2022-2023学年四川省雅安市高二下学期期末检测数学（理）试题含答案

2022-2023学年四川省雅安市高二下学期期末检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知，则复数z在复平面内对应的点位于（    ）.

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】先解出复数，由复数的几何意义判定.

【详解】因为，则，

复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，

故选：A.

2．已知向量，，若，则（    ）

A．2 B．18 C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可．

【详解】因为，则存在实数使得，即，

解得，所以，

故选：B．

3．已知命题p：，；命题q：直线：与：相互垂直的充要条件为，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】确定命题的真假，然后由复合命题的真值表判断．

【详解】令，则，所以p为真命题；

若与相互垂直，则，解得，故q为假命题，

所以只有为真命题.

故选：B．

4．下列说法中正确的是（    ）

A．“”是“”成立的充分不必要条件

B．命题，，则，

C．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1

D．已知样本点组成一个样本，得到回归直线方程，且，剔除两个样本点和得到新的回归直线的斜率为3，则新的回归方程为

【答案】D

【分析】对于A，利用特殊值进行排除；对于B，根据命题的否定定义进行判断；对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1；对于D，求出剔除两个样本点和得到新的样本的平均数，再进行求解.

【详解】对于A，满足，但，所以“”不是“”成立的充分条件，故A错误；

对于B，命题，，则，，故B错误；

对于C，相关关系越强，相关系数越接近于1，当负相关时，相关系数r越接近于，相关关系越强，故C错误；

对于D，已知回归直线方程，且，则，剔除两个样本点和，得到新的回归直线的斜率为3，新样本平均数，，则新的回归方程为.故D正确.

故选：D.

5．已知，且，则（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.7 D．0.8

【答案】C

【分析】根据二项分布期望、方差公式及已知列方程求即可.

【详解】由题设，，则，

所以.

故选：C

6．当时，函数取得最小值1，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，，，即可求出a，b的值，进而得到.

【详解】由题意可得，，，

因为，所以，解得，

则，所以，

故选：A.

7．经过点作曲线的切线有（    ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】C

【分析】设出切点坐标，写出切线方程

把代入，研究方程根的情况即可.

【详解】因为，

设切点为，所以曲线在点处的切线方程为.

将代入，得即：或，

所以，此时，切点为；

或

因为，所以方程有两个不同的根，且根不为0，所以方程共有3个不同的根，即经过点作曲线的切线有3条.

故选：C.

8．小明通过调查研究发现，网络游戏《王者荣耀》每一局时长X（单位：分钟）近似满足．根据相关规定，所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时网络游戏服务．小明还未成年，他在周五晚上20：45想打一局游戏，那么根据他的调查结果，他能正常打完一局比赛的概率为（    ）

（参考数据：，，）

A．0.8414 B．0.1587 C．0.9773 D．0.0228

【答案】B

【分析】根据正态分布曲线的对称性求概率即可.

【详解】由题意知，故.

故选：B．

9．某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】方法一：根据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案；

方法二：计算抽调3人全部为女医生的概率，利用对立事件的概率公式，求出至少有1名男医生参加的概率.

【详解】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种），

至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种），

所以至少有1名男医生参加的概率为.

方法二：抽调3人全部为女医生的概率为，

则至少有1名男医生参加的概率为.

故选：C．

10．如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.

【详解】取的中点，连接，

因为为等边三角形，为的中点，则，

以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

，所以，点到平面的距离为.

故选：A.

11．，当时，都有，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】依题意对，当时恒成立，，，则问题转化为在上单调递增，求出函数的导函数，则在上恒成立，参变分离可得的取值范围，即可得解.

【详解】因为，当时，都有，

即，即，

令，，则恒成立，

即在上单调递增，

又，所以在上恒成立，

所以在上恒成立，因为在上单调递减，

所以，所以，即实数的最大值为.

故选：B

12．已知，则的最大值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意转化为，令，求得，得到单调递增，得到，即，得到，令，求得，结合函数的单调性和最大值，即可求解.

【详解】由，可得，

令，可得，所以单调递增，

因为，可得，即，

则，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，可得，

所以的最大值为.

故选：B.

二、填空题

13．二项式的展开式的常数项等于             ．

【答案】

【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项.

【详解】二项式的展开式的通项公式为：，

令，求得，

所以展开式的常数项为.

故答案为：

14．若，则等于           .

【答案】

【分析】首先求出函数的导函数，令求出，再令代入计算可得；

【详解】解：由，所以，

令得，所以，故，

故答案为：.

15．已知函数，若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是            .

【答案】

【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数的图象，由已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】因为，则，

令，可得；令，可得或.

所以，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为，

所以，，

令，即，即，解得，

如下图所示：

由题意可得，解得.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，则下列结论正确的序号是          ．

①棱上一定存在点，使得；

②三棱锥的外接球的表面积为；

③过点作正方体的截面，则截面面积为；

④设点在平面内，且平面，则与所成角的余弦值的最大值为．

【答案】②③④

【分析】①建立空间直角坐标系，设坐标，通过空间向量垂直的坐标表示求点进行判断；

②使用补形法，将三棱锥补形为长方体求解即可；

③画出正方体过点的截面，为正六边形，求面积即可；

④设坐标，用线面平行得出坐标满足的条件，再由空间向量求线线角余弦值的最大值即可.

【详解】

对于①，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，则由已知，，，

设棱上一点，则，，

若，则，

整理得，即，无实数解，

∴棱上不存在点，使得，故①错误；

对于②，如图，分别取棱，，，的中点，，，，

由已知，，易知棱柱为长方体，

其外接球的直径为，外接球表面积，

∵三棱锥的顶点均在长方体的外接球上，故该球也是三棱锥的外接球，

∴三棱锥的外接球的表面积为，故②正确；

对于③，如图所示，过点作正方体的截面是边长为的正六边形，其可分成六个全等的，边长为的等边三角形，面积，故③正确；

对于④，由①中所建立空间直角坐标系，，，，，，

，，设平面的一个法向量为，

则，令，则，，∴，

设平面内一点，则，

∵平面，∴，即，

又∵，

∴与所成角的余弦值为，

其中，，

∴，

即当且仅当时，与所成角的余弦值的最大值为，故④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】解决立体几何中动点问题的有效方法之一，是建立空间直角坐标系，设动点坐标，借助空间向量将几何关系转化为代数运算，通过运算进行求解.

三、解答题

17．在的展开式中，含项的系数是.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)2

(2)0

【分析】（1）利用的展开式与的展开式即可求得的值；

（2）利用赋值法分别求得，的值，进而求得的值.

【详解】（1）由，

可得在的展开式中含的项是由

的展开式中含项与的展开式中含项合并得到的，

则

（2）由（1）得，，

令，则

令，则

则，

则.

18．某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如下表：

(1)判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；

(2)按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品.现从这5件产品中任选3件，记所选的一等品件数为X，求X的分布列及均值.

附：

【答案】(1)能

(2)分布列见解析，

【分析】（1）先计算，再根据独立性检验思想即可判断；

（2）根据超几何分布即可求解分布列，再根据期望公式即可求解期望.

【详解】（1）零假设：产品的质量与设备改造无关，

根据小概率值0.01的独立性检验，推断不成立，即认为在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关.

（2）依题意，的可能值为1，2，3，

，，，

所以的分布列为：

数学期望.

19．已知，p：“函数的定义域为”，q：“，使得成立”．

(1)若q为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分离参数，转化为求函数的最大值问题，从而求出的取值范围；

（2）当命题为真时根据进行分类讨论，注意借助与的大小关系，求出的取值范围，然后通过含逻辑联结词的复合命题的真假判断出的真假，由此求解出的取值范围.

【详解】（1）当为真命题时，在上有解，

所以，当时取，有最大值3，所以，

所以实数m的取值范围为；

（2）当为真命题时，

当时，，定义域为，满足题意；

当时，要使的定义域为R，

则，解得，

综上可知：的取值范围是.

因为为真命题且为假命题，所以一真一假，

当真假时，，解得，

当假真时，，此时，

综上，的取值范围是.

20．在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证，由线线垂直证线面垂直即可；

（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算即可.

【详解】（1）证明：在等腰梯形中，，，，

过点C作于E，则，可知，

由余弦定理知，

则，所以.

又，，，平面，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）解：因为平面，，所以C为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，

，，.

设平面的法向量为，

则，令，则，即.

设直线与平面所成的角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为.

21．2023年5月17日，318·川藏线零公里自驾游大本营旅游推介暨“5·17我要骑”雅安站活动在雨城区拉开帷幕，318·川藏线零公里自驾游大本营再次成为关注焦点.318·川藏线零公里自驾游大本营项目以“此生必驾318，首站打卡在雅安”，“世界第三极，雅安零公里”的交旅IP为文化指引，利用雅安交通区位和品牌资源优势，创新打造吸引力体验项目，提高雅安川藏游的话语权和影响力.某骑行爱好者在近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分x与对应用时y（单位：小时）如下表：

(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于x的回归方程.

参考数据和参考公式：相关系数，，，

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）利用相关系数的公式求出相关系数，根据相关系数的绝对值越接近于，两个变量线性相关的程度越高可得结论；

（2）根据公式求出和可得结果.

【详解】（1），，

，

，

，

∴.

相关系数近似为，说明与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系；

（2）由（1）中数据，得，

，关于的回归方程为.

22．已知函数．

(1)若，求的极值；

(2)讨论的单调性；

(3)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值．

【答案】(1)极大值为，无极小值．

(2)分类讨论，答案见解析.

(3)1

【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得；

（2）求导，分，讨论可得；

（3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得.

【详解】（1）的定义域为，

当 时，，

令，解得

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减．

所以在时取得极大值为，无极小值．

（2）因为

当时，在上恒成立，此时在上单调递增；

当时

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（3）因为对任意，恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立．

设，则．

设，，则在上单调递减，

因为，，

所以，使得，即．

当时，；

当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以．

因为，所以，

故整数的最小值为1．

【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解.