2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末数学（理）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末数学（理）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题1．抛物线的焦点坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.【详解】由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为.故选：C.2．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据必要不充分条件的定义可得答案.【详解】由不一定能推出，如当时，，但是，由，可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．下列叙述中，错误的是（    ）A．数据的极差反映了数据的集中程度B．数据的标准差比较小时，数据比较分散C．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响D．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变【答案】B【分析】根据极差、标准差、中位数和平均数的概念逐个选项分析可得答案.【详解】数据的极差反映了数据的集中程度，故A正确；数据的标准差比较小时，数据比较集中，故B错误；样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响，故C正确；任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确.故选：B.4．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（    ）A．①简单随机抽样，②系统抽样B．①分层抽样，②简单随机抽样C．①系统抽样，②分层抽样D．①②都用分层抽样【答案】B【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异.【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题.5．已知命题p：直线的倾斜角为；命题q：椭圆的长轴长为2．则下列命题为真命题的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断出命题与的真假，再根据真值表可得答案.【详解】因为直线的斜率为，倾斜角为，故命题p为真命题；因为椭圆的长轴长为，故命题q为假命题，所以为假命题，为假命题，为真命题，为假命题.故选：C6．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据.由表中数据，求得线性回归方程为.若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（    ） 记忆能力x46810识图能力y3568A．9.2 B．9.7 C．9.5 D．9.9【答案】C【分析】求出，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令x＝12，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，，，线性回归方程为，则，解得，故，当x＝12时，.故选：C.7．向半径为2的圆中均匀投点M个，若落入其内接正方形的点有N个，则圆周率近似值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何概型的概率公式可得结果.【详解】半径为的圆的面积为，其内接正方形的边长为，面积为，根据几何概型的概率公式得，所以.故选：B.8．《九章算术》中介绍了一种研究两个整数间关系的方法即“更相减损术”，该方法的算法流程图如图所示，若输入a＝12，b＝8，i＝0，则输出的结果为（    ）  A．a＝6，i＝2 B．a＝5，i＝3 C．a＝4，i＝2 D．a＝4，i＝3【答案】D【分析】模拟程序运行的过程，分析循环中各变量值的变化，可得答案.【详解】初始值a＝12，b＝8，i＝0，第一次执行循环体后，i＝1，a＝4，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，i＝2，b＝4，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，i＝3，a＝b＝4，满足退出循环的条件；故输出i＝3，a＝4，故选：D.9．从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取两张，则抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据列举法和古典概型的概率公式可得结果.【详解】从分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片中随机抽取两张卡片，则抽到的两张卡片上的数字之积有，共种，其中抽到的两张卡片上的数字之积是3的倍数的有，共种，所以所求概率为.故选：C.10．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|＝6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（    ）  A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m【答案】B【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.【详解】  取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，则，设抛物线方程，将点C代入抛物线方程得，∴抛物线方程为，行车道总宽度，∴将代入抛物线方程，则，∴限度为.故选：B.11．已知三棱锥的底面是正三角形，侧面底面，且，，若该三棱锥的外接球的表面积为，则AB的值为（    ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】设的外接圆的圆心为，设为的中点，推出为三角形的外接圆的圆心，设该三棱锥的外接球的球心为，取的中点，根据球的性质推出四边形为矩形，所以，再根据已知条件计算可得结果.【详解】设的外接圆的圆心为，连，并延长交与，则为的中点，设为的中点，因为侧面底面，，平面平面，平面，所以底面，又底面，所以，所以为三角形的外接圆的圆心，设该三棱锥的外接球的球心为，连，，则平面，平面，取的中点，则，因为底面，所以平面，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，平面，所以，所以四边形为矩形，所以，因为三棱锥的外接球的表面积为，所以，得，设，则，，因为，，，所以，所以，由，得，得，即.  故选：C.【点睛】关键点点睛：根据面面垂直的性质定理和球的性质求解是解题关键.12．已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若（O为坐标原点），则C的离心率为（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】因为，O是的中点，所以为PF2的中点．又，到渐近线的距离为，得出的余弦值，在△QF2F1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.【详解】根据对称性不妨设P为第一象限的点，∵O为F1F2的中点，又，∴Q为PF2的中点，又F2（c，0）到的距离，∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝，  连接，所以，又|F1F2|＝2c，∵PO的斜率为，又QF2⊥PO，∴QF2的斜率为，∴，∴，在△QF2F1中，由余弦定理可得：，化简可得a＝b，∴双曲线C的离心率为＝.故选：A. 二、填空题13．写出使“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值    .【答案】4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）【分析】由双曲线焦点在x轴上的特征求解即可.【详解】∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，即，∴“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.14．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是      .【答案】5【分析】作出不等式组对应的平面区域，再由几何意义求解即可.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：  由得，平移直线，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由解得，此时，故答案为：5.15．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台O′O的母线长为        cm.  【答案】9【分析】设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，根据相似三角形的性质得 ．解此方程得y=9．所以圆台的母线长为9cm．故答案为9cm．【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题.16．关于曲线有如下四个命题：①曲线C经过第一、二、四象限；②曲线C与坐标轴围成的面积为；③直线与曲线C最多有两个公共点；④直线与曲线C有且仅有一个公共点.其中所有真命题的序号是         （填上所有正确命题的序号）.【答案】①③④【分析】分，，，四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的图象，根据图象逐一分析即可.【详解】当，可得曲线方程为，为圆的一部分；当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；当，曲线方程为，不存在这样的曲线；作出曲线得图象，如图所示，由图可知，曲线C经过第一、二、四象限，故①正确；②中，围成的面积S＝，故②不正确；③中，因为直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，圆心O到直线的距离，，则时，直线与曲线相切，只有一个交点，当时，直线与曲线有两个交点，当或时，直线与曲线无交点，所以直线与曲线C最多有两个公共点，故③正确；④由图象知直线与曲线C有且仅有一个公共点，故④正确.故答案为：①③④.  【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键. 三、解答题17．已知函数，.(1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得判别式小于0，由此即可求出的范围；（2）化简不等式，然后讨论，，三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．【详解】（1）因为不等式的解集为，则，解得，所以实数的范围为；（2）不等式化简为，即，因为方程的两根分别为，，当时，不等式化为，此时不等式无解，当时，解不等式可得，当时，解不等式可得，综上可得：当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，E，F分别为SD，BC的中点．    (1)证明：平面；(2)若平面平面，．求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）取的中点，连，，可证四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理可证平面；（2）先推出，再根据面面垂直的性质定理推出平面，从而可得.【详解】（1）取的中点，连，，因为为的中点，所以，，又底面为菱形，为的中点，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为底面为菱形，，所以，所以为等边三角形，因为为的中点，所以，因为，所以，因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面，因为平面，所以.  19．某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.  (1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.【答案】(1)18.32（万元）(2)20.8万元，理由见解析 【分析】（1）根据概率和为1算出a的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；（2）根据频率分布直方图即可求解.【详解】（1）根据频率分布直方图可得：（0.03+a+0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，解得a＝0.07，∴该公司销售员月销售额的平均数为：＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；（2）设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x，则根据频率分布直方图可得：（22﹣x）×0.1+0.08＝0.2，解得x＝20.8，∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.20．已知圆心为C的圆过点，，在①圆心在直线上；②经过点这两个条件中任选一个作为条件.(1)求圆C的方程；(2)经过直线上的点P作圆C的切线，已知切线长为4，求点P的坐标.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析，(2)或 【分析】（1）根据题意，若选①，可得直线垂直平分线所在直线方程，然后与直线联立，即可得到圆心，从而得到圆C的方；若选②，可设圆的方程一般式，然后将点的坐标代入，即可得到结果；（2）根据题意，由条件列出方程，然后求解，即可得到结果.【详解】（1）若选①，∵圆过点，，则直线的斜率为，所以与直线垂直的直线斜率，且的中点为，即，则的垂直平分线所在直线方程为，即，又知圆心在直线上，∴，解得，所以圆心.半径为.所以圆的标准方程为.若选②，设圆的方程为，（其中），则，解得，所以，圆方程为，化为标准方程为.（2）设，∵经过直线上的点P作圆C的切线，切线长为4，∴，化简得，∴，解得或，∴点P的坐标为或.21．在平面直角坐标系中，已知圆心为C的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E．(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；(2)已知及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为，，且，求证：直线BD经过定点．【答案】(1)E的方程为，曲线E是抛物线.(2)证明见解析 【分析】（1）设圆心，根据动圆过点，且在轴上截得的弦长为4列式可得结果；（2）设直线：，代入得，，再利用斜率公式和推出，从而可得结论成立.【详解】（1）设圆心，半径为，因为圆心为C的动圆过点，所以，因为圆心为C的动圆在轴上截得的弦长为4，所以，所以，即，所以曲线E是抛物线.（2）设直线：，联立，消去并整理得，，即，设，，则，，因为，，所以，所以，将，代入得，即，所以直线：，即，所以直线BD经过定点.  22．已知椭圆的离心率为，过C的右焦点F的直线l交椭圆于A，B两点，当l垂直于x轴时，．(1)求C的方程；(2)若点M满足，过点M作AB的垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记，（O为坐标原点）的面积分别为，，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据和求出和可得结果；（2）设直线：，代入椭圆方程，求出的中点的坐标，再求出直线的方程，得的坐标，再求出，然后换元，利用导数得单调性，根据单调性可求出取值范围.【详解】（1）设，当时，，，，依题意得，又，，解得，，所以C的方程为.（2）由（1）知，，由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线：，，，因为，所以为的中点，联立，消去并整理得，恒成立，，，所以，所以，则直线的方程为，令，得，即，令，得，即，则，，由题意得与相似，所以，所以，所以，设，因为，所以，令，，，所以为上的增函数，所以，所以的取值范围是.【点睛】关键点点睛：设直线：，利用表示的坐标，进而表示，再根据函数的单调性求取值范围是解题关键.