2023-2024学年重庆市高二上学期入学考试模拟数学试题含答案

这是一份2023-2024学年重庆市高二上学期入学考试模拟数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年重庆市高二上学期入学考试模拟数学试题 一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则的虚部为（    ）．A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由，即可确定的虚部【详解】，则的虚部为故选：B2．已知向量，，则在上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】解法1：根据向量坐标表示与运算求解；解法2：结合图形处理问题.【详解】解法1：因为，，则在上的投影向量为.解法2：因为，由图可得，在轴上的投影数量为，则在上的投影向量.故选：B.  3．在中，，，则（    ）A．2 B． C．-2 D．【答案】C【分析】先由求出和，再用两角和的正切公式即可求出.【详解】因为在中，，所以为锐角，所以，，则.故选：C4．已知，是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则（    ）A．若 ，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】根据线面平行、垂直和面面平行、垂直的性质和判定分析判断即可【详解】对于A，当 ，时，直线m，n相交，异面，平行都有可能；对于B，还少了条件，，才能得到相应的结论；对于C，当，时，，m与相交但不垂直都有可能；对于D，设直线的方向向量分别为，若，，则平面，的一个法向量分别为，且，所以，所以D正确，故选：D．5．已知函数在上的最小值为，则的值为（    ）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根据余弦函数的图象性质判断即可.【详解】因为，所以．由于函数在上的最小值为，则在上的最小值为，又所以，解得．故选：C.6．某圆台的侧面展开是一个半圆环（如图所示），且其中内、外半圆弧所在圆的半径分别为2和6，则该圆台的体积为（    ）  A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆台的体积公式求解.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，，所以，，且圆台的母线长为，则圆台的高为,所以圆台的体积为,故选：.7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（    ）  A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根据线线平行即可得∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，由三角形的边角关系即可求解.【详解】连接AC，BD，设AC∩BD=O，则O是AC，BD的中点，连接OE，由于E是PC的中点，所以，则∠BEO为异面直线BE与PA所成的角，OE=PA=2，BO=，由于PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，而平面,所以，则.故选：D  8．在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根据条件确定是等边三角形，再建立坐标系，用坐标法求数量积的范围.【详解】，，，，可得， ，，若，则，，，可得，，，即，即是等边三角形.如图所示，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，，，.由题意设，则，，.因为，所以.故选：C.   二、多选题9．已知复数满足，则（    ）A． B．是纯虚数C． D．复数z在复平面内对应的点在第四象限【答案】ABD【分析】根据复数的概念以及几何意义、除法运算求解即可.【详解】设，则，由，可得，所以解得，因此，A正确；，为纯虚数，B正确；，C错误；，其在复平面内对应的点为，在第四象限，D正确．故选:ABD．10．已知正方形的边长为2，向量，满足，，则（    ）A． B．C．在上的投影向量的模为 D．【答案】BD【分析】利用条件表示出，进而可以判断A错误；利用向量的数量积运算可以判断B正确；利用投影向量的定义即可判断C错误；由可以判断D正确.【详解】对于A，由已知可得，在正方形中可得，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，在上的投影向量的模为，故C错误；对于D，，又与均不是零向量，所以，故D正确.故选：BD.11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，，则（    ）A． B．C． D．外接圆的半径为【答案】AB【分析】根据余弦定理可求出判断A，由余弦的半角公式求出判断C，再由余弦定理求出判断B，由正弦定理求外接圆半径判断D.【详解】由余弦定理可知，，故A正确；由，解得，故C错误；由，解得，故B正确；因为，所以三角形外接圆直径，即，故D错误.故选：AB12．如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，，为圆柱的两条母线，且，，，则（    ）  A．平面B．直线与平面所成的角的正切值为C．直线与直线所成的角的余弦值为D．点到平面的距离为【答案】ACD【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用线面角的定义可判断B选项；利用异面直线所成角的定义可判断C选项；利用等体积法求出点到平面的距离，可判断D选项.【详解】对于A，由已知得平面，平面，所以，又因为是底面圆的直径，在圆周上且异于、两点，所以，又，、平面，所以平面，故A正确；对于B，因为平面，所以直线与平面所成的角为，因为，则，所以，，，故，故直线与平面所成的角的正切值为，故B错误；对于C，连接，   因为且，故四边形为平行四边形，所以，，所以直线与直线所成的角为或其补角，在中，，，所以，故C正确；对于D，设点到平面的距离为，则，即，又，，所以，解得，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．用斜二测画法画出的水平放置的的直观图如图所示，已知，，则      ．  【答案】【分析】根据斜二侧画法和已知条件得到为直角三角形，从而可求得结果.【详解】由斜二测画法得，在中，，，所以．故答案为：  14．设复数在复平面内对应的点为，若，则的最大值为       ．【答案】7【分析】根据复数的几何意义分析可得：点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部，结合圆的性质运算求解.【详解】因为，则点组成的集合是圆心在原点O，半径的圆及其内部．的坐标为．所以的最大值为．故答案为：7.15．在中，点满足，若线段上的一点满足，则的取值范围是         .【答案】【分析】利用向量三点共线定理得到即可.【详解】，，.，，三点共线，，，，，.故答案为：16．汾阳文峰塔建于明末清初，位于山西省汾阳市城区以东2公里的建昌村，该塔共十三层，雄伟挺拔，高度位于中国砖结构古塔之首．如图，某测绘小组为了测量汾阳文峰塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的三个测量基点，，，现测得，，，，，在点测得塔顶的仰角为62°，则塔高      ．（结果精确到）．参考数据：取，，．  【答案】【分析】根据余弦定理先求出BD，再利用正弦定理即可求解.【详解】由余弦定理得，则．在中，由正弦定理得，则．在中，，所以．故答案为： 四、解答题17．已知复数，，．(1)若是纯虚数，求；(2)若，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先计算，然后由其为纯虚数，可得实部为零，虚部不为零，从而可求出的值；（2）由可复数为实数，则虚部为零，实部大于零，求出的值，从而可求出复数，进而可求得.【详解】（1）由题意得，因为是纯虚数，所以，得．（2）因为，所以，得．故．18．已知点为中边上一点，．(1)设，求的值．(2)设，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据平面向量的线性运算求得，由此求得.（2）根据向量数量积运算求得的值.【详解】（1）因为．所以．所以．所以．所以．（2）．19．如图所示，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，，且，，分别是，的中点.    (1)证明：平面平面；(2)若平面平面，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据条件可以证明平面，平面，进而可以证明平面平面；（2）利用条件可以求出到平面的距离，进而利用体积公式可以求出结果.【详解】（1）因为，，是的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，从而.因为平面，平面，所以平面.同理平面，又，所以平面平面.（2）设的中点为，连接，则.  因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，所以到平面的距离为，所以.20．已知的内角的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，证明：是直角三角形.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】化简条件，利用余弦定理即可求得；利用正弦定理，把题中边的关系化为角的关系，进一步计算即可求得.【详解】（1）由整理可得，由余弦定理可得，又，.（2）由及正弦定理，可得，，，，，，即是直角三角形.21．函数的部分图象如图所示.已，，，.(1)求和的解析式;(2)将的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）设的最小正周期为，则可得，由周期公式可求出，结合图象可求出，再由可求出，然后将代入解析式中可求出的值，从而可求出，（2）由三角函数图象变换规律求出的解析式，再由，可得，然后利用正弦函数的性质可求出函数的值域.【详解】（1）设的最小正周期为，因为，，所以，所以，，所以，，因为，所以，因为，所以，所以，将点的坐标代入，得，所以，解得，因为，所以，所以；（2）将的图象向右平移个单位长度后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象.由，可得，所以，所以，所以在上的值域为.22．中国剪纸是一种民间艺术.具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，现有一张矩形卡片，对角线长为（为常数），从中裁出一个内接正方形纸片，使得点，分别，上，设，矩形纸片的面积为，正方形纸片的面积为.  (1)当时，求正方形纸片的边长（结果用表示）；(2)当变化时，求的最大值及对应的值【答案】(1)(2)最大值为， 【分析】（1）设正方形的边长为，则，，则，求出，代入即可.（2）表示，得到，结合对勾函数的单调性进行求解.【详解】（1）设正方形的边长为，因为，易知，又，所以，，，，即，整理得到，当时，.（2），因为，则，，则，在上单调递减，当时，故的最大值为，此时，，故，即.