2022-2023学年广东省茂名市电白区高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年广东省茂名市电白区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有（    ）

A．24种 B．9种 C．3种 D．26种

【答案】B

【分析】所选的杂志可以分成3类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论.

【详解】某同学从4本不同的科普杂志任选1本，有4种不同选法，

从3本不同的文摘杂志任选1本，有3种不同的选法，

从2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本，有2种不同的选法，

根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：种.

故选：B.

【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于基础题.

2．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算.

【详解】，A错误；

，B错误；

，C错误，

，D正确.

故选：D

3．已知函数的图象上一点及邻近一点，则（    ）

A．4 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据函数解析式，代入计算可得选项.

【详解】解：∵，∴，

故选：C．

4．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，

故选：B

5．随机变量ξ的分布列如下表，且E(ξ)＝1.1，则D(ξ)＝(　　)

A．0.36 B．0.52

C．0.49 D．0.68

【答案】C

【详解】根据，由，故.

6．在展开式中，下列说法错误的是（    ）

A．常数项为 B．第项的系数最大

C．第项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为

【答案】B

【分析】由二项式定理可得展开式通项；令即可求得常数项，知A正确；若系数最大，则需，由此可确定系数最大项，知B错误；由展开式共有项可知C正确；令即可得到D正确.

【详解】展开式的通项为：；

对于A，令，解得：，常数项为，A正确；

对于B，由通项公式知：若要系数最大，所有可能的取值为，

则，，，，

展开式第项的系数最大，B错误；

对于C，展开式共有项，则第项的二项式系数最大，C正确；

对于D，令，则所有项的系数和为，D正确.

故选：B.

7．为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的正负决定函数的增减，以及导数的几何意义即可得出正确选项.

【详解】导数正负决定函数的增减，

根据导数先正，后负，后正，

所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，

再根据导数的几何意义是切线斜率，

所以当是很大的正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，

所以应选B，不选C.

故选：B.

8．方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从点出发，沿着竹棍到达点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（    ）

A．种 B．种

C．种 D．种

【答案】D

【分析】分析可知从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果.

【详解】由题意可知，从到最少需要步完成，其中有步是横向的，步是纵向的，步是竖向的，

则蚂蚁选择的不同的最短路径共有种.

故选：D.

二、多选题

9．下列各式中，等于的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】根据排列数公式依次判断选项即可得到答案.

【详解】对选项A，，故A错误.

对选项B，，故B错误.

对选项C，，故C正确.

对选项D，，故D正确.

故选：CD

10．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点 B．有三个零点

C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线

【答案】AC

【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.

【详解】由题，，令得或，

令得，

所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；

因，，，

所以，函数在上有一个零点，

当时，，即函数在上无零点，

综上所述，函数有一个零点，故B错误；

令，该函数的定义域为，，

则是奇函数，是的对称中心，

将的图象向上移动一个单位得到的图象，

所以点是曲线的对称中心，故C正确；

令，可得，又，

当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.

故选：AC.

11．已知，则（   ）

A．展开式中所有项的二项式系数和为

B．展开式中所有奇数项系数和为

C．展开式中所有偶数项系数和为

D．

【答案】ABD

【分析】根据二项式系数的公式即可判断A,由赋值法即可判断BCD.

【详解】A项，二项式系数之和为，故A正确；

，

当时，

当时，

B项，可得，故B正确；

C项，可得，，故C错误；

D项，，令，则，令，则，

，故D正确.

故选:ABD

12．若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据新定义，由函数的单调性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．

【详解】当时，的定义域为R，函数，

由，则在R上单调递增，函数具有M性质，故A选项正确；

当时，的定义域为R，函数，

由，则在R上单调递减，函数不具有M性质，故B选项不正确；

当时，的定义域为R，函数，

，当时，，单调递减，故函数不具有M性质，故C选项不正确；

当时，的定义域为R，函数，

，则在R上单调递增，函数具有M性质，故D选项正确.

故选：AD

三、填空题

13．          .（写出具体数学表示）

【答案】84

【分析】根据组合数的性质和公式即可求解.

【详解】=84.

故答案为：84

14．设随机变量的方差，则的值为          .

【答案】9

【分析】根据方差的性质即可求解.

【详解】.

故答案为：9

15．曲线上的点到直线的最短距离是       .

【答案】

【详解】时到直线的距离最短，

最短距离为.

16．杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律.设，若的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列.则称具有性质P.如的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以具有性质P.若存在，使具有性质P，则n的最大值为      .

【答案】

【分析】根据连续三项二项式系数成等差数列可列出，根据组合数公式进行整理可得：，可知为完全平方数，分析可知.

【详解】解：由题意得：，整理可得：

即：

为完全平方数

又且不是完全平方数，是完全平方数，

的最大值为：

故答案为：

四、解答题

17．已知直线l1为曲线y＝x2+x﹣2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．

（Ⅰ）求直线l2的方程；

（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．

【答案】（I）．（II）．

【分析】（I）先利用导数求出在x＝1处的导函数值，再结合l1⊥l2即可求出切线的斜率．从而问题解决．

（II）先通过解方程组得直线l1和l2的交点的坐标和l1、l2与x轴交点的坐标，即可求三角形的面积．

【详解】（I）y′＝2x+1．

直线l1的方程为y＝3x﹣3．

设直线l2过曲线y＝x2+x﹣2上的点B（b，b2+b﹣2），则l2的方程为y﹣（b2+b﹣2）＝（2b+1）（x﹣b）

因为l1⊥l2，则有k2＝2b+1．

所以直线l2的方程为．

（II）解方程组得

所以直线l1和l2的交点的坐标为．

l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、．

所以所求三角形的面积．

【点睛】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程的基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

18．袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止．

（1）求取球次数的分布列；

（2）求取球次数的期望和方差．

【答案】（1）见解析（2），

【分析】根据相互独立事件概率求出离散型随机变量的分布列、期望和方差.

【详解】解：（1）由题设知，，

则的分布列为

（2）则取球次数的期望

，

的方差.

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.

19．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.

（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？

（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？

（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？

（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？

【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120

【分析】（1）根据要求直接选取即可；

（2）在剩下的7人中任选2人即可；

（3）包含两种情况，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人；

（4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.

【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；

（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；

（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，

则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；

（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.

20．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．

(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；

(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？

【答案】(1)0.86

(2)这件产品由丙厂生产的可能性最大

【分析】（1）设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由全概率公式计算可得；

（2）由贝叶斯公式计算可得，

【详解】（1）设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，

由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，

P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8.

由全概率公式得P(A)＝ (Bi)P(A|Bi)＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86.

（2）由贝叶斯公式得

P(B1|A)＝＝＝，

P(B2|A)＝＝＝，

P(B3|A)＝＝＝.

由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大，由甲厂生产的可能性最小．

21．已知函数在处取得极大值为2．

(1)求函数的解析式；

(2)若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值．

【答案】(1)

(2)4

【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；

（2）利用导数求出函数的单调区间，从而可求得函数在上的最值，对于区间上任意两个自变量的值都有，则，从而可得出答案.

【详解】（1）解：，

因为函数在处取得极大值为2，

所以，解得，

经检验符合题意，

所以；

（2）解：，

当或时，，当时，，

所以函数在和上递增，在上递减，

又，

所以当时，，

对于区间上任意两个自变量的值都有，

则，

所以，

所以实数的最小值为4．

22．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，，求a的取值范围；

(3)设，证明：．

【答案】(1)的减区间为，增区间为.

(2)

(3)见解析

【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.

（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.

（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.

【详解】（1）当时，，则，

当时，，当时，，

故的减区间为，增区间为.

（2）设，则，

又，设，

则，

若，则，

因为为连续不间断函数，

故存在，使得，总有，

故在为增函数，故，

故在为增函数，故，与题设矛盾.

若，则，

下证：对任意，总有成立，

证明：设，故，

故在上为减函数，故即成立.

由上述不等式有，

故总成立，即在上为减函数，

所以.

当时，有，    

所以在上为减函数，所以.

综上，.

（3）取，则，总有成立，

令，则，

故即对任意的恒成立.

所以对任意的，有，

整理得到：，

故

，

故不等式成立.

【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.