2022-2023学年四川省仁寿县校际联考高二下学期第一次质量检测数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省仁寿县校际联考高二下学期第一次质量检测数学（理）试题

一、单选题

1．设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】D

【分析】在A中，l与相交、平行或；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，或；在D中，由线面垂直的性质定理得．

【详解】由l，m是两条不同的直线，是一个平面，知：

在A中，若，，则l与相交、平行或，故A错误；

在B中，若，，则l与m相交、平行或异面，故B错误；

在C中，若，，则或，故C错误；

在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D正确．

故选D．

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

2．命题“,”的否定是(    )

A．, B．不存在,

C．, D．,

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可得到结果。

【详解】因为特称命题的否定为全称命题,

所以命题“,”的否定是:，.

故选:D.

3．已知函数，则（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用导数的定义求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

故选：C

4．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出抛物线的准线方程，设点的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.

【详解】抛物线焦点，准线方程为，

设点的横坐标为，根据抛物线的定义，

.

故选:C

【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题.

5．已知双曲线：，则的焦点到其渐近线的距离为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据双曲线的对称性取其中一个焦点坐标和一条渐近线即可，根据点到直线的距离公式求出结果即可．

【详解】由题知双曲线的标准方程为，

所以其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，

又根据双曲线的对称性，

不妨取焦点到渐近线方程为的距离，

故的焦点到其渐近线的距离为．

故选：A．

6．若函数，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】先对函数求导，采用赋值的方式计算出的结果，由此计算出的值.

【详解】因为，所以令，则，

所以，则，

故选：B.

【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般.

7．已知，为的导函数，则的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先将函数化简为，再求得，判断为奇函数，排除B，D；再分析选项A，C图像的区别，取特殊值即可判断出答案．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴为奇函数，其图象关于原点对称，故B，D错误；

将代入得：，故C错误．

故选：A．

8．下列命题正确的是（    ）

A．“，”的否定为假命题

B．若“，”为真命题，则

C．若，，且，则

D．的必要不充分条件是

【答案】C

【分析】A选项，由题可知“，”的否定，后可判断选项正误；

B选项，利用全称命题定义可判断选项正误；

C选项，由基本不等式可判断选项正误；

D选项，由充分条件，必要条件定义可判断选项正误.

【详解】对于A：，∴恒成立，则，为假命题，故A错误；

对于B：当时，不恒成立，故B错误；

对于C：∵，∴，∴，解得，故C正确；

对于D：当时，得不到，但当时，必有，所以是的充分不必要条件，故D错误．

故选：C

9．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.

【详解】函数的定义域为，

因为函数有两个不同的极值点，

所以有两个不同正根，

即有两个不同正根，

所以解得，

故选:A.

10．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ）

A．16 B．12 C．8 D．4

【答案】D

【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案.

【详解】对求导得，

由得，则，即，

所以，

当且仅当时取等号．

故选：D．

11．设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交与B，C两点，过B，C分别作AB，AC的垂线交与D，若D到直线BC的距离不小于，则该双曲线的离心率的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则由得，，再结合到BC的距离不小于，列出不等关系，即得解.

【详解】由题意，

由双曲线的对称性可知D在x轴上，

设，则由得：

到BC的距离不小于

故选：A

【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

12．已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】对求导，研究函数的单调性、极值等性质，利用的图象求得的范围，以及与的关系，将问题转化为关于的函数的值域的问题进行求解即可．

【详解】因为，故可得，

令，解得，

当或时，；时，，

故在单调递增，在单调递减，在单调递增．

则的极大值为，的极小值为，

∵，

∴当时，；当时，；当时，，

根据以上信息，作出的大致图象如图所示：

由图可知，直线与函数的图象有3个交点时，方程有3个不同的实根，则，

因为方程的3个不同的实根为，则，

又因为，

故，

令，

则，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，又，，故可得，

所以时，，即．

故选：A．

【点睛】方法点睛：已知方程根的个数，求参数的取值范围的常用方法：

（1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解；

（3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题．

二、填空题

13．若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为      .

【答案】

【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再根据弦长公式计算得到答案.

【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，

故.

故答案为：

14．已知p：，q：，；若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围            ．

【答案】

【分析】首先解不等式得到或，或，根据题意得到，再解不等式组即可.

【详解】，

解得.

或，或，

因为是的必要不充分条件，

所以.

故答案为：

15．19世纪丹麦数学家琴生对数学分析做出卓越贡献，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，定义：函数f(x)在(a，b)上的导函数为，在(a，b)上的导函数为，若在(a，b)上<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“严格凸函数”．若函数f(x)=在(1，4)上为“严格凸函数”，则m的取值范围为     ．

【答案】

【分析】求出函数f(x)的导数，再对求导并根据给定定义列出恒成立的不等式即可得解.

【详解】因函数f(x)=，则，，

依题意，，而函数在(1，4)上单调递增，

即，因此，，

所以m的取值范围为.

故答案为：

16．已知函数，则不等式的解集为          ．

【答案】

【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数以及放缩法得出函数的单调性，将不等式化简，计算出不等式的解集．

【详解】函数的定义域为，且，则是偶函数，，且，是奇函数，又，即是为增函数，当时，，即在上为增函数，则不等式等价于，，平方得，化简得，解得或，

故答案为：

三、解答题

17．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3.

（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

【答案】（1）2＜x＜3；（2）2≤a≤.

【解析】（1）分解因式化简命题p，解绝对值不等式化简q，利用p∧q为真命题，求出实数x的取值范围；

（2）利用p是q的充分不必要条件，列出不等式，解出实数a的取值范围．

【详解】p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a（a＞0）.

q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8.

（1）当a＝1时，p：1＜x＜3.p∧q为真命题，∴，解得2＜x＜3.

∴实数x的取值范围是2＜x＜3.

（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，

解得：2≤a≤.

∴实数a的取值范围是2≤a≤.

【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的应用，考查学生计算能力，属于中档题．

18．已知函数在与处都取得极值．

(1)求函数的解析式及单调区间；

(2)求函数在区间的最大值与最小值．

【答案】（1），单调增区间是，减区间是（2），

【分析】（1）对求导，根据在与处都取得极值，得和，建立方程组求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正负时x的范围，从而得出相应的单调区间，得解；

（2）根据（1）可得出的极值点，再求出边界点和的值，与极值点的函数值比较大小可得解.

【详解】（1）因为，所以,

因为在与处都取得极值，

所以，即，解得

即，所以，

令或，令，

所以的单调增区间是，减区间是.

（2）由（1）可知，

的极小值，的极大值，而，，

可得时，，.

故得解.

【点睛】本题考查通过导函数研究函数的单调性，极值，最值的问题，属于基础题．

19．如图，四棱锥中，底面是正方形，底面，且分别为的中点.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）方法一：取的中点，利用中位线性质证明四边形是平行四边形，根据平行四边形性质可得，由线面平行判定定理即可证明；方法二：建立空间直角坐标系，由即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，易得平面的一个法向量为，平面的法向量为，由法向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）方法一：取的中点，连接，如图（1）所示：

因为分别是的中点，

在中，,,

因为底面是正方形，为的中点

所以，

所以且，四边形是平行四边形，

所以，又因为平面平面；

所以平面.

方法二：因为底面是正方形，底面，所以两两垂直，

以为原点，方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示：

由条件可知；

平面的一个法向量是；

，所以；

因为平面，所以平面

（2）因为底面是正方形，底面，

所以两两垂直，以为原点，

方向分别为轴建立空间直角坐标系，如图（2）所示：

设二面角的平面角为，平面的法向量为，

由条件可知；

，取，则，平面的法向量为；

平面的一个法向量为；

；

因为为锐角，故，

所以二面角的余弦值为.

20．已知函数，．

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据导数与切线的关系求解；

(2)根据导数结合不同的值分类讨论求解.

【详解】（1）当时，，

，，，

曲线在处的切线方程为，

即．

（2），

①当时，当时，，当时，，

∴在单调递增，在单调递减；

②当时，由，得，或；

由，得，

∴在，单调递减，在单调递增；

③当时，恒成立，∴在单调递减；

④当时，由，得，或；

由，得，

∴单调递减区间为，，单调递增区间为

21．已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.

(1)求E的方程；

(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

【答案】（1） （2）

【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求.

试题解析：（1）设，因为直线的斜率为，

所以，.

又

解得，

所以椭圆的方程为.

（2）解：设

由题意可设直线的方程为：，

联立消去得，

当，所以，即或时

.

所以

点到直线的距离

所以，

设，则，

，

当且仅当，即，

解得时取等号，

满足

所以的面积最大时直线的方程为：或.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.

22．已知函数．

(1)若函数有两个零点，求实数m的取值范围；

(2)若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）问题转化为函数的图像与直线有两个交点，利用导数研究的单调区间和极值，作出函数图像，数形结合求实数m的取值范围；．

（2）通过函数的图像和极值，解决不等式仅有一个整数解的问题.

【详解】（1）函数有两个零点，相当于函数的图像与直线有两个交点．

函数，则，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也是最大值为，

当时，，时，，

函数的图像如图所示，

可得，所以实数m的取值范围为．

（2）因为，所以不等式仅有一个整数解，

即只有一个整数解，因为的极大值为，，，

所以当时，只有一个整数解，

即当时，不等式仅有一个整数解．

所以实数的取值范围是.