即平面平面PCD.

（2）解：因为，，且，

所以，解得，即，

所以四棱锥的体积为；

（3）解：由（1）得平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为，

所以，

所以二面角的大小为.

22．在平面直角坐标系中，直线与抛物线（）交于点,设直线、的斜率分别为、.

(1)若直线经过抛物线的焦点，证明：；

(2)若（为常数），直线是否经过某个定点？若经过，求出这个定点；若不经过，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)当时，直线经过定点；当时，直线不过定点.

【分析】(1) 设直线，、，联立直线方程与抛物线方程得，由韦达定理可得，，再根据即可证明；

(2) 设直线，、，立直线方程与抛物线方程得，由韦达定理可得，，由可得，当时，可得，代入直线方程即可得结论.

【详解】（1）证明：易知，

设直线，、，

代入中得，

所以，，，

所以；

（2）解：设直线，、，

代入中得，

所以，，

由，得，

所以，

代入中得：，

故直线经过定点；

当时，则有，

又因为，

所以只有，

所以直线，

此时直线不过定点.

综上所述：当时，直线经过定点；当时，直线不过定点.